Natuurlijk getal als som van drie rationele derde machten.

[Regor]

Klopt het dat elk natuurlijk getal op oneindig veel manieren kan geschreven worden als de som van drie rationale dede machten ?
Lijkt mij heel onwaarschijnlijk.

[tempelier]

Klopt het dat elk natuurlijk getal op oneindig veel manieren kan geschreven worden als de som van drie rationale dede machten ?
Lijkt mij heel onwaarschijnlijk.

Ik heb er eens naar gekeken het lijkt me dat het niet zo is.

Ik dacht een bewijs te hebben, maar dat kreeg ik helaas niet rond.

[Regor]

Aan Tempelier,

Ja, het is wel zo.

[Regor]

Oplossing.

1. Stel dat U oplossingen zoekt voor het N getal "n"
2. Kies Q getal "u" zodat (n.u^3)/72 gelegen is tussen 1 en 2
3. Stel (n.u^3/72) als "t"

Dan zijn de drie rationale getallen die tot de derde macht "n" vormen.
X = ( 12t(t+1) - (t-1)^3 ) / ( u(t+1)^2 )
Y = ( (t+1)^3-12t(t-1) ) / ( u(t+1)^2 )
Z = ( 12t(t-1) ) / ( u(t+1)^2 )

X^3 + Y ^3 + Z ^3 = n

Er zijn on eindig veel mogelijkheden om "u" te kiezen ..... dus oneindig veel oplossingen.

[HansH]

misschien mis ik iets maar je kunt elk getal d toch schrijven als een lineaire combinatie van 3 andere getallen
getallen a1,b1,c1 met d=x.a1+y.b1+z.c1
dat stelt een vlak voor in 3D ruimte.
3van die combinaties zijn 3 vlakken in een 3d ruimte en die hebben dan 1 gemeenschapperlijk snijpunt zolang de niet parallel lopen.
d=x.a1+y.b1+z.c1
d=x.a2+y.b2+z.c2
d=x.a3+y.b3+z.c3

[Regor]

Aan HansH,

Voldoet volgens mij. niet aan de vraag in de topic..... nog eens lezen aub ...... "derde machten van rationele getallen "

[HansH]

Aan HansH,

Voldoet volgens mij. niet aan de vraag in de topic..... nog eens lezen aub ...... "derde machten van rationele getallen "

rationele getallen zijn toch een deelverzameling van alle getallen? dus als alle getallen eraan voldoen dan voldoen rationele getallen er toch ook aan? of moeten de schalingsfactoren (x,y en z in mijn voorbeeld) ook rationele getallen zijn? dan kon ik uit de vraag niet opmaken.

[tempelier]

Aan HansH,

Voldoet volgens mij. niet aan de vraag in de topic..... nog eens lezen aub ...... "derde machten van rationele getallen "

rationele getallen zijn toch een deelverzameling van alle getallen? dus als alle getallen eraan voldoen dan voldoen rationele getallen er toch ook aan? of moeten de schalingsfactoren (x,y en z in mijn voorbeeld) ook rationele getallen zijn? dan kon ik uit de vraag niet opmaken.

Alle getallen hoe kom je daar nu weer bij?

Ook is het niet waar wat je poneert.
Alle Rationele getallen zijn deelbaar door 2.
De natuurlijke getallen een deelverzameling van de rationele zijn dat niet.

[ukster]

Aan HansH,

Voldoet volgens mij. niet aan de vraag in de topic..... nog eens lezen aub ...... "derde machten van rationele getallen "

rationele getallen zijn toch een deelverzameling van alle getallen? dus als alle getallen eraan voldoen dan voldoen rationele getallen er toch ook aan? of moeten de schalingsfactoren (x,y en z in mijn voorbeeld) ook rationele getallen zijn? dan kon ik uit de vraag niet opmaken.

Alle Rationele getallen zijn deelbaar door 2.

2/3 is een rationeel getal, maar dit is niet deelbaar door 2 omdat het geen geheel getal is.

[tempelier]

rationele getallen zijn toch een deelverzameling van alle getallen? dus als alle getallen eraan voldoen dan voldoen rationele getallen er toch ook aan? of moeten de schalingsfactoren (x,y en z in mijn voorbeeld) ook rationele getallen zijn? dan kon ik uit de vraag niet opmaken.

Alle Rationele getallen zijn deelbaar door 2.

2/3 is een rationeel getal, maar dit is niet deelbaar door 2 omdat het geen geheel getal is.

2 is een geheel je bedoeld zeker dat 2/3 dat niet is?
2/3 : 2 = 1/3 de deling is uitvooerbaar.

Binnen de rationele getallen is de deling (op 0 na als deler) gegarandeerd.
(Daar worden ze nou net voor ingevoerd)
Binnen de Natuurlijke getallen is dat niet zo.