[wiskunde] complexe oplossing?

[dannypje]

Is er een complexe oplossing voor x in 1^x=3
iemand beweerde dat de oplossing x= -i*ln(3)/(2k*pi) is, maar ik zie niet hoe je tot die oplossing komt. Iemand een idee?

[Xilvo]

Het getal 1 tot welke macht dan ook zal altijd 1 opleveren.
Neem je van beide kanten de logaritme, dan krijg je \(x\cdot \ln{1}=x \cdot 0=\ln{3}\)
Er is geen x die daar aan voldoet.
Weet je zeker dat die iemand het over dit vraagstuk had?

[irArjan]

Het zou wel eens kunnen dat die iemand deze video heeft gezien:

[dannypje]

oh ja hoor. Het was zelfs een 'groepsexpert'

Bedankt, dat lijnt op met wat ik dacht!

[dannypje]

Het zou wel eens kunnen dat die iemand deze video heeft gezien:

Bedankt Arjan. Maar ik vraag me af of dