Delen door 2

[Regor]

Na wat windstilte op de topic delen door 2, wat nieuwe impuls.
Ik vermoed dat U / jullie vermoeden / weten dat het te maken heeft met het Collatz vermoeden.

ok,,
Gegeven alle / oneindig veel natuurlijke cijfers en getallen n
50 % ervan zijn deelbaar door 2 ..... ik durf te schrijven n/2 ervan is deelbaar door 2 (alhoewel oneindig en oneindig /2 gelijk zijn !)
Maar een gedeelte ervan is maar één maal deelbaar door 2, namelijk 2, 6, 10, 14 , 18 ...... zijnde 2 + 4V

Een "'ander" gedeelte ervan zijn maar tweemaal deelbaar door 2, namelijk 4, 12, 20, 28, 36 ....... zijnde 4 + 8V .... of 2 ( 2+4V)

Een "ander" gedeelte ervan is maar driemaal deelbaar door 2, namelijk 8, 24, 40, 56, 72 ..... 8 + 16V .... of 8 ( 1 + 2V)
Maar ook gelijk aan 2 x 4, 6 x4, 10 x4, 14 x 4, 18 x 4 ( getallen van de eerste rij x4

Vraag:

Hoe zien de formules eruit voor de even getallen die maar 4 maal of maar 5 maal .. enz... deelbaar zijn door 2 ?

[EvilBro]

Laat A de verzameling zijn van alle oneven getallen:

\(A = \left\{ 2 k + 1 | k \in \mathbb{N}\right\}\)

Geen enkel oneven getal is deelbaar door 2 (en dus ook niet door een hogere macht van 2).

Je kunt nu verzamelingen definieren:

\(B_n = \left\{ 2^n a | a \in A \right\} \text{ met } n \in \mathbb{N}\)

Dit is ook meteen precies de verzameling van getallen deelbaar door de n-de macht van 2, aangezien:
1. Het niet mogelijk is een factor 2 "te verstoppen" in de a (2a is immers even en zit dus niet in A).
2. Het niet mogelijk is een factor 2 "uit de a te halen" (a is immers oneven).

Kortom, je bent op zoek naar de, in mijn ogen oninteressante, vorm:

\(2^n (2 k + 1)\)

[Professor Puntje]

@ Regor

Iedere algoritme kan ook als een formule geschreven worden, maar als we dat hier zouden doen zou je dat denk ik als fopperij beschouwen...?

[WillemB]

Wie is in staat om een (eenvoudige) wiskundige formule te maken om direct ( door gebruik te maken van de formule ) te weten / berekenen hoeveel keer het "m"de even getal deelbaar is door 2.

Bv. Hoeveel keer is het 37 ste even getal deelbaar door 2.
Het gebruik van de formule zou direct het antwoord moeten opleveren.

Met logaritmes kan je wel een eind komen, immers: log(16) /log(2) = 4

log(37)/log(2) =5,2 daar zit 2⁵ dus 32 in rest 5

Ik zie dat je bedoelde het 37 even getal dus 74 neem ik aan,
zelfde manier log(74)/log(2)=6,2 oftewel 2⁶ rest 10

[Regor]

Aan EvilBro,

Wat ik bedoel / omschrijf en vraag komt blijkbaar niet goed bij U over, ligt aan mij of aan jou .

Aan PP.

Ik zie geen verband met mijn vraag.
Je denkt blijkbaar dat het C geheim niet in het delen door 2 verborgen zit.
Kan zijn, geen probleem.

Aan Willem ,

Uw reactie was op een vroeger uitgangspunt van mij.
Graag reactie op mijn reactie voor deze reactie.

[Professor Puntje]

Dat is de ruler functie (zie https://oeis.org/A001511 voor een heleboel informatie, maar zonder gesloten formule).
De eenvoudigste manier is tellen hoe vaak je 2 uit je getal kan delen.

Deze link zegt toch al alles wat erover te vinden is?

[WillemB]

@Regor, welke reactie bedoel je, ik dacht dat je wilde weten hoe je met formules uit kon rekenen
hoe vaak er door 2 gedeeld kon worden, dat kan met logaritmes met grondtal 2.

[OOOVincentOOO]

Hier op stacks exchange uitleg maar te ingewikkeld voor mij:

https://math.stackexchange.com/q/4474961/650339

In binair is het de aantal aaneengesloten "laatste" nullen.

