De Regor rij 3.0

[Regor]

Geen pretentie, maar een ludieke naam voor een rij gebaseerd op delen door 3 in plaats van delen door 2 zoals bij Collatz.
Heb het voor veel getallen cijfermatig uitgerekend ...... komt steeds naar 1.
Ok, geen wiskundig bewijs, gelieve dat niet te herhalen in een reactie aub.

Kan / wil iemand bewijzen dat de rij al dan niet naar 1 gaat ?
Ben benieuwd.

Er zijn drie algoritmes met wat uitleg.
Als het getal n (eender waar in de rij) deelbaar is door 3 ....... deel dan n door 3 (desnoods meerdere malen zoals 27/9/3/1)
Als het getal n oneven is .....pas dan (n+1) toe
Als het getal n oneven is .....pas dan (2n-1) toe

[Regor]

1/2/3/1
2/3/1
3/1
4/7/8/15/5/6/2/3/1
5/6/2/3/1
6/2/3/1
7/8/15/5/6/2/3/1
8/15/5/6/2/3/1
9/3/1
10/19/20/39/13/14/27/9/3/1
11/12/4/7/8/15/5/6/2/2/3/1
12/4/7/8/15/5/6/2/3/1
13/14/27/93/1
14/27/9/3/1
15/5/6/2/3/1
16/31/32/63/21/7/8/15/5/6/2/3/1
17/18/6/2/3/1
18/6/2/3/1
19/20/39/13/14/27/9/3/1
20/39/13/14/27/9/3/1

enz.......

Hopelijk heb ik geen fouten gemaakt (ben daar nogal goed in)

[Professor Puntje]

Er zijn drie algoritmes met wat uitleg.
Als het getal n (eender waar in de rij) deelbaar is door 3 ....... deel dan n door 3 (desnoods meerdere malen zoals 27/9/3/1)
Als het getal n oneven is .....pas dan (n+1) toe
Als het getal n oneven is .....pas dan (2n-1) toe

Een van die twee "onevens" zal "even" moeten zijn...

[Professor Puntje]

Is het zo dat er zich onder vier opeenvolgende termen van een Regor-rij altijd minstens een drievoud bevindt?

[WillemB]

Zo te zien is de laatste regel voor even getallen, als ik de voorbeelden bekijk.
Heb wat groter getallen geprobeerd zoals 1024 het lijkt te werken de Regorij.

In het nederlands kennen we wel het woord Negorij, maar geen Regorij.

[Professor Puntje]

Dit zijn alle mogelijke opties voor de start van een Regor-rij:

3n = drievoud
3n+1 (n even) -> 3n+2 -> 6n+3 = drievoud
3n+1 (n oneven) -> 6n+1 -> 6n+2 -> 12n+3 = drievoud
3n+2 (n even) -> 6n+3 = drievoud
3n+2 (n oneven) -> 3n+3 = drievoud

Dus bij de eerste vier termen van een Regor-rij zit altijd minstens een drievoud.

[Regor]

Aan PP.

Even n ...... (2n-1 ) sorry.

[Regor]

Aan PP,

Correct !

[Regor]

Aan PP,

Mag ik er nog een schepje bovenop doen ?

De drie volgende algoritmen

Als n deelbaar is door 3 ... dan /3
Als n oneven is ..... dan (n+1)
Als n even is ...... dan (4n+1) ......... werkt niet voor (4n-1) ....... wegens lussen.

De getallenrij gaat steeds naar 1.
Komt niet uit een boekje hoor !
Wie kan / wilt het bewijzen ?
Ik kan het zelf niet.


p.s: In de vorige drie algoritmen voor n even .... (2n-1) ...... werkt niet voor (2n+1) ..... wegens lussen

[Professor Puntje]

Ik vind het interessanter om verder te gaan met de oorspronkelijke Regor-rij. Daar heb ik al iets voor bewezen, maar het vermoeden is daarmee nog niet aangetoond. Daar is dus nog werk te doen.

[Regor]

Aan PP,

Mooi, de tweede kwam er maar door mijn onrustige geest.
Ik vraag mij af als het derde algoritme (4n +1) van de tweede rij niet nuttig kan zijn samen met (2n-1) van de eerste rij.

[Professor Puntje]

Algoritme voor de Regor-rij:
Als het getal n (eender waar in de rij) deelbaar is door 3 deel n dan door 3.
Als het getal n oneven en niet deelbaar is door 3 pas dan n+1 toe.
Als het getal n even is en niet deelbaar is door 3 pas dan 2n-1 toe.

