Vraag

[PhilipVoets]

Beschouw de getallen van twee cijfers die, na vermenigvuldiging met de som van hun cijfers, een product opleveren gelijk aan de som van de derdemachten van die cijfers. Het aantal getallen is?

Mijn eerste gedachte:

(10a+b)(a+b)=a^3+b^3
10+b=a^2+b^2-ab
(a+b)^2=10a+3ab+b

Maar daar liep het een beetje vast, haha. Iemand suggesties? Het antwoord zal vast niet “proberen” zijn.

Dank!

[tempelier]

Ik zie geen rekenfout, maar ik heb wat moeite met je notatie.

Waarom noteer je niet: a² in plaats van a^2?

Het is een Diofantische vergelijking van de tweede graad. https://nl.wikipedia.org/wiki/Diofantische_vergelijking

Ik dacht niet dat voor dit typen een algemene algebraïsche oplossingsmethode bestaat.

Ik zelf ben overgegaan op (a-b)² maar dat gaf niet veel verbetering.

Wel kun je ze snel vinden als ze er zijn met bv. Maple maar dat is eigenlijk ook uitproberen

[PhilipVoets]

Tja, je kunt in ieder geval stellen dat a niet te groot mag zijn, omdat anders linkerlid altijd groter zal dan rechterlid zijn en dan maar paar opties proberen? Dan heb je het aantal getallen in ieder geval al sterk teruggebracht. Het zou met het blote hoofd op te lossen moeten zijn.

[tempelier]

Nou, je kunt natuurlijk kijken hoe snel links en rechts stijgen voor wat getallen op proef, aanvankelijk is linkerlid nog groter, later zullen de derdemachten in rechterlid heel snel gaan, dus ergens in het midden moet een kruising zitten en dan voor een paar getallen nog uitproberen om te zien of de oplossing bestaat. Zoiets?

Je bedoelt met Maple dat zou ik ander doen.

Herleid een vergelijking zo dat alle vormen met een a of een b er in links staan en het getal rechts.

We proberen nu gewoon uit in een 10 bij 10 matrix.
Laat horizontaal de a lopen van 0 tot en met 9.
Laat verticaal de b lopen van o tot en met 9.

Maak daar een formule van met die je gevonden hebt met a en b er in.

Je kunt nu met een oogopslag zien of er wel of geen oplossingen zijn.

Maar ja:
Het is en blijft toch uitproberen.

----------------------------

Een onderzoek wat op het jouwe lijkt zo misschien kunnen lopen via de kegelsneden.
Dat is nogal lastig en je bent niet verzekerd dat het werkt.

[ukster]

a=4
b=8

[PhilipVoets]

a=4
b=8

Dank, maar is me niet echt om het antwoord te doen, maar om de aanvliegroute/gedachtegang

[ukster]

Tja…die heb ik ook niet echt
Maple produceert dit resultaat (blauw)

1 224 keer bekeken

Probeer:
b=7, a=3
b=8, a=4

[PhilipVoets]

Tja, je kunt in ieder geval stellen dat a niet te groot mag zijn, omdat anders linkerlid altijd groter zal dan rechterlid zijn en dan maar paar opties proberen? Dan heb je het aantal getallen in ieder geval al sterk teruggebracht. Het zou met het blote hoofd op te lossen moeten zijn.

Feitelijk dus toch een geavanceerde vorm van dit, haha.
Maar dank!

[tempelier]

Ik ben gisteren iets vergeten op te merken.

Er wordt gedeeld door a-b dit mag niet als a=b dat moet dus apart worden bekeken.

[tempelier]

Tja…die heb ik ook niet echt
Maple produceert dit resultaat (blauw)
1.png
Probeer:
b=7, a=3
b=8, a=4

Ook hier wordt geprobeerd.

UIt gaan van een matrix heeft als voordeel dat bij een kleine variatie een eventuele oplossing toch heel snel wordt gevonden.

Vb.

f1(a,b) = (10a+b)(a+b)-a³- b³
f2(a,b) = (10a+b)(a+b)-a²- b⁵

f1 kan snel worden omgezet in f2