PuzzelsWie kan mij helpen aan een / de juiste beschrijving van het vermoeden van Gilbreath ?
De beschrijving in Wikipedia vind ik hooguit verwarrend, zelfs onjuist.
Ben benieuwd !
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Re: Vermoeden van Gilbreath
Chat kan jouw helpen.
Het vermoeden van Gilbreath is een getaltheoretisch vermoeden dat relatief eenvoudig te formuleren is, maar nog steeds niet is bewezen (of weerlegd). De verwarring op Wikipedia komt vaak doordat het vermoeden een nogal ongebruikelijke formulering heeft, en vaak slordig wordt opgeschreven. Laten we proberen het helder te formuleren.
###
**Heldere beschrijving van het vermoeden van Gilbreath**
1. Begin met de rij van opeenvolgende priemgetallen, dus:
$$
2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ \ldots
$$
2. Neem van deze rij de rij van de absolute verschillen tussen opeenvolgende priemgetallen (de zogenaamde eerste rij van verschillen):
$$
|3 - 2| = 1,\ |5 - 3| = 2,\ |7 - 5| = 2,\ |11 - 7| = 4,\ |13 - 11| = 2,\ \ldots
$$
Dus:
$$
1,\ 2,\ 2,\ 4,\ 2,\ 4,\ 2,\ 4,\ 6,\ \ldots
$$
3. Herhaal dit proces: neem telkens de rij van absolute verschillen van de vorige rij, net als bij het maken van een driehoek van verschillen.
4. Je krijgt dan een soort driehoek (zoals bij de driehoek van Pascal, maar met verschillen). Bijvoorbeeld:
```
Rij 0: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 ...
Rij 1: 1 2 2 4 2 4 2 4 ...
Rij 2: 1 0 2 2 2 2 2 ...
Rij 3: 1 2 0 0 0 0 ...
Rij 4: 1 2 0 0 0 ...
Rij 5: 1 2 0 0 ...
...
```
---
###
Het vermoeden luidt dan:
> In elke rij (behalve de eerste), staat het eerste getal altijd gelijk aan 1.
Met andere woorden: het eerste getal op elke rij van verschillen (vanaf rij 1) is 1.
Dus:
* Rij 1 begint met 1
* Rij 2 begint met 1
* Rij 3 begint met 1
* Rij 4 begint met 1
* enzovoort
Dit is het vermoeden van Gilbreath.
###
Wat weten we erover?
* Het vermoeden is getest tot miljoenen rijen, en het blijft kloppen.
* Er is nog geen bewijs, en ook geen tegenvoorbeeld gevonden.
* Het vermoeden werd voor het eerst opgemerkt door Norman L. Gilbreath in 1958.
* Soms wordt het ook wel het "Gilbreath-priemgetallenvermoeden" genoemd.
Het vermoeden van Gilbreath is een getaltheoretisch vermoeden dat relatief eenvoudig te formuleren is, maar nog steeds niet is bewezen (of weerlegd). De verwarring op Wikipedia komt vaak doordat het vermoeden een nogal ongebruikelijke formulering heeft, en vaak slordig wordt opgeschreven. Laten we proberen het helder te formuleren.
###
**Heldere beschrijving van het vermoeden van Gilbreath**1. Begin met de rij van opeenvolgende priemgetallen, dus:
$$
2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ \ldots
$$
2. Neem van deze rij de rij van de absolute verschillen tussen opeenvolgende priemgetallen (de zogenaamde eerste rij van verschillen):
$$
|3 - 2| = 1,\ |5 - 3| = 2,\ |7 - 5| = 2,\ |11 - 7| = 4,\ |13 - 11| = 2,\ \ldots
$$
Dus:
$$
1,\ 2,\ 2,\ 4,\ 2,\ 4,\ 2,\ 4,\ 6,\ \ldots
$$
3. Herhaal dit proces: neem telkens de rij van absolute verschillen van de vorige rij, net als bij het maken van een driehoek van verschillen.
4. Je krijgt dan een soort driehoek (zoals bij de driehoek van Pascal, maar met verschillen). Bijvoorbeeld:
```
Rij 0: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 ...
Rij 1: 1 2 2 4 2 4 2 4 ...
Rij 2: 1 0 2 2 2 2 2 ...
Rij 3: 1 2 0 0 0 0 ...
Rij 4: 1 2 0 0 0 ...
Rij 5: 1 2 0 0 ...
...
```
---
###
Het vermoeden luidt dan:> In elke rij (behalve de eerste), staat het eerste getal altijd gelijk aan 1.
