a, b, c

[PhilipVoets]

Dag,

Volgende vraag: als ab/(a+b)=1/7, bc/(b+c)=1/8 en ac/(a+c)=1/9, wat is dan 36abc/(ab+bc+ac)?
Nu is dit prima op te lossen met “brute kracht”; drie vergelijkingen met drie onbekenden. Als ik dat netjes algebraïsch uitwerk, kom ik als antwoord op 3. Ik zal jullie mijn kladje besparen. Ik was benieuwd of er een makkelijkere/elegantere truc is (vast wel), bijvoorbeeld door het herschrijven/vermenigvuldigen/combineren van de drie gegeven vergelijkingen. Ik heb er even op gebroed, maar kwam niet heel veel verder. Suggesties van experts zijn welkom! Nogmaals, ik heb het al opgelost, maar hoor graag of het sneller kan.

[EvilBro]

\(\frac{a b}{a + b} = \frac{1}{7}, \frac{b c}{b + c} = \frac{1}{8}, \frac{a c}{a + c} = \frac{1}{9}\)

\(\frac{a + b}{a b} = 7, \frac{b + c}{b c} = 8, \frac{a + c}{a c} = 9\)

\(\frac{a c + b c}{a b c} = 7, \frac{a b + a c}{a b c} = 8, \frac{a b + b c}{a b c} = 9\)

\(\frac{a c + b c}{a b c} + \frac{a b + a c}{a b c}+ \frac{a b + b c}{a b c} = 7 + 8 + 9\)

\(\frac{2 a b + 2 b c + 2 a c}{a b c} = 24\)

\(\frac{a b + b c + a c}{a b c} = 12\)

\(\frac{a b c}{a b + b c + a c} = \frac{1}{12}\)

\(\frac{36 a b c}{a b + b c + a c} = \frac{36}{12} = 3\)

[PhilipVoets]