Dit zijn alle opties voor het beginstuk van een Regor-rij met een startgetal groter dan of gelijk aan 3:

3k -> k (= kleiner dan startgetal)

3k+1 (k even) -> 3k+2 -> 6k+3 -> 2k+1 (= kleiner dan startgetal)
3k+1 (k oneven en deelbaar door 3) -> 6k+1 -> 6k+2 -> 12k+3 -> 4k+1 -> 4k+2 -> 8k+3 -> (8/3)k+1 (= kleiner dan startgetal)
3k+1 (k oneven en ondeelbaar door 3 en 4k+1 is deelbaar door 3) -> 6k+1 -> 6k+2 -> 12k+3 -> 4k+1 -> (4/3)k+(1/3) (= kleiner dan startgetal)
3k+1 (k oneven en ondeelbaar door 3 en 4k+1 is ondeelbaar door 3 en 4k+2 is deelbaar door 3) -> 6k+1 -> 6k+2 -> 12k+3 -> 4k+1 -> 4k+2 -> (4/3)k+(2/3) (= kleiner dan startgetal)
3k+1 (k oneven en ondeelbaar door 3 en 4k+1 is ondeelbaar door 3 en 4k+2 is ondeelbaar door 3) -> Deze optie kan niet voorkomen.

3k+2 (k even) -> 6k+3 -> 2k+1 (= kleiner dan startgetal)
3k+2 (k oneven) -> 3k+3 -> k+1 (= kleiner dan startgetal)

Kan het voorkomen dat k oneven is en ondeelbaar door 3 en tegelijk ook 4k+1 en 4k+2 is ondeelbaar zijn door 3?
k ondeelbaar door 3 => 8k ondeelbaar door 3
4k+1 ondeelbaar door 3 => 8k+2 ondeelbaar door 3
4k+2 ondeelbaar door 3 => 8k+4 ondeelbaar door 3 => 8k+1 ondeelbaar door 3
Maar voor geen enkel geheel getal k hebben we dat zowel 8k als 8k+1 als 8k+2 ondeelbaar zijn door 3. Dus die optie kan niet voorkomen, en hoefden we daarom ook niet te onderzoeken.

We zien dat er onder eerste 8 getallen van een Regor-rij met een startgetal groter dan of gelijk aan 3 altijd minstens een getal zal voorkomen dat kleiner dan het startgetal is.

[Regor]

Aan PP,

Dank U,
Half gelezen, bleef dan haperen, moet straks opnieuw lezen , als mijn neuronen beter functioneren.
Wat ik alvast niet begrijp:
1. Is dat alles nu enkel geldig voor de 8 getallen oneven en niet deelbaar door 3, en groter dan 3,
Dus voor 5,7,11,13,17,19,23,25 ?
2. Wat met de andere getallen ?
3. Ok, worden wel kleiner, maar uiteindelijk naar 1 ?

[Professor Puntje]

1. Is dat alles nu enkel geldig voor de 8 getallen oneven en niet deelbaar door 3, en groter dan 3,
Dus voor 5,7,11,13,17,19,23,25 ?

De enige eis is dat het startgetal van de rij groter dan of gelijk aan drie moet zijn, wat geen probleem is want voor Regor-rijen met startgetallen 1 of 2 zie je gemakkelijk dat de betreffende Regor-rijen op een lus met 1 uitlopen.

2. Wat met de andere getallen ?

Welke andere getallen? Alle startgetallen groter dan of gelijk aan 3 kunnen met k een positief natuurlijk getal in een van de onderstaande vormen geschreven worden:
3k
3k+1 (k even)
3k+1 (k oneven en deelbaar door 3)
3k+1 (k oneven en ondeelbaar door 3 en 4k+1 is deelbaar door 3)
3k+1 (k oneven en ondeelbaar door 3 en 4k+1 is ondeelbaar door 3 en 4k+2 is deelbaar door 3)
3k+2 (k even)
3k+2 (k oneven)

3. Ok, worden wel kleiner, maar uiteindelijk naar 1 ?

Begin met een startgetal s₁ groter dan of gelijk aan 3, dan bevindt zich binnen de eerste 8 termen van die Regor-rij een term s₂ die kleiner is dan s₁. Als die term 2 of 1 is dan weet je dat de Regor-rij op een lus met 1 uitloopt. Is die term s₂ groter dan of gelijk aan 3 dan kun je een nieuwe Regor-rij maken met s₂ als startgetal. Etc. Zo vind je een rij Regor-rijen met steeds kleinere startgetallen. De Regor-rij met startgetal s₁ moet daarom ook zelf op een lus met 1 uitlopen.

[Regor]

Aan PP,

Enkel startgetal 1 geeft een lus namelijk 1/2/3/1
2 maakt geen lus ... 2/3/1

Zoals in mijn vorige reactie geschreven, moet uw reacties nauwkeuriger bekijken, lukt nu niet.

p.s. Kan U een gelijkaardig mechanisme soms ook gebruiken voor Collatz ?
Ben benieuwd.