Met andere woorden: het eerste getal op elke rij van verschillen (vanaf rij 1) is 1.
Dus:
* Rij 1 begint met 1
* Rij 2 begint met 1
* Rij 3 begint met 1
* Rij 4 begint met 1
* enzovoort
Dit is het vermoeden van Gilbreath.
###
Wat weten we erover?* Het vermoeden is getest tot miljoenen rijen, en het blijft kloppen.
* Er is nog geen bewijs, en ook geen tegenvoorbeeld gevonden.
* Het vermoeden werd voor het eerst opgemerkt door Norman L. Gilbreath in 1958.
* Soms wordt het ook wel het "Gilbreath-priemgetallenvermoeden" genoemd.
Re: Vermoeden van Gilbreath
Aan wnvl1,
Dank U,
Heel uitvoerig, dankbaar voor anderen, minder voor mij.
Dat is wat Wikipedia schrijft en heb ik grondig ....... dus de verwarring blijft !!!!
Men schrijft ..... begin met de rij priemgetallen, absolute waarde van de opeenvolgende verschillen , vanaf 2de rij begint met 1
Ok, tot daar ....... maar dan
" Het vermoeden is getest tot miljoenen rijen, en het blijft kloppen. " !!!!
Welke rijen ? ......... willekeurige rijen ? ........... rijen los van priemgetallen ?
Dank U,
Heel uitvoerig, dankbaar voor anderen, minder voor mij.
Dat is wat Wikipedia schrijft en heb ik grondig ....... dus de verwarring blijft !!!!
Men schrijft ..... begin met de rij priemgetallen, absolute waarde van de opeenvolgende verschillen , vanaf 2de rij begint met 1
Ok, tot daar ....... maar dan
" Het vermoeden is getest tot miljoenen rijen, en het blijft kloppen. " !!!!
Welke rijen ? ......... willekeurige rijen ? ........... rijen los van priemgetallen ?
Re: Vermoeden van Gilbreath
Als het gaat om deze wiki pagina: https://en.wikipedia.org/wiki/Gilbreath%27s_conjecture:
Rij 1 = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ...
De volgende rijen bepaal je via \(d^k_n = |d^{k-1}_{n+1} - d^{k-1}_n|\)
waarbij:
k = volgnummer van de rij
n = volgnummer van het element in de rij
Voorbeeld:
(rij k=1 element n=1) = \(d^1_1 = 2\)
(rij k=1 element n=2) = \(d^1_2 = 3\)
(rij k=1 element n=3) = \(d^1_2 = 5\)
waardoor
(rij k=2 element n=1)= \(d^2_1\) = |[rij(2-1) element (1+1)] - [rij(2-1) element 1]| = |[rij 1 element 2 - rij 1 element 1]| = |3-2| = 1
en
(rij k=2 element n=2)= \(d^2_2 = |d^{2-1}_{2+1} - d^{2-1}_2| = |d^1_3 - d^1_2| = |5-3| = 2\)
Hiermee kunnen we rij 2 opbouwen:
Rij 2 = 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, ...
Dit herhalen we voor de volgende rij = rij 3, die we met de waarden van rij 2 opbouwen:
(rij k=2 element n=1) = \(d^2_1 = 1\)
(rij k=2 element n=2) = \(d^2_2 = 2\)
(rij k=2 element n=3) = \(d^2_3 = 2\)
waardoor
(rij k=3 element n=1)= \(d^3_1 = |d^{3-1}_{1+1} - d^{3-1}_1| = |d^2_2 - d^2_1| = |2-1| = 1\)
en
(rij k=3 element n=2)= \(d^3_2 = |d^{3-1}_{2+1} - d^{3-1}_2| = |d^2_3 - d^2_2| = |2-2| = 0\)
Hiermee krijgen we:
Rij 3 = 1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 0, 4, 4, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, ...
En dit herhaal je voor rij 4 en alle volgende rijen.
PS: volgens wikipedia beginnen in ieder geval de eerste \(3.4 \cdot 10^{11}\) rijen met een 1.
Rij 1 = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ...
