Uitbreiding soorten getallen

[tempelier]

Aan T,***

Bij ons noemt men dat "wiskunde op zijn boerenfluitjes" of ok nog " larie en apenkool" .
Tenzij U de spot drijft met mij.
Als dat zo is hoop ik dat U ervan geniet !

Zo vinden ze dat.

Wie zijn die "ons"dan wel die denken Puntje en mij de maat te kunnen nemen?

[Regor]

Aan PP en Tempelier,

Bij "ons" behoor" ik niet bij hoor .... ik zou niet durven !!! !

Graag jullie intuitieve reactie op mijn topic "melk bij de koffie"
En ook jullie bewijs.

[ukster]

Elke as, elk vlak, elke ruimte in deze opbouw correspondeert met een bepaalde klasse getallen: reëel, imaginair, complex, quaternion. Er zijn geen lege plaatsen; elk punt stelt een getal van de juiste soort voor. De uitbreiding naar hogere dimensies levert telkens een nieuwe "soort" getal op (reëel → complex → quaternion → octonion, enzovoort)

[tempelier]

Aan PP en Tempelier,

Bij "ons" behoor" ik niet bij hoor .... ik zou niet durven !!! !

Graag jullie intuitieve reactie op mijn topic "melk bij de koffie"
En ook jullie bewijs.

Zoek je soms ruzie, dat zijn we hier niet gewend.

[Professor Puntje]

Er zijn wel lege plaatsen tussen en voorbij de punten corresponderend met reële getallen op de (uitgebreide) getallen-lijn als je het axioma van Archimedes laat vervallen.

[Regor]

Aan Tempelier,

Neen, bijlange niet ..... probeer dan ook niet te "stoken" ...... ben daar gevoelig voor !
Uw lontje is ook tamelijk kort.
Moet ik dat nu echt voor aannemen .... dat alle getallen nul (0) zijn ?
Aan wie moet ik dat verder wijs maken ?

Ben benieuwd naar uw intuitief antwoord, en of bewijs op "melk in de koffie"

[Professor Puntje]

Oplossing van het raadsel: wie niet zorgvuldig te werk gaat in de wiskunde raakt gemakkelijk verstrikt in onzinnigheden. Concreet betekent dat dat je je aan eenmaal gemaakte afspraken (in de wiskunde definities geheten) hebt te houden. De n-de machtswortel van een niet-negatief reëel getal x is dat niet-negatieve reële getal y dat tot de n-de macht verheven x oplevert. Dat is een nette en eenduidige definitie. Let op dat \( \sqrt{-1} \) uitgaande van deze definitie niet gedefinieerd is! Domweg volhouden dat het imaginaire getal i staat voor \( \sqrt{-1} \) is dus wartaal. En dat blijkt ook uit de onzin die Tempelier en ik uit die onderstelling konden afleiden. Complexe getallen kunnen netjes als formele uitdrukkingen van de vorm a+bi met bijpassende vermenigvuldigingsregels of als geordende paren (a,b) met bijpassende rekenregels worden ingevoerd. Als je daar mee werkt krijg je geen onzin.

Hiermee is niet gezegd dat wortels van complexe getallen (inclusief negatieve getallen) niet kunnen worden ingevoerd, maar als je dat doet heb je nieuwe definities nodig en dien je uiterst zorgvuldig te werk te gaan omdat er dan vaak meerdere uitkomsten mogelijk zijn.

[Regor]

Aan PP,

Dank U voor de mooie uitleg.
Ik herinner mij dat er behoorlijk veel rariteiten mee, verkeerd, kunnen bewezen worden.

Maar dat alle getallen. nul zijn ligt nog op mijn maag ...... zal een kopje koffie met melk nodig hebben.
Begrijp ik het goed, dat volgens de "zienswijze" er nog lege plaatsen kunnen zijn op de assen x/y/z en de vlakken xy/yz/zx / en de ruimte xyz.
Mag ik daar het éénvoudige besluit uit nemen . dat punten geen rechte volledig kunnen dekken, rechten geen vlak volledig kunnen dekken, en vlakken geen ruimte volledig kunnen dekken ?

[Professor Puntje]

Om op de getallenlijn ruimte te maken voor extra punten die niet met reële getallen zijn aan te duiden moet je het Axioma van Archimedes opgeven. Uitbreidingen van het reële getallensysteem zijn enkel mogelijk door te accepteren dat zekere eigenschappen van de reële getallen voor het uitgebreide getallensysteem niet langer altijd opgaan. In die zin is het systeem van de reële getallen compleet. Er kan aan extra getallen niets meer bij als je wilt dat het uitgebreide getallensysteem nog steeds dezelfde eigenschappen houdt.

[Regor]

Aan PP,

Ok, dank U.
Was uiteindelijk een hele boterham om aan uit te geraken.
Lust in een kopje koffie met melk ? ....... zie topic (cafeepraatje) "melk in de koffie" benieuwd naar uw reactie.

[Professor Puntje]

Ik vertrouw mijn eigen intuïtie niet, dat zit er te vaak naast. Van mij dus geen reactie in dat topic.

[Regor]

Aan PP,

De algemene formules om te bewijzen dat er evenveel melk in de koffie is dan koffie in de melk, moet toch een kolfje naar uw hand zijn.
Maar laat U niet beinvloeden door mij, ben soms nogal opdringerig. (MD).

[Professor Puntje]

Er werd de eis gesteld dat je eerst een intuïtief antwoord moest geven. Maar als direct een bewijs ook OK is wil ik dat wel doen.

[Regor]

Aan PP,

Ik "eis" nooit iets !
Ik denk dat ik geschreven heb ..... graag eerst....

Wat mij boeit is dat Ukster beweerd (en ik twijfel daar niet aan hoor), dat men dat proces meerdere keer na elkaar kan toepassen,
en dat er nog altijd even veel melk in de koffie is dan koffie in de melk.

Ben benieuwd, dank U

[Professor Puntje]

Heb het bewijs net gepost.