Een theorie is Lorentz-invariant als de fysische wetten die deze theorie beschrijft, onveranderd blijven onder een Lorentz-transformatie. Dit is een fundamentele eigenschap van theorieën die consistent zijn met de speciale relativiteitstheorie. Als je de golflengte van de EM golf die voortkomt uit je klokje transformeert in lijn met de SRT, dan is je theorie automatisch Lorentz invariant.

Dus in rust
\[
\lambda_0 = \frac{c}{f_0}.
\]

en voor de bewegende waarnemer

\[
\lambda = \lambda_0 \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}},
\]
met \( \beta = \frac{v}{c} \) de relatieve snelheid tussen de bron en de waarnemer gedeeld door de lichtsnelheid en \( \lambda_0 \) de rustgolflengte.

Ik zat nog even met een klein dingetje. de vraag werd eerder gesteld wat ik precies bedoelde met 'symmetrisch'.

Het antwoord is, denk ik, dat dit valt onder het onderwerpje 'Lorentz-symmetrie' of 'Lorentz-invariantie'.

Hier betreft dat de verhouding tussen de golflengte (spectraallijn) van een 'klok' die meebeweegt in je eigen referentie-stelsel, versus de waargenomen golflengte (spectraallijn) van een bewegende 'klok'

Die verhouding is dus onafhankelijk van het gekozen referentiestelsel. dat is hier gecontroleerd

oh, sorry, ik zie dat ik een fout maak in het begrijpen van uw antwoord. beide formules (de uwe en de mijne) komen uit op dezelfde getallen:

√(1+v/c /1−v/c) = √2
6*√2 = 8,48528
6/√2 = 4,24264

en
4*γ=4*√(9/8)=4,24264
8*γ=8*√(9/8)=8,48528

[quote=wnvl1 post_id=1187773 time=1732833657 user_id=83230]
Je bedoelt met symmetrie dat als je v van teken verandert dat de factor [itex]\sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}}[/itex] omkeert. Ja, dat klopt.
[/quote]

nee, dat klopt niet denk ik. de factor blijft hetzelfde, is gewoon de lorentz-factor. Dat heb ik wel aangetoond nu. het begin van de lichtgolf reist met lichtsnelheid, en het eind van de golf reist ook met lichtsnelheid. veel ruimte voor interpretatie zit daar toch niet tussen

Je bedoelt met symmetrie dat als je v van teken verandert dat de factor [itex]\sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}}[/itex] omkeert. Ja, dat klopt.

voor de beide blauwverschoven golflengtes geeft de klassieke dopplerformule:
{(c-⅓c)/c}*6 = 4 blokjes
{c/(c+⅓c)}*6 =4½ blokjes
in klassieke golftheorie zijn beide blauwverschuivingen dus weer niet-symmetrisch
dwz de blauwverschuiving waargenomen vanuit het ene stelsel is 6:4 en vanuit het andere stelsel meet je een blauwverschuiving met de verhouding van 6:4½

in SRT ga je beide waardes vermenigvuldigen of delen met dezelfde lorentzfactor gamma (γ=(1/√(8/9))
en vind je voor beide stelsels de roodverschuiving 6 / 4γ (die dus gelijk is aan de verhouding 6γ:4½)

hoop ik

moet ik nog meer toelichten?

die 6 blokjes brongolflengte staan symbool voor een soort universeel klokje, zeg een spectraallijn van het waterstofatoom

de 8*γ blokjes zijn de waargenomen golflengte bij de gegeven snelheid van v/c =1/3

die waargenomen verhouding 6 blokjes : 8*γ blokjes is in SRT gelijk voor zowel het 'stilstaande' referentiestelsel R6 als het 'bewegende' stelsel R'0.

oftewel de roodverschuivingen zijn symmetrisch in SRT

[quote=wnvl1 post_id=1187769 time=1732823188 user_id=83230]
Ik zou zeggen dat blauw- en roodverschuivingen niet exact symmetrisch zijn in de SRT. Als bron en ontvanger naar elkaar toebewegen dan neemt de frequentie verhoudingsgewijs niet evenveel toe als ze afneemt wanneer ze van elkaar wegbewegen. Tenzij je uiteraard voor heel kleine snelheidswijzigingen gaat lineariseren.

Maar misschien bedoel je iets anders met 'symmetrisch'.
[/quote]

dat begrijp je verkeerd

in de tekening gelden de volgende verhoudingen, die inmiddels netjes berekend zijn
6: 8*γ
6γ:9

uit de dopplervergelijkingen is afgeleid dat 9 = 8γ²

de bovenste verhouding is exact gelijk aan de onderste verhouding, je kunt de bovenste simpelweg vermenigvuldigen met γ,
dan krijg je 6γ: 8*γ²

Ik zou zeggen dat blauw- en roodverschuivingen niet exact symmetrisch zijn in de SRT. Als bron en ontvanger naar elkaar toebewegen dan neemt de frequentie verhoudingsgewijs niet evenveel toe als ze afneemt wanneer ze van elkaar wegbewegen. Tenzij je uiteraard voor heel kleine snelheidswijzigingen gaat lineariseren.