Code: Selecteer alles

n	binair		count
0	0		0
1	1		0
2	10		1
3	11		0
4	100		2
5	101		0
6	110		1
7	111		0
8	1000		3
9	1001		0
10	1010		1
11	1011		0
12	1100		2
13	1101		0
14	1110		1
15	1111		0
16	10000		4
17	10001		0
18	10010		1
19	10011		0
20	10100		2
21	10101		0
22	10110		1
23	10111		0
24	11000		3
25	11001		0
26	11010		1
27	11011		0
28	11100		2
29	11101		0
30	11110		1
31	11111		0
32	100000		5
33	100001		0
34	100010		1
35	100011		0
36	100100		2

[OOOVincentOOO]

Sorry zie net dat Ukster hetzelfde bedoelde.

[ukster]

Ja..
v2_(2n) = 1 + aantal nulbits aan het einde van de binaire representatie van n
bijvoorbeeld: n=(256)₁₀ = (100000000)₂
v2₍₅₁₂₎= 1 + 8 = 9
512 is dus 9x deelbaar door 2

[Professor Puntje]

Het (waarschijnlijk simpelste) algoritme bestaat dus uit het omzetten van je te testen decimale getal naar binair.

[EvilBro]

Maar een gedeelte ervan is maar één maal deelbaar door 2, namelijk 2, 6, 10, 14 , 18 ...... zijnde 2 + 4V

2*1, 2*3, 2*5, 2*7 ....2*(2k+1) = 2^1 * (2k + 1)

Een "'ander" gedeelte ervan zijn maar tweemaal deelbaar door 2, namelijk 4, 12, 20, 28, 36 ....... zijnde 4 + 8V .... of 2 ( 2+4V)

4*1, 4*3, 4*5, 4*7 ... 4*(2k+1) = 2^2 * (2k + 1)

Een "ander" gedeelte ervan is maar driemaal deelbaar door 2, namelijk 8, 24, 40, 56, 72 ..... 8 + 16V .... of 8 ( 1 + 2V)

8*1, 8*3, 8*5, 8*7 ... 8*(2k+1) = 2^3 * (2k + 1)

Hoe zien de formules eruit voor de even getallen die maar 4 maal of maar 5 maal .. enz... deelbaar zijn door 2 ?

16*1, 16*3, 16*5, 16*7 ... 16*(2k+1) = 2^4 * (2k + 1)
32*1, 32*3, 32*5, 32*7 ... 32*(2k+1) = 2^5 * (2k + 1)

Welk patroon probeer je te ontdekken?

[Regor]

Waw, wordt interssant,

Aan Vincent,

Sorry hoeft niet Vincent, ben blij dat je terug bent / af en toe opduikt.
Klopt wel, maar blijkbaar enkel voor getallen enkel deelbaar door 2 ...... of ben ik (weer) mis en reageer ik weer te snel ?

Aan WillemB,

Ik bedoelde dat ik mij bv niet meer af vroeg hoeveel keer het 37 ste even getal deelbaar is door 2.
Maar een uitdrukking (formule als functie van n , zie mijn reactie) vinden voor de even getallen die maar één maal deelbaar zijn door 2 zoals 2 en 6,
en een formule voor de even getallen die maar tweemaal deelbaar zijn door 2, zoals 4 en en 12 en maar drie maal, zoal 8 maar 4 maal enz ......
Elk van die groepen heeft een aparte formule die ik wil kennen ............ niet de laatste deze van 2^ oneindig natuurlijk.

Aan PP,

Als U mijn antwoord leest op Willem moet het toch U doordringen waarom ik effen naar die uitdrukkingen / formules wil kijken.
Ze zijn volgens mij één van de sleutels voor C.
Stel maar even vast dat de getallen van sommige groepen niet gevormd kunnen worden via (3n+1) van oneven getallen ...
bv de groep van even getallen die maar éénmaal deelbaar zijn door 2 .
Deze van de groep tweemaal deelbaar door 2 zijn wel vormbaar via (3n+1)
En de volgende groepen ?
Volgt U mij een beetje ?
Zit daar iets in?

[Regor]

Aan elvibro,

Dank U.
Mooi, mooi, mooi,
Raar dat ik niet opmerkte dat de sleutel voor de formules ondermeer (2k+1) bevatte.
De uitdrukkingen van mijn formules waren anders (ingewikkelder).

Die van jou vind ik bijzonder interessant in verband met Collatz.

Moet toch iets zinnig mee te doen zijn ivm Collatz ?
(lees mijn vorige reactie aan PP aub).

Zal vannacht mij neuronen en synapsen latent hun werk laten doen.

[Professor Puntje]

Zou dit kloppen?

\( \mathrm{ruler}(n) \, = \sum \limits _{i=1}^{\lceil ^2\log(2 n) \rceil } \delta \left ( \frac{2 n}{2^i} \, - \, \left \lfloor \frac{2 n}{2^i} \right \rfloor \right ) \)

Probeer eens wat waarden uit?