Priemgetal

[PhilipVoets]

Zie de bijgevoegde vraag. Het antwoord heb ik inmiddels na enig puzzelen achterhaald, namelijk p = 37. Mijn vraag is meer hoe jullie het zouden aanvliegen. Mijn redenering: D = p^2 + 4*444p = p^2 + 1776p moet een kwadraat zijn om de oplossingen gehele getallen te laten zijn. Dat betekent dat moet gelden: D = p^2 + a*p^2 = (a+1)p^2, waarbij a+1 is een kwadraat. Er volgt dan dat 1776 = 48(=a)*37(=p), immers 48 + 1 =49 = 7^2. Conclusie: p = 37. Dit achterhalen dat 1776 als product van 37 en 48 geschreven kan worden, kostte mij enige tijd (ik heb zoiets niet direct paraat; jullie wel?). Is er een andere truc? Suggesties zijn welkom!

[EvilBro]

De vraag suggereert een beetje dat je dit via een of andere afschatting zou moeten doen, maar ik zie niet goed hoe.
Wat ik zou doen:

\(x^2 + p x - 444 p = 0\)

\(x^2 + p x = 444 p\)

\(\frac{x^2}{p} + x = 444\)

Nu is te zien dat \(x^2\) een factor p heeft (want x is een geheel getal). Hieruit volgt dan direct dat x een factor p heeft. Dus:

\(\frac{(a \cdot p)^2}{p} + a \cdot p = 444\)

\(a^2 \cdot p + a \cdot p = 444\)

\((a^2 + a) \cdot p = 444\)

\(a \cdot (a + 1) \cdot p = 444\)

\(444 = 2 \cdot 222= 2^2 \cdot 111 = 2^2 \cdot 3 \cdot 37\)

(111 is duidelijk deelbaar door 3, want de cijfers bij elkaar opgeteld zijn deelbaar door 3.)

\(a \cdot (a + 1) \cdot p = 2^2 \cdot 3 \cdot 37 = 3 \cdot 4 \cdot 37\)

\(p = 37\)

[PhilipVoets]

Thanks!