sciencetalk

Twee stenen worden gelijktijdig weggeschoten met gelijke snelheden vanaf een punt op een hellend vlak, waarbij de ene steen langs de lijn van grootste helling omhoog gaat en de andere omlaag. De maximale afstand tussen hun inslagpunten op het vlak is twee keer zo groot als wanneer ze met dezelfde snelheid horizontaal worden weggeschoten. Als één steen het vlak na twee seconden raakt, bepaal:
(a) de hellingshoek van het vlak.
(b) de snelheid waarmee de stenen worden weggeschoten. (Neem g = 9,8 m/s²)

De twee stenen worden elk onder een verschillende hoek met de horizontale afgeschoten?

Ja, hou wel rekening met maximale range

Het dak heeft een helling \(\alpha\). Het eerst voorwerp wordt gelanceerd onder een hoek \(\beta\). Het tweede voorwerp onder een hoek \(\gamma\).


\[
t_1 = \frac{2 v_0 \sin(\beta - \alpha)}{g \cos(\alpha)}
\]

\[
x_1 = v_0 \cos(\beta - \alpha) t_1 + \frac{1}{2} g \sin(\alpha) t_1^2
\]


\[
t_2 = \frac{2 v_0 \sin(\gamma + \alpha)}{g \cos(\alpha)}
\]

\[
x_2 = v_0 \cos(\gamma + \alpha) t_2 + \frac{1}{2} g \sin(\alpha) t_2^2
\]

\(t_1\) of \(t_2\) is 2s.

Afstand wanneer ze afgeschoten worden op plat vlak.

\[
\Delta x = \frac{v_0^2}{g} \left( \sin(2\gamma) + \sin(2\beta) \right)
\]

\[
x_1 + x_2 = 2\Delta x
\]

Best lastig om op te lossen, dat gaat mij niet zomaar lukken, vrees ik. Zijn deze vergelijkingen al juist?

Mijn aanzetje:
Ik houd het vlak horizontaal en varieer de hoek van de zwaartekracht. De projectielen worden afgeschoten van hoogte \(h\) boven het vlak.
De hoek van de zwaartekracht met de verticaal is \(\pm \alpha\)
\(v_x=v_0\pm t g \sin \alpha\)
\(v_y=-t g \cos \alpha\)
\(s_x=v_0 t \pm \frac{1}{2} t^2 g \sin \alpha\)
\(sy=\frac{1}{2} g t^2 \cos \alpha = h \)
\(t=\sqrt{\frac{2h}{g \cos \alpha}}\)

Dat lijkt mij een andere interpretatie. Je schiet de voorwerpen af vanaf een hoogte h. Ik ging ervan uit dat er afgeschoten werd van hoogte 0. De rotatie van het vlak verrekenen via g is mij wel duidelijk.

wnvl1 schreef: ↑zo 29 dec 2024, 21:49 Dat lijkt mij een andere interpretatie. Je schiet de voorwerpen af vanaf een hoogte h. Ik ging ervan uit dat er afgeschoten werd van hoogte 0.

Dan komen ze toch meteen na lancering op het vlak terecht, als ze parallel aan het vlak gelanceerd worden??

Zo zie ik het. De steen wordt gelanceerd in de richting van de steilste helling van het vlak, maar onder een andere hoek.

wnvl1 schreef: ↑zo 29 dec 2024, 22:07 Zo zie ik het. De steen wordt gelanceerd in de richting van de steilste helling van het vlak, maar onder een andere hoek.

Dat zou ook kunnen. Ik kan niet uit de vraag halen wat precies bedoeld wordt.

wnvl1 schreef: ↑zo 29 dec 2024, 21:19 Het dak heeft een helling \(\alpha\). Het eerst voorwerp wordt gelanceerd onder een hoek \(\beta\). Het tweede voorwerp onder een hoek \(\gamma\).


Afstand wanneer ze afgeschoten worden op plat vlak.

\[
\Delta x = \frac{v_0^2}{g} \left( \sin(2\gamma) + \sin(2\beta) \right)
\]

\[
x_1 + x_2 = 2\Delta x
\]

Best lastig om op te lossen, dat gaat mij niet zomaar lukken, vrees ik. Zijn deze vergelijkingen al juist?

in het horizontale vlak is de max range vo²/g (hoek is 45°)

OK, dat had ik dan ook weer anders geïnterpreteerd. Ik dacht dat op het vlakke dezelfde hoeken behouden moesten blijven als bij het schuine vlak. Je moet in het schuine vlak dan ook de \(\beta\) en \(\gamma\) apart optimaliseren.

De optimale hoek \(\beta\) is dan\( \frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}\) en voor \(\gamma\) dan \(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\)?

Dat is juist.

Ik denk dat je dit uitkomt als maximale afstand in funktie van de hoek

\[
x_1 = \frac{v_0^2}{g \cos^2(\alpha)} \left( 1 - 2\sin^2(\alpha) + \sin(\alpha) \right)
\]

dit is de max range situatie

uit R1+R2=2(R+R)=4R volgt β
uit T2-T1=2 volgt v₀