Ik wil best geloven dat er ook voor negatieve grondtallen nog van alles mogelijk is, maar eerst moet je je al tot rationale exponenten bepalen en vervolgens ook nog de ggd erbij halen.
Even voor de goede orde: die ggd heeft niets te maken met het domein he, die speelt geen rol in de voorwaarde voor welke exponenten de functie is gedefinieerd. a/b en 2a/2b zijn hetzelfde getal.
Dus
\((-8)^{1/3} = (-8)^{2/6} = (-8)^{100/300} = -2\)
Die ggd heeft alleen te maken met het functievoorschrift, om twee gevallen te onderscheiden. Met zo'n meervoudig functievoorschrift is toch niets mis? Men definieert de absolute waarde ook vaak als:
\(f(x)=\left\{\startmatrix x & (x\geq 0) \\ -x & (x<0)\endmatrix\right.\)
Of in het functievoorschrift van
Thomae's function komt die ggd bijvoorbeeld ook voor (en die heeft als domein dus heel
).
De vraag is dan, loont dat de moeite? En dat hangt er maar net van af wat je van plan bent.
Een reële functie definieren met het grootst mogelijke 'natuurlijke' domein. De vraag in het oorspronkelijke topic ging ook om het
bepalen van het domein van een bepaalde (logaritmische) functie, dan lijkt het mij toch de bedoeling het
grootst mogelijke domein te vinden.
Als je uitgaat van de definitie van een logaritme,
\(\log_a(b)=c\Leftrightarrow a^c=b\)
, dan lijkt me toch weinig mis met
\(\log_{-1/3}(1/9)=2\)
?
Wellicht is het subjectief, maar voor mij voelt zo'n exponentiële functie 'logisch' aan als je getallen tot machten kunt verheffen die redelijkerwijs een waarde hebben. En als
\((-2)^3=-8\)
, dan vind ik het net zo redelijk om te zeggen
\(\sqrt[3]{-8}=-2\)
(sowieso lijkt een oneven-machtswortel me een welgedefinierd eenduidige functie
\(\rr\rightarrow\rr\)
), en dan idem voor
\((-32)^{3/5}=-8\)
.
[quote]Ik wil best geloven dat er ook voor negatieve grondtallen nog van alles mogelijk is, maar eerst moet je je al tot rationale exponenten bepalen en vervolgens ook nog de ggd erbij halen.[/quote]
Even voor de goede orde: die ggd heeft niets te maken met het domein he, die speelt geen rol in de voorwaarde voor welke exponenten de functie is gedefinieerd. a/b en 2a/2b zijn hetzelfde getal.
Dus [tex](-8)^{1/3} = (-8)^{2/6} = (-8)^{100/300} = -2[/tex]
Die ggd heeft alleen te maken met het functievoorschrift, om twee gevallen te onderscheiden. Met zo'n meervoudig functievoorschrift is toch niets mis? Men definieert de absolute waarde ook vaak als:
[tex]f(x)=\left\{\startmatrix x & (x\geq 0) \\ -x & (x<0)\endmatrix\right.[/tex]
Of in het functievoorschrift van [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Thomae's_function]Thomae's function[/url] komt die ggd bijvoorbeeld ook voor (en die heeft als domein dus heel ;) ).
[quote]De vraag is dan, loont dat de moeite? En dat hangt er maar net van af wat je van plan bent.[/quote]
Een reële functie definieren met het grootst mogelijke 'natuurlijke' domein. De vraag in het oorspronkelijke topic ging ook om het [u]bepalen van het domein[/u] van een bepaalde (logaritmische) functie, dan lijkt het mij toch de bedoeling het [u]grootst mogelijke domein[/u] te vinden.
Als je uitgaat van de definitie van een logaritme, [tex]\log_a(b)=c\Leftrightarrow a^c=b[/tex], dan lijkt me toch weinig mis met [tex]\log_{-1/3}(1/9)=2[/tex] ?
Wellicht is het subjectief, maar voor mij voelt zo'n exponentiële functie 'logisch' aan als je getallen tot machten kunt verheffen die redelijkerwijs een waarde hebben. En als [tex](-2)^3=-8[/tex], dan vind ik het net zo redelijk om te zeggen [tex]\sqrt[3]{-8}=-2[/tex] (sowieso lijkt een oneven-machtswortel me een welgedefinierd eenduidige functie [tex]\rr\rightarrow\rr[/tex]), en dan idem voor [tex](-32)^{3/5}=-8[/tex].