Maar misschien bedoel je iets anders met 'symmetrisch'.

okee, maar daarmee bewijs je dus formeel dat de blue-shifts en red-shifts volgens SRT symmetrisch zijn.

(ik maak wel een verwisselfoutje geloof ik, ik gebruik de doppler formule voor frequenties f ipv voor golflengtes λ. welgemeende excuses voor mijn slordigheid)

[quote=tuander post_id=1187764 time=1732802139 user_id=77418]
en dat getal is dus gewoon de lorentzfactor in het kwadraat
[/quote]
Dat lijkt mij niet zo verwonderlijk gezien de vierkantswortel in de Lorentzfactor, wat je in de Newtoniaanse fysica niet hebt.

in de getalletjes uit mijn tekening is dat:
8 = 6 *{(c+1/3c) / c }= 6*(4/3) =8
en 9 = 6*(c / (c - 1/3c)) = 6*(3/2) = 9

dank.

voor de stilstaande waarnemer en de bewegende golfbron geldt: waargenomen frequentie = bronfrequentie * c/(v-c)
voor de stilstaande golfbron en de bewegende waarnemer geldt: waargenomen frequentie = bronfrequentie * (c+v)/c

deelt men deze twee op elkaar, dan krijgt men het getal c²/ (c-v)(c+v) , herschrijf dat getal als c² / (c²-v²)

en dat getal is dus gewoon de lorentzfactor in het kwadraat

Moeilijk te begrijpen voor mij. Ik denk dat het handiger is de symmetrie te duiden op basis van de formules.

#### **Relativistisch Dopplereffect**
De formule is:
\[
f' = f \sqrt{\frac{1 + \frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}}}
\]

Met:
- \( f' \): Waargenomen frequentie
- \( f \): Frequentie van de bron
- \( v \): Relatieve snelheid tussen de bron en de waarnemer (positief als ze naar elkaar toe bewegen, negatief als ze uit elkaar bewegen)
- \( c \): Lichtnelheid in vacuüm

#### **Klassiek Dopplereffect**
De formule is:
\[
f' = f \frac{v_{\text{golf}} + v_{\text{waarnemer}}}{v_{\text{golf}} + v_{\text{bron}}}
\]

Met:
- \( f' \): Waargenomen frequentie
- \( f \): Frequentie van de bron
- \( v_{\text{golf}} \): Golfsnelheid in het medium (bijvoorbeeld geluidssnelheid in lucht)
- \( v_{\text{waarnemer}} \): Snelheid van de waarnemer (positief bij beweging naar de bron toe, negatief bij beweging weg van de bron)
- \( v_{\text{bron}} \): Snelheid van de bron (positief bij beweging naar de waarnemer toe, negatief bij beweging weg van de waarnemer)

[quote=wnvl1 post_id=1187752 time=1732659211 user_id=83230]
Wat bedoel je precies met symmetrisch?
[/quote]

Bij de doppler-shift (bovenste rij tekeningen) is alles simpel. tijd is absoluut. gelijk voor beide waarnemers. De verstuurde golf heeft in elke tekening een golflengte van 6 blokjes. de ontvangen golf heeft in elke respectievelijke tekeningen een golflengte van 6 blokjes,4 blokjes, iets meer dan 4 blokjes , 8 blokjes en 9 blokjes. ik keek alleen naar de twee redshifts. (de laatste twee tekeningen van de bovenste rij)

Kijk nu naar de ratio bij klassiek Doppler : (verstuurde golflengte) : (ontvangen golflengte), deze zijn respectievelijk ( 6 blokjes : 8 blokjes ) en ( 6 blokjes : 9 blokjes ) deze twee ratios verschillen dus van mekaar, i.e. de roodverschuiving is niet-symmetrisch

Voor dezelfde ratio's in SRT (on derste rij tekeningen) moet je een tijdvertraging toepassen op de bewegende waarnmer R'0. dit betekent dat de golflengte die eigen is in R'0 een verlenging ondergaat met gamma ( 1/ {√1-(1/9)} = 1,06066.

Dus de golf die verstuurd wordt vanuit R'0 naar R6 is verlengd met deze factor. die is dus niet meer 6 blokjes, maar 6,36 blokjes. bij aankomst in R6 is deze golf dus ook niet meer 8 blokjes, maar 8,49 blokjes. Die 8,49 blokjes vergelijk je dus met de golf van 6 blokjes die eigen is in R6.

in het geval van de golf die verstuurd wordt vanuit R6 naar R'0., is de ontvangen golf nog steeds 9 blokjes. En die vergelijk je dus met de eigen golf van 6,36 blokjes.

Deze twee ratios zijn nu dus gelijk. zoals verwacht

P.S. ik merk voorzichtig op dat deze ratio's worden beinvloed door de tijddillatatie alleen, en niet door lorentz-contractie (x-richting), zolang de oscillaties zich afspelen in de richtingen (y,z) loodrecht op de bewegingsrichting van de golf. weet niet helemaal zeker of ik dat correct zie