Getallenkoppels

[PhilipVoets]

Dag,

Vraag zoals in de bijlage. Er zal vast een elegantere/nauwkeurigere manier zijn, maar mijn “lekenredenering” was als volgt. Als je puur kijkt naar koppels gehele getallen die zelf gehele getallen opleveren, dan kom je uit op 2 (sqrt(2-1)=1), 5 (sqrt(5-1)=2), 10 (sqrt(10-1)=3), etc. Wat dan meteen opvalt is de rechts veel sneller “stijgt” dan links, dus het antwoord moet in de kleine getallen liggen. Dan kom je al snel op de getallenkoppels a=2, b=5 en a=5, b=2. Dan nog het koppel a=3, b=3 als oplossing uit sqrt(x^2-1)=2sqrt(x-1). Ergo, antwoord C. Klopt dit? En hoe doen jullie dit?

Dank!

[EvilBro]

\(\sqrt{a -1} + \sqrt{b - 1} = \sqrt{a b - 1}\)

\((\sqrt{a -1} + \sqrt{b - 1})^2 = (\sqrt{a b - 1})^2\)

\((a -1) + 2 \sqrt{a-1} \sqrt{b - 1} + (b-1) = (a b - 1)\)

\(2 \sqrt{a-1} \sqrt{b - 1} = a b - (a + b) + 1 = (a - 1) (b - 1)\)

\(\frac{2 \sqrt{a-1} \sqrt{b - 1}}{\sqrt{a-1} \sqrt{b - 1}} = \frac{(a - 1) (b - 1)}{\sqrt{a-1} \sqrt{b - 1}}\)

\(2 = \sqrt{a-1} \sqrt{b - 1}\)

\(4 = (a - 1) (b - 1)\)

4 = 1 * 4 = 2 * 2 = 4*1
dus
(2, 5), (3, 3), (5, 2)

[PhilipVoets]

\(\sqrt{a -1} + \sqrt{b - 1} = \sqrt{a b - 1}\)

\((\sqrt{a -1} + \sqrt{b - 1})^2 = (\sqrt{a b - 1})^2\)

\((a -1) + 2 \sqrt{a-1} \sqrt{b - 1} + (b-1) = (a b - 1)\)

\(2 \sqrt{a-1} \sqrt{b - 1} = a b - (a + b) + 1 = (a - 1) (b - 1)\)

\(\frac{2 \sqrt{a-1} \sqrt{b - 1}}{\sqrt{a-1} \sqrt{b - 1}} = \frac{(a - 1) (b - 1)}{\sqrt{a-1} \sqrt{b - 1}}\)

\(2 = \sqrt{a-1} \sqrt{b - 1}\)

\(4 = (a - 1) (b - 1)\)

4 = 1 * 4 = 2 * 2 = 4*1
dus
(2, 5), (3, 3), (5, 2)

Dank! Ik verwachtte al wel dat een dergelijke oplossing zou bestaan, maar toen ik kwadrateerde aan beide kanten en links nog met een wortel bleef zitten, had ik de moed om het algebraïsch op te lossen een beetje opgegeven, haha. Ik heb het idee dat wiskundigen en natuurkundigen ook vaak vergelijkingen oplossen door "patroonherkenning", waarbij ze al snel de achterliggende "gehusselde"/licht herschreven standaardvergelijkingen herkennen. Wat dat betreft heel herkenbaar uit mijn eigen vak, grappig! Kun je je overigens ook vinden in mijn minder elegante beredenering?