Uitbreiding soorten getallen

[Regor]

Als ik de x -as bekijk als representatie van alle niet imaginaire getallen, en de y - as als representatie van de imaginaire getallen, en het xy vlak als re^presentatie van de complexe getallen, enz ....
Stel ik mij nog een paar vragen

1. Kan men de z- as ook zien als een representatie van een aparte soort getallen ?
Welke soort ?
2. Nog een 4 de as t ? (4 dimensies)
Welke soort ?
3. De assen zijn rechten.
De getallen zijn aan te duiden als beeldpunten op de rechten.
Zijn ALLE punten op de assen gekenmerkt door een "soort" getallen, of zijn er theoretisch nog lege plaatsen op de assen ?
4. Gelijke vraag voor alle punten op de vlakken xy / yz / zx ?
5. Gelijke vraag voor de ruimte xyz ?
6. Gelijke vraag voor de space xyzt ?

[Professor Puntje]

Ik kan zo snel geen eenvoudige uitleg vinden, maar zoek op hypercomplexe getallen, quaternionen, etc.

Welke specifieke as van je assenstelsel je voor welke component van een getal gebruikt is een kwestie van afspraak en niet essentieel voor de aard van de gedefinieerde getallen.

[HansH]

Imaginaire getallen kun je definieren omdat ze gebaseerd zijn op een uitbreiding van de gewone getallen dmv de wortel uit -1 waarbij wortel uit -1 niet kan. Je kunt een imaginair getal dus niet ontbinden in een combinatioe van normale getallen.

Dus als je daar nog een onafhankelijk domein aan getallen aan toe wilt voegen dan moet dat lijkt mij via een dergelijke constructie waarbij je iets hebt wat niet te ontbinden is in een combinatie van gewoon getal of imaginair getal.

[Professor Puntje]

Hier zijn de quaternionen redelijk eenvoudig uitgelegd: https://www.quantumuniverse.nl/rekenen-met-quaternionen

[Regor]

Aan HansH,

Ok, maar weet ik hoor, ben al een beetje verder, jij toch ook !
Ik wil gewoon zicht krijgen op de soorten bestaande getallen, hun toepassingen en vooral als alle beeldpunten ervan op de assen, de vlakken en de ruimte vullen.
Ik had misschien beter het woord "uitbreiding" niet vermeld, ik heb er zeker geen nood aan.

Aan PP,

Ben gaan grasduinen op internet bij hypercomplexe en quatrionen zoals U aanraadde.
Het is mij wat hoor !

Wat mij in het algemeen opviel is:
A. Dat er meer transcendente getallen zijn dan gehele getallen ..... gezien hun over-aftelbaarheid.
B. Dat er naast quatrionen ook biquatrionen en octonionen bestaan.
C. Klopt het dat bij de quatrionen de "i" voor het complexe xy vlak is, de "j"voor het xz vlak en de "k" voor het yz vlak ?
Ik ben geneigd te denken dat de beeldpunten van de quatrionen (zonder het niet complexe deel) de gehele xyz ruimte vullen,
Klopt dat ?
D. Er bestaan blijkbaar ook surreële getallen ...... wie geeft mij daar een éénvoudige omschrijving voor ?
E. Een detail: "pi"ien "e" zijn beiden transcendent, "e" is uit te drukken als een "repeterende kettingbreuk" en "pi" niet !!!
F. Vormen alle "niet repeterende kettingbreuken" een aparte getallensoort / groep ?

[Professor Puntje]

Voor quaternionen heb je vier assen nodig: zulke getallen hebben één reële en drie complexe componenten.

[Professor Puntje]

[Regor]

Aan PP,

Wist ik ook al ...... komt weer naar boven, maar ok, dank U.
Die 4de as heb ik nog last mee.
Tube nog niet helemaal bekeken hoor.

De biquaternionen en octonionen vind ik zelf maar "gekunstelde" getal systemen ...... je kan er zo elke dag ééntje bijmaken met specifieke rekenregels en hopen dat ze ergens nuttig voor zijn !!!
(bv één reel deel en 32 imaginaire delen) ...... voor alk wat wils.

Heeft U nog enige bedenking of antwoord op één of meer van mijn vragen ( zie cijfers) en of bedenkingen (zie letters) ?

[Professor Puntje]

Voor quaternionen heb je vier assen nodig: zulke getallen hebben één reële en drie complexe componenten.

Correctie: moet zijn drie imaginaire componenten.

Of je zou bijvoorbeeld de drie imaginaire componenten kunnen gebruiken om een vector in 3D te definiëren, en dan hou je de reële component over voor nog iets anders.

