[wiskunde] Oplossen Bernouilli-differentiaalvergelijking: domeinbeperking integrerende factor

[Tetnuldi]

Beste,

Dit is de desbetreffende vraag:

"Bepaal de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking: -3y^(3)tan(x)y' + cos^2(x)y = 5y^(4), met y(-π/2) = 1."

Enigszins herschrijven geeft het volgende: y(x) = 0 (triviale oplossing) of y'(x) = (cos^2(x)cot(x)/3)*y^(-2)(x) - (5/3)y(x)cot(x).

Hierin herkent men een Bernouilli-differentiaalvergelijking. Zij g(x) = y^(1+2)(x) = y^(3)(x), dan is g'(x) = 3y^(2)(x)y'(x).

Als we de (laatste) vergelijking, langs beide kanten, vermenigvuldigen met 3y^(2)(x), dan krijgen we het volgende:

3y^(2)(x)y'(x) + 5cot(x)y^(2)(x) = cos^(2)(x)cot(x)

a.s.a.

g'(x) + 5cot(x)g(x) = cos^(2)(x)cot(x)

Zij de integrerende factor μ(x) = e^(5*integraal(cot(x)dx) = abs(sin^(5)(x)). (Nu ik weet dat men, hoewel dit een onbepaalde integraal is, men er geen constante bij optelt. Echter, het waarom is me onbekend).

Het probleem met deze integrerende factor is dat men g'(x) + 5cot(x)g(x) niet kan opschrijven als (g(x)*abs(sin^(5)(x)).

Stel dat je het domein van deze integrerende factor beperkt, namelijk tot x ∈ (kπ,2kπ), met k∈ ZZ. Je beschouwt dus enkel de sinusfunctie (en dus ook de vijfde macht van de sinusfunctie) wanneer deze strikt negatief is. Immers, de x-waarde in de voorwaarde is negatief.
Dan kun je de bovenstaande uitdrukking wel als (g(x)*(-sin^(5)(x))' opschrijven. Je beschouwt dus nu μ(x) = - sin^(5)(x). Dit verder uitwerken geeft het volgende, mits *(-1) te vermenigvuldigen langs beide kanten:

g(x)*sin^(5)(x) = integraal(sin^(4)(x)cos^(3)(x)dx)

Een verdere uitwerking geef tot slot:

g(x) = 1/5 - sin^(2)(x)/7 + C/sin^(5)(x) met C ∈ R.

De algemene oplossing die we verkrijgen is de volgende:

y(x) = (1/5 - sin^(2)(x)/7 + C/sin^(5)(x) )^(1/3)

Als we de meegegeven voorwaarde invullen, krijgen we de particulier oplossing met C = -33/35:

y(x) = 1/5 - sin^(2)(x)/7 - (33/35sin^(5)(x)).

Blijkbaar geeft dit dus een oplossing. Is deze domeinbeperking correct?

Bij voorbaat dank,

een handelsingenieur in spe (1e jaar).

[Xilvo]

Opmerking moderator

Verplaatst naar het forum "Huiswerk en Practica".

[wnvl1]

Zij de integrerende factor μ(x) = e^(5*integraal(cot(x)dx) = abs(sin^(5)(x)). (Nu ik weet dat men, hoewel dit een onbepaalde integraal is, men er geen constante bij optelt. Echter, het waarom is me onbekend).

Je mag dat doen. Dat leidt tot een extra stukje homogene oplossing, maar draagt niet bij tot de particuliere oplossing. Dus waarom zou je die moeite doen?

[wnvl1]

Ik heb de oplossing niet helemaal nagerekend. Maar het principe van het beperken van het domein zodat die cotangens continu is en in dat beperkt domein naar een oplossing zoeken, daar zie ik geen enkel probleem met. Je kan dan immers gebruiken maken dar er een unieke opolossing is voor het beginwaardeprobleeem. Dat je dan effectief alle oplossingen gaat hebben voor de hele differentiaal vergelijking met rekening houdend met die discontinuiteiten van cot(x) als je alles gaat samenvoegen dat durf ik zomaar niet te zeggen.

[Tetnuldi]

Zij de integrerende factor μ(x) = e^(5*integraal(cot(x)dx) = abs(sin^(5)(x)). (Nu ik weet dat men, hoewel dit een onbepaalde integraal is, men er geen constante bij optelt. Echter, het waarom is me onbekend).

Je mag dat doen. Dat leidt tot een extra stukje homogene oplossing, maar draagt niet bij tot de particuliere oplossing. Dus waarom zou je die moeite doen?

Duidelijk! Dank!