Collatz 2.0

[Professor Puntje]

Laten we eerst dit eens bekijken:

Oneven getallen die NA (3n+1)
1 x deelbaar door 2 zijn allen van de vorm (4k+3)
2 x deelbaar (8k+1)
3 x deelbaar (16k+13)
4x deelbaar (32k+5)
5 x deelbaar (64k+53)
6 x deelbaar (128k+21)
7 x deelbaar( 256 k+213)
8 x deelbaar (512 k+85)
9 x deelbaar (1024k +853)
10 x deelbaar (2048k+341)
enz ...

Wat voor soort getal moet k daarbij zijn, en heb je ook een bewijs dat dat steeds opgaat?

[Regor]

Aan PP,

k is een positief natuurlijk geheel getal, (ok ?) groter of gelijk aan 0, kleiner dan oneindig.

Ziet U de twee hoofd partities ...... die die een ONEVEN aantel keer deelbaar zijn door 2 NA (3n+1) en die die een EVEN aantal keer deelbaar zijn door 2 NA toepassen van (3n+1)
Als men de twee hoofd partities bekijkt ... zal men vaststellen dat er een systematic in zit ...... ze staat beschreven door mij op 23 juni.

Nee, ik heb geen formeel bewijs...... maar dat zou voor U zeker een fluitje van een cent zijn.
(het is voor mij alsof men wilt / moet bewijzen dat de gap tussen de even of de oneven getallen ... 2 is.
Het hoeft voor mij voorlopig niet bewezen te worden ........ bewijs het als U wilt, of ga er gewoon van uit dat het zo is......
..... ik ben 10% zeker.
Laat U erdoor niet remmen aub.

[Professor Puntje]

k is een positief natuurlijk geheel getal, (ok ?) groter of gelijk aan 0, kleiner dan oneindig.

Fijn, dus k is een natuurlijk getal.

Ik zal eerst eens kijken of ik door proberen tegenvoorbeelden voor je geclaimde patronen kan vinden. Misschien willen de computer wizards hier dat ook eens proberen? Dat voorkomt dat we iets gaan proberen te bewijzen dat wellicht niet eens waar is.

[Regor]

Aan PP,

Doe gerust maar !
Vind ik overbodig hoor.
Schrijf de 100 eerste oneven getallen op een rij en markeer diegenen die 1 x of 2 maal of 3 maal .... deelbaar zijn door 2.....
en de structuur verschijnt vanzelf.

Ja, ok, is het na de 100 ook zo ?
Als U daarbij nog eens vaststelt dat de formules zelf aan een structuur beantwoorden die u toelaten de volgende formule te bepalen moet U niet meer twijfelen, maar U mag hoor.

Al het systeem ingezien om de formule voor de volgende partitie te bepalen ?
Als U hem niet vind, geef ik hem U in een volgende post.......... nadat U de juistheid van mijn formules voor de partities empirisch of softwarematig, of hoe dan ook bewezen geeft.

[Professor Puntje]

Stap voor stap graag...

[Regor]

Aan PP,

Natuurlijk,....... maar ik beweer niet dat ik een bewijs heb hoor voor Collatz.
Mijn inzichten gaan tot op een bepaald punt, de rest is in opbouw, of komt er nooit!
Zo simpel is dat.

Als, waar U aan twijfelt / nog wilt bewijzen onjuist zou zijn qua partities toenemend deelbaar door 2 ........ geef ik mijn account op bij ST.

[Professor Puntje]

Dan kunnen we het maar beter niet controleren...

[Regor]

Aan PP,

Doe maar gerust, soms ben ik zo zeker .... dat ik er zeker van ben !

[Professor Puntje]

Het patroon is kennelijk:

\( n = 2^{m+1} . k + \frac{ 4 \cdot 4^{\frac{m}{2}} - 4}{12} \) voor \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{e} \)

\( n = 2^{m+1} . k + \frac{ 10 \cdot 4^{\frac{m+1}{2}} - 4}{12} \) voor \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{o} \)

Maar aan een bewijs dat dat klopt of niet klopt ben ik nog niet toegekomen.

[Professor Puntje]

Het kan nog ietsjes eenvoudiger:

\( n = 2^{m+1} . k + \frac{ 2^{m} - 1}{3} \) voor \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{e} \)

\( n = 2^{m+1} . k + \frac{ 5 \cdot 2^{m} - 1}{3} \) voor \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{o} \)

[Professor Puntje]

\( n = 2^{m+1} . k + \frac{ 2^{m} - 1}{3} \) voor \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{e} \)

Voor die gevallen waarin: \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{e} \) vinden we voor n inderdaad dat :

\( 3 n + 1 = \frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} \)

\( 3 n = \frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 1 \)

\( n = \frac{\frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 1}{3} \)

\( n = \frac{\frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 2^m + 2^m - 1}{3} \)

\( n = \frac{\frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 2^m }{3} + \frac{ 2^m - 1 }{3} \)

\( n = 2^{m+1} \cdot \frac{\frac{3 n +1 }{2^{m+1}} - \frac{1}{2} }{3} + \frac{ 2^m - 1 }{3} \)

\( n = 2^{m+1} \cdot \frac{\frac{3 n +1 }{2^m} - 1 }{6} + \frac{ 2^m - 1 }{3} \)

Dus:

\( n = 2^{m+1} \cdot k + \frac{ 2^m - 1 }{3} \)

voor:

\( k = \frac{\frac{3 n +1 }{2^m} - 1 }{6} \)

[Professor Puntje]

\( n = 2^{m+1} . k + \frac{ 5 \cdot 2^{m} - 1}{3} \) voor \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{o} \)

En voor die gevallen waarin: \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{o} \) vinden we voor n dat :

\( 3 n + 1 = \frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} \)

\( 3 n = \frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 1 \)

\( n = \frac{\frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 1}{3} \)

\( n = \frac{\frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 5 \cdot 2^m + 5 \cdot 2^m - 1}{3} \)

\( n = \frac{\frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 5 \cdot 2^m }{3} + \frac{ 5 \cdot 2^m - 1 }{3} \)

\( n = 2^{m+1} \cdot \frac{\frac{3 n +1 }{2^{m+1}} - \frac{5}{2} }{3} + \frac{ 5 \cdot 2^m - 1 }{3} \)

\( n = 2^{m+1} \cdot \frac{\frac{3 n +1 }{2^m} - 5 }{6} + \frac{ 5 \cdot 2^m - 1 }{3} \)

Dus:

\( n = 2^{m+1} \cdot k + \frac{ 5 \cdot 2^m - 1 }{3} \)

voor:

\( k = \frac{\frac{3 n +1 }{2^m} - 5 }{6} \)

[Professor Puntje]

Rest nog een bewijs dat k in beide gevallen een natuurlijk getal is. Maar ik neem nu even rust, en wacht af wat Regor van dit alles vindt...

[Professor Puntje]

\( n = 2^{m+1} . k + \frac{ 2^{m} - 1}{3} \) voor \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{e} \)

Laten we eerst maar eens voor de even natuurlijke getallen m naar de term \( \mathrm{L}_e(m) = \frac{ 2^{m} - 1}{3} \) kijken. Dan vinden we:

\( \mathrm{L}_e(2) = \frac{ 2^2 - 1}{3} \)

\( \mathrm{L}_e(2) = \frac{3}{3} \)

\( \mathrm{L}_e(2) = 1 \)

En:

\(\mathrm{L}_e(m+2) = \frac{ 2^{m+2} - 1}{3} \)

\(\mathrm{L}_e(m+2) = \frac{ 4 \cdot 2^m - 4 + 3}{3} \)

\(\mathrm{L}_e(m+2) = \frac{ 4 (2^m - 1) + 3}{3} \)

\(\mathrm{L}_e(m+2) = 4 \cdot \frac{2^m - 1}{3} \, + \, \frac{3}{3} \)

\(\mathrm{L}_e(m+2) = 4 \cdot \mathrm{L}_e(m) \, + \, 1 \)

Dus voor alle even natuurlijke getallen m levert \( \mathrm{L}_e(m) \) een oneven natuurlijk getal van de vorm 4.(q-1) + 1 met \( q \in \mathbb{N} \) .

[Professor Puntje]

\( n = 2^{m+1} . k + \frac{ 5 \cdot 2^{m} - 1}{3} \) voor \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{o} \)

Vervolgens bekijken we voor de oneven natuurlijke getallen m de term \( \mathrm{L}_o(m) = \frac{ 5 \cdot 2^{m} - 1}{3} \) . Zo vinden we:

\( \mathrm{L}_o(1) = \frac{ 5 \cdot 2^1 - 1}{3} \)

\( \mathrm{L}_o(1) = \frac{9}{3} \)

\( \mathrm{L}_o(1) = 3 \)

En:

\(\mathrm{L}_o(m+2) = \frac{ 5 \cdot 2^{m+2} - 1}{3} \)

\(\mathrm{L}_o(m+2) = \frac{ 4 \cdot 5 \cdot 2^m - 4 + 3}{3} \)

\(\mathrm{L}_o(m+2) = \frac{ 4 (5 \cdot 2^m - 1) + 3}{3} \)

\(\mathrm{L}_o(m+2) = 4 \cdot \frac{5 \cdot 2^m - 1}{3} \, + \, \frac{3}{3} \)

\(\mathrm{L}_o(m+2) = 4 \cdot \mathrm{L}_o(m) \, + \, 1 \)

Dus voor alle oneven natuurlijke getallen m levert \( \mathrm{L}_o(m) \) een oneven natuurlijk getal van de vorm 4.q + 1 met \( q \in \mathbb{N} \), behalve voor m=1 waarvoor we hebben \( \mathrm{L}_o(1) = 3 \) .