Collatz 2.0

[Regor]

Aan PP,

Onmetelijk dank !

Maar:
1. Ik bouw iets op in verschillende stappen die via redeneren en logica en deductie en empirische vaststelling een patroon vormen in mijn hersenen...... een soort stappenplan.
2. Ik gaf U een gedeelte door die U omzette in formules.
3. Ik heb behoorlijk veel tijd nodig om vast te stellen als ze kloppen, conform zijn aan mijn vaststellingen, en wat ik er verder mee kan.
Verontschuldiging dat dat een tijdje kan duren.

De volgende stap in mijn redenering is het zoeken naar een relatie tussen de partitie van de oneven getallen VOOR de even getal (len) gevormd door 3n+1 ......... en de partitie van de oneven getallen ERNA.
Ik vermoedde dat er een relatie was tussen de Hoofd partities VOOR en NA..... maar dat schijnt zo niet te zijn !
Wordt vervolgt

[Regor]

Aan PP,

Ik heb al een paar keer uw formules uitgeplozen.

Mag ik (nu) aannemen dat :
1. Er inderdaad aparte partities bestaan voor de oneven getallen die NA (3n+1) 1 keer te delen zijn door 2, of 2 keer, of 3 keer ...of
oneindig keer enz .. ?
2. Dat die partities oneindig veel elementen bevatten, waarbij er een formule bestaat om de elementen te berekenen ?
3. Dat de partities te groeperen zijn in twee hoofd-partities, de ene die alle partities bevat die NA (3n+1) een even aantal keer te delen is door 2 ......... de andere partitie een oneven aantal keer ?
4. Dat er geen andere hoofd partities bestaan ?

Heeft U met uw formules nog andere dingen bewezen die ik hierboven niet vermelde ?
Zo ja, graag omschrijven met woorden aub.

[Professor Puntje]

Aan PP,

Ik heb al een paar keer uw formules uitgeplozen.

Mag ik (nu) aannemen dat :
1. Er inderdaad aparte partities bestaan voor de oneven getallen die NA (3n+1) 1 keer te delen zijn door 2, of 2 keer, of 3 keer ...of
oneindig keer enz .. ?

Oneindig keer is wat veel maar maximaal 1 keer, maximaal 2 keer, maximaal 3 keer, etc, dat klopt.

2. Dat die partities oneindig veel elementen bevatten, waarbij er een formule bestaat om de elementen te berekenen ?

Daar heb ik mij niet in verdiept.

3. Dat de partities te groeperen zijn in twee hoofd-partities, de ene die alle partities bevat die NA (3n+1) een even aantal keer te delen is door 2 ......... de andere partitie een oneven aantal keer ?

Klopt.

4. Dat er geen andere hoofd partities bestaan ?

Even en oneven, meer opties zijn er niet.

Heeft U met uw formules nog andere dingen bewezen die ik hierboven niet vermelde ?
Zo ja, graag omschrijven met woorden aub.

Ik heb ook formules voor k gevonden, maar ik weet nog niet of de k volgens mijn formules altijd een natuurlijk getal is.

[Regor]

Aan PP,

Wat betreft oneindig veel elementen in een partitie.
Dat moet toch niet bewezen worden .

vb , De partitie (4k +3) zijn alle oneven getallen (elementen) die NA (3n+1) . maar 1 x deelbaar zijn door 2
k is een natuurlijk getal, tussen nul en oneindig ......; dan zijn er toch oneindig veel elementen (oneven getallen in die partitie.
Trouwens in alle andere partities ook.

Ik begrijp niet goed waarom U de waarde van k berekend in de twee hoofd partities ?
De hoofd- partities zijn gewoon de Unie van partities volgens 2 soorten.

[Regor]

Aan PP,

Maar ik denk dat ik nu weet waarom U de formule voor k in de twee hoofd- partities berekend.
Dan zijn er maar twee formules nodig waar verder mee kan / moet gewerkt worden .... zoiets ?

[Professor Puntje]

Aan PP,

Maar ik denk dat ik nu weet waarom U de formule voor k in de twee hoofd- partities berekend.
Dan zijn er maar twee formules nodig waar verder mee kan / moet gewerkt worden .... zoiets ?

Klopt! Maar graag zie ik dat je na gaat of mijn formules wel beschrijven wat je zelf gevonden hebt. Met name of de k's die je met mijn formules kunt berekenen, ook dezelfde k's zijn die je zelf hebt gevonden.

[Regor]

Aan PP,

Ik heb voorlopig nog zelf geen 'k' s berekend voor de formules van de hoofd - partities.
Ik neem dus voorlopig maar aan dat de formules ervoor van U juist zijn.