De volgende rijen bepaal je via \(d^k_n = |d^{k-1}_{n+1} - d^{k-1}_n|\)
waarbij:
k = volgnummer van de rij
n = volgnummer van het element in de rij
Voorbeeld:
(rij k=1 element n=1) = \(d^1_1 = 2\)
(rij k=1 element n=2) = \(d^1_2 = 3\)
(rij k=1 element n=3) = \(d^1_2 = 5\)
waardoor
(rij k=2 element n=1)= \(d^2_1\) = |[rij(2-1) element (1+1)] - [rij(2-1) element 1]| = |[rij 1 element 2 - rij 1 element 1]| = |3-2| = 1
en
(rij k=2 element n=2)= \(d^2_2 = |d^{2-1}_{2+1} - d^{2-1}_2| = |d^1_3 - d^1_2| = |5-3| = 2\)
Hiermee kunnen we rij 2 opbouwen:
Rij 2 = 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, ...
Dit herhalen we voor de volgende rij = rij 3, die we met de waarden van rij 2 opbouwen:
(rij k=2 element n=1) = \(d^2_1 = 1\)
(rij k=2 element n=2) = \(d^2_2 = 2\)
(rij k=2 element n=3) = \(d^2_3 = 2\)
waardoor
(rij k=3 element n=1)= \(d^3_1 = |d^{3-1}_{1+1} - d^{3-1}_1| = |d^2_2 - d^2_1| = |2-1| = 1\)
en
(rij k=3 element n=2)= \(d^3_2 = |d^{3-1}_{2+1} - d^{3-1}_2| = |d^2_3 - d^2_2| = |2-2| = 0\)
Hiermee krijgen we:
Rij 3 = 1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 0, 4, 4, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, ...
En dit herhaal je voor rij 4 en alle volgende rijen.
PS: volgens wikipedia beginnen in ieder geval de eerste \(3.4 \cdot 10^{11}\) rijen met een 1.
Re: Vermoeden van Gilbreath
Aan wnvl1 en RedCat,
Beste dank U voor zoveel gebruikte tijd en energie.
Kan U zich voorstellen hoe ik de zin in wikipedia interpreteerde "dat het voor heel veel rijen klopte"
Ik stond versteld omdat ik dacht aan verschillende rijen van bv OEIS !!!
Vandaar dat ik gewoon vroeg ...... geldt dat enkel voor de rij priemgetallen ?
Gewoon het antwoord van jullie "ja" had mij al voldoening gegeven.
(Hoe een dubbeltje rollen kan) !
Gezien dat enkel voor de rij priemgetallen is ...... dan is dat een unieke eigenschap van de rij priemgetallen en de absolute waarden van hun opeenvolgende verschillen.
Drie vragen komen naar boven:
1. Zijn er dan geen andere rijen met dezelfde eigenschap ?
2. Mag ik aannemen dat het vermoeden nooit bewezen kan worden ..... zolang de formule voor het "volgende" priemgetal, op
basis van de voorgaande niet gevonden wordt ?
3. Als men aanneemt dar het vermoeden van G correct is ....... kan dat bruikbaar zijn voor punt 2 ?
(Wellicht niet omdat het gaat om absolute waarden van verschillen ).
Beste dank U voor zoveel gebruikte tijd en energie.
Kan U zich voorstellen hoe ik de zin in wikipedia interpreteerde "dat het voor heel veel rijen klopte"
Ik stond versteld omdat ik dacht aan verschillende rijen van bv OEIS !!!
Vandaar dat ik gewoon vroeg ...... geldt dat enkel voor de rij priemgetallen ?
Gewoon het antwoord van jullie "ja" had mij al voldoening gegeven.
(Hoe een dubbeltje rollen kan) !
Gezien dat enkel voor de rij priemgetallen is ...... dan is dat een unieke eigenschap van de rij priemgetallen en de absolute waarden van hun opeenvolgende verschillen.
Drie vragen komen naar boven:
1. Zijn er dan geen andere rijen met dezelfde eigenschap ?
2. Mag ik aannemen dat het vermoeden nooit bewezen kan worden ..... zolang de formule voor het "volgende" priemgetal, op
basis van de voorgaande niet gevonden wordt ?
3. Als men aanneemt dar het vermoeden van G correct is ....... kan dat bruikbaar zijn voor punt 2 ?
(Wellicht niet omdat het gaat om absolute waarden van verschillen ).
Re: Vermoeden van Gilbreath
Dan was het antwoord "nee",
bv
van de rij 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (ofwel \(a_n = 2^n\) waarbij \(n \ge 0\))
en de (triviale) rij: 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
(of bijna even triviaal 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...)
(of 1, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, ...)
beginnen de rijen onder de herhalingen met de formule van Gilbreath steeds met 1.
Re: Vermoeden van Gilbreath
Aan RedCat,
Ok, zo bijzonder is die eigenschap blijkbaar niet.
Dus antwoord op vraag 1 is "neen"
Heeft U een antwoord op mijn vraag 2 en vraag 3 ?