[Professor Puntje]

De biquaternionen en octonionen vind ik zelf maar "gekunstelde" getal systemen ...... je kan er zo elke dag ééntje bijmaken met specifieke rekenregels en hopen dat ze ergens nuttig voor zijn !!!
(bv één reel deel en 32 imaginaire delen) ...... voor alk wat wils.

Dat is ook zo, iedereen kan zijn eigen hypercomplexe getallensysteem definiëren. Mooi toch! Alleen zijn de algebraïsche eigenschappen van zulke systemen niet altijd even handig...

Heeft U nog enige bedenking of antwoord op één of meer van mijn vragen ( zie cijfers) en of bedenkingen (zie letters) ?

https://math.stackexchange.com/question ... tion-of-pi

[Regor]

Aan PP

Dank U voor de sureal tube.
Heb er verdorie weeral bedenkingen bij !
1. Het lijkt mij alsof alle rationale getallen surreëel zijn, maar niet omgekeerd ....klopt dat ?
2. Kan men het "mechanisme" van de Sureeele getallen ook toepassen op zuiver imaginaire getallen ? ....... ik zou menen van wel,
maar niet op complexe getallen.

Wanneer komt de PP getallensoort ?

p.s. Na mail contact met Fermat 1637 blijkt hij bezig met een boek te schrijven....... benieuwd waarover !!!

[Regor]

Aan PP,

Dank U,

Prachtig mechanisme die kettingbreuken.
Kende ik al uit het boek met de misleidende titel "Getaltheorie voor beginners"van prof. Frits Beukers.
Het bestaan van "repeterende kettingbreuken" zoals voor "e" en voor vele wortels lijkt mij merkwaardig.
Maar dat lukt niet voor "pi" ...... is dus (in mijn ogen) een nog merkwaardiger getal.

Mijn hoofdvraag is eigenlijk:
Zijn alle punten van de "x" getallenas bedekt door een reel getal ? ..... van welke soort ook ........ of zijn er nog "lege plaatsen" ?
(Om het een beetje eenvoudig uit te drukken).
Dezelfde vraag geldt natuurlijk ook voor de xy/yz/zx vlakken en de xyz ruimte .

[Regor]

Aan PP,

Als ik het artikel;van Stack E bewaar op mij pc en ik open het nadien, valt de inhoud na een paar seconden weg (wordt blank).
Enig idee waarom ?

[Professor Puntje]

Ho ho ho! Ik ga nu eerst een wandelingetje maken, anders zit ik de hele dag achter de computer.

[tempelier]

Als ik de x -as bekijk als representatie van alle niet imaginaire getallen, en de y - as als representatie van de imaginaire getallen, en het xy vlak als re^presentatie van de complexe getallen, enz ....
Stel ik mij nog een paar vragen

1. Kan men de z- as ook zien als een representatie van een aparte soort getallen ?
Welke soort ?
2. Nog een 4 de as t ? (4 dimensies)
Welke soort ?
3. De assen zijn rechten.
De getallen zijn aan te duiden als beeldpunten op de rechten.
Zijn ALLE punten op de assen gekenmerkt door een "soort" getallen, of zijn er theoretisch nog lege plaatsen op de assen ?
4. Gelijke vraag voor alle punten op de vlakken xy / yz / zx ?
5. Gelijke vraag voor de ruimte xyz ?
6. Gelijke vraag voor de space xyzt ?

Ik denk dat er zaken door elkaar lopen zoals de oude benamingen voor dit soort getallen.

Waar je het over hebt staat bekend als het complexe vlak, bedenk echter dat dit vlak zelf reëel is.
Het wordt zo genoemd omdat er de complexe getallen op worden afgebeeld.

Opmerking: Bedenk dat 0 zowel reëel als imaginair is.

Je kunt op dit vlak ook andere complexe getallen afbeelden zoals: Binaire en Duale Getallen. https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperkomplexe_Zahl

Met drie assen zijn er ook mogelijkheden.

Getallen die zijn opgebouwd als: z=a+bi+cj

Hier hed ik echter niet zo snel een goede link voor, maar bedenk dat dit soort getallen geen lichaam of scheef-lichaam vormen.

--------------------------

Voor een nog as extra dus vier stuks (moeilijk te tekenen)

Kan men bv complexe functies (origineel en beeld complex) afbeelden je hebt dan als het ware twee complexe vlakken opgespannen.

Ook kun je er bijvoorbeeld de Quternionen op afbeelden.

Zo kun je als maar door bouwen in diverse richtingen.