Waarom ?
De volgende denkstap die wou zetten is nazien als er een relatie is tussen de hoofd - partities van de oneven getallen VOOR de (3n+1) ,
en de hoofd -partitie van de oneven getallen ERNA............ afhankelijk van het aantal keren dat (3n+1) deelbaar was door 2.

Want alle (3n+1) van de oneven getallen uit de oneven hoofd - partitie ... leiden tot een uitdrukking van de vorm
2 ^ oneven (6k+5) ....... dus 2 tot een oneven macht maal (6k+5)
En alle (3n+1) van de oneven getallen uit de even hoofd - partitie ....... leiden tot een uitdrukking van de vorm
2 ^ even (6k+1) ......... dus 2 tot een even macht maal (6k+1)

Ik heb dat gecontroleerd door gebruik te maken van een aantal de "gewone" partities, het zou dus moeten kloppen voor de hoofd - partities, die niet meer dan een UNI zijn.
Kan U dat met uw formules bewijzen ?

De achterliggende gedachte is vat te krijgen op de SOORT oneven getallen VOOR de (3n+1) en die ACHTER de (3n+1) ...... na een aantal keer delen door 2 natuurlijk.

[Professor Puntje]

Ik heb er wel vertrouwen in dat mijn formules voor de k's kloppen want ik heb daar de bewijzen voor gepost, maar ik ben er nog niet zeker van dat de met mijn formules berekende k's altijd natuurlijke getallen zijn. De berekende k's zouden ook soms op breuken kunnen uitkomen. Of het altijd natuurlijke getallen worden valt aan de formules zelf niet eenvoudig te zien.

Wat je bedoeling verder is begrijp ik niet. Ik kan het niet volgen.

[Regor]

Aan PP,

Ik denk dat uw "k"s altijd natuurlijke getallen zijn...... als de formules van de twee hoofd - partities juist zijn
Geen probleem, paar keer herlezen misschien.

Met andere eenvoudige woorden...... enkel de achterliggende gedachte.
Het is de bedoeling "vat te krijgen" op de structuur van de oneven getallen direct VOOR en eerstvolgend NA (3n+1) (nadat de (3n+1) max gedeeld is door 2 natuurlijk, meer niet.
.

[Professor Puntje]

Misschien dat anderen het wel kunnen volgen, ik wacht even af.

[Regor]

Aan PP,

Ok, maar U weet toch heel goed dat Collatz enkel bestaat uit niets anders dan "blokken" van even getallen en tussen de "blokken" steeds enkel één oneven getal.
Ik wil "vat krijgen" op de structuur van deze oneven getallen.

Maar, U bent vrij natuurlijk al dan. niet interesse te hebben en al dan niet te reageren.
Ik heb geen behoefte aan Fermat, please !

[Professor Puntje]

Na een oneven getal n in de Collatz rij volgt via 3n+1 steeds een even getal. Dat klopt. En dan volgen er delingen door 2 totdat je weer uitkomt op een oneven getal. Dat klopt ook. En die deel-rijtjes van even termen in de Collatz-rij kun je zien als blokken waartussen zich dan eenzame oneven getallen bevinden. Tot zover akkoord.

[Professor Puntje]

\( n = 2^{m+1} . k + \frac{ 2^{m} - 1}{3} \) voor \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{e} \)

Voor die gevallen waarin: \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{e} \) vinden we voor n inderdaad dat :

\( 3 n + 1 = \frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} \)

\( 3 n = \frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 1 \)

\( n = \frac{\frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 1}{3} \)

\( n = \frac{\frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 2^m + 2^m - 1}{3} \)

\( n = \frac{\frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 2^m }{3} + \frac{ 2^m - 1 }{3} \)

\( n = 2^{m+1} \cdot \frac{\frac{3 n +1 }{2^{m+1}} - \frac{1}{2} }{3} + \frac{ 2^m - 1 }{3} \)

\( n = 2^{m+1} \cdot \frac{\frac{3 n +1 }{2^m} - 1 }{6} + \frac{ 2^m - 1 }{3} \)

Dus:

\( n = 2^{m+1} \cdot k + \frac{ 2^m - 1 }{3} \)

voor:

\( k = \frac{\frac{3 n +1 }{2^m} - 1 }{6} \)

Hieruit zien we voor die gevallen waarin: \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{e} \) dat \( \frac{3 n +1 }{2^m} \) oneven is, zodat k van de vorm \( \frac{Z}{3} \) met \( Z \in \mathbb{Z} \) moet zijn.

[Professor Puntje]

\( n = 2^{m+1} . k + \frac{ 5 \cdot 2^{m} - 1}{3} \) voor \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{o} \)

En voor die gevallen waarin: \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{o} \) vinden we voor n dat :

\( 3 n + 1 = \frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} \)

\( 3 n = \frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 1 \)

\( n = \frac{\frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 1}{3} \)

\( n = \frac{\frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 5 \cdot 2^m + 5 \cdot 2^m - 1}{3} \)

\( n = \frac{\frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 5 \cdot 2^m }{3} + \frac{ 5 \cdot 2^m - 1 }{3} \)

\( n = 2^{m+1} \cdot \frac{\frac{3 n +1 }{2^{m+1}} - \frac{5}{2} }{3} + \frac{ 5 \cdot 2^m - 1 }{3} \)

\( n = 2^{m+1} \cdot \frac{\frac{3 n +1 }{2^m} - 5 }{6} + \frac{ 5 \cdot 2^m - 1 }{3} \)

Dus:

\( n = 2^{m+1} \cdot k + \frac{ 5 \cdot 2^m - 1 }{3} \)

voor:

\( k = \frac{\frac{3 n +1 }{2^m} - 5 }{6} \)

Ook voor de gevallen waarin: \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{o} \) zien we dat \( \frac{3 n +1 }{2^m} \) oneven is zodat k van de vorm \( \frac{Z}{3} \)met \( Z \in \mathbb{Z} \) moet zijn.

[Professor Puntje]

\( n = 2^{m+1} . k + \frac{ 2^{m} - 1}{3} \) voor \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{e} \)

Voor die gevallen waarin: \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{e} \) vinden we voor n inderdaad dat :

\( 3 n + 1 = \frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} \)

\( 3 n = \frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 1 \)

\( n = \frac{\frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 1}{3} \)

\( n = \frac{\frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 2^m + 2^m - 1}{3} \)

\( n = \frac{\frac{3 n + 1 }{2^{m+1}} \cdot 2^{m+1} - 2^m }{3} + \frac{ 2^m - 1 }{3} \)

\( n = 2^{m+1} \cdot \frac{\frac{3 n +1 }{2^{m+1}} - \frac{1}{2} }{3} + \frac{ 2^m - 1 }{3} \)

\( n = 2^{m+1} \cdot \frac{\frac{3 n +1 }{2^m} - 1 }{6} + \frac{ 2^m - 1 }{3} \)

Dus:

\( n = 2^{m+1} \cdot k + \frac{ 2^m - 1 }{3} \)

voor:

\( k = \frac{\frac{3 n +1 }{2^m} - 1 }{6} \)

Hieruit zien we voor die gevallen waarin: \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{e} \) dat \( \frac{3 n +1 }{2^m} \) oneven is, zodat k van de vorm \( \frac{Z}{3} \) met \( Z \in \mathbb{Z} \) moet zijn.

\( n = 2^{m+1} . k + \frac{ 2^{m} - 1}{3} \) voor \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{e} \)

Laten we eerst maar eens voor de even natuurlijke getallen m naar de term \( \mathrm{L}_e(m) = \frac{ 2^{m} - 1}{3} \) kijken. Dan vinden we:

\( \mathrm{L}_e(2) = \frac{ 2^2 - 1}{3} \)

\( \mathrm{L}_e(2) = \frac{3}{3} \)

\( \mathrm{L}_e(2) = 1 \)

En:

\(\mathrm{L}_e(m+2) = \frac{ 2^{m+2} - 1}{3} \)

\(\mathrm{L}_e(m+2) = \frac{ 4 \cdot 2^m - 4 + 3}{3} \)

\(\mathrm{L}_e(m+2) = \frac{ 4 (2^m - 1) + 3}{3} \)

\(\mathrm{L}_e(m+2) = 4 \cdot \frac{2^m - 1}{3} \, + \, \frac{3}{3} \)

\(\mathrm{L}_e(m+2) = 4 \cdot \mathrm{L}_e(m) \, + \, 1 \)

Dus voor alle even natuurlijke getallen m levert \( \mathrm{L}_e(m) \) een oneven natuurlijk getal van de vorm 4.(q-1) + 1 met \( q \in \mathbb{N} \) .

Invullen voor \( m = \mathrm{rax}(n) \) en \( n \in \mathcal{Reg}_{e} \) van de gevonden vorm voor k en uitdrukking voor \( \mathrm{L}_e(m) \) geeft:

\( n = 2^{m+1} . \frac{Z}{3} + 4 \cdot (q-1) + 1 \)

Zodat Z een drievoud moet zijn, en k dus een geheel getal.