Ok, zo bijzonder is die eigenschap blijkbaar niet.
Dus antwoord op vraag 1 is "neen"
Heeft U een antwoord op mijn vraag 2 en vraag 3 ?
Re: Vermoeden van Gilbreath
Zonder alle priemgetallen te kennen kan je er wel algemene uitspraken over doen en bewijzen, bijvoorbeeld:2. Mag ik aannemen dat het vermoeden nooit bewezen kan worden ..... zolang de formule voor het "volgende" priemgetal, op
basis van de voorgaande niet gevonden wordt ?
(1) zeer basaal: alle priemgetallen groter dan 2 zijn oneven
(2) voor alle n>1 bestaat er ten minste 1 priemgetal p zodanig dat n < p < 2n (="tussen n en 2n is er altijd een priemgetal p te vinden")
(zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Postulaat_van_Bertrand).
Het vermoeden van Gilbreath voor de eerste n priemgetallen (met n eindig) kunnen we bewijzen door de Gilbreath-rijen uit te schrijven.
Hier voor n=25:
Code: Selecteer alles
p25 = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
rij 1 = 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8
rij 2 = 1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 2, 2, 2, 0, 4, 4, 2, 2, 4, 2, 2, 2
rij 3 = 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 4, 0, 2, 0, 2, 2, 0, 0
rij 4 = 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 0, 2, 0
rij 5 = 1, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 2
- het eerste element blijft 1 (1 gevolgd door 0 of 2 geeft in de volgende rij als eerste element weer een 1)
- elk volgende element wordt weer een 0 of 2: (0,0)→0, (2,2)→0, (0,2)→2 en (2,0)→2.
Voor het voorbeeld hierboven (n=25) zijn we in 5 herhalingen klaar,
voor de eerste n=100 priemgetallen in 11 herhalingen,
voor de eerste n=1000 priemgetallen in 35 herhalingen,
voor de eerste n=10000 priemgetallen in 65 herhalingen,
voor de eerste n=100000 priemgetallen in 97 herhalingen,
voor de eerste n=1000000 priemgetallen in 147 herhalingen,
etc.
Als je zou kunnen bewijzen dat het aantal herhalingen altijd veel kleiner blijft dan n (voor n naar oneindig) dan heb je het bewijs van het vermoeden van Gilbreath.
Dit probleem is ook gerelateerd aan priemgetalhiaten (https://nl.wikipedia.org/wiki/Priemgetalhiaat) = prime gaps = het aantal getallen vanaf een priemgetal \(p_i\) naar het eerstvolgende grotere priemgetal \(p_{i+1}\) (\(\text{gap}_i = p_{i+1}-p_i\)): dit zijn de getallen in rij 1 van Gilbreath.
Voor grote gaps verwacht je meer rijen nodig te hebben voordat dat getal gereduceerd is tot 2 of 0.
Op deze pagina staat een tabel met de eerste verschijning van gaplengte (daar n genoemd) en het priemgetal p(n) waarna die gaplengte voor het eerst optreedt: https://mathworld.wolfram.com/PrimeGaps.html. Omdat p(n) al snel heel groot wordt, verwacht je dat de Gilbreath herhalingen ruim voldoende tijd hebben om de bijbehorende gaplengtes weg te werken, maar het bewijs hiervoor is (voor zover ik weet) nog niet geleverd.
Lijkt me ook: uit rij 1 kan je de priemgetallenrij afleiden omdat de priemgetallen gerangschikt staan op grootte, maar rij 1 is net zo onregelmatig als de rij priemgetallen zelf.3. Als men aanneemt dar het vermoeden van G correct is ....... kan dat bruikbaar zijn voor punt 2 ?
(Wellicht niet omdat het gaat om absolute waarden van verschillen ).
En uit elke rij na rij 1 krijg je wegens de absolute waarden van de verschillen ook meerdere alternatieven voor de daaraan voorafgaande rij.
Zo kunnen we uit rij 2 van p25 (zie hierboven) meerdere rijen 1 construeren, bijvoorbeeld (met rij 1 ≠ rij 1' ):
Code: Selecteer alles
rij 1 = 1 , 2 , 2 , 4 , 2 , 4 , 2 , 4 , 6 , 2 , ...
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
rij 2 = 1 , 0 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 4 , ...
rij 1' = 1 , 2 , 2 , 4 , 6 , 4 , 6 , 8 , 6 , 10 , ...
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
rij 2 = 1 , 0 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 4 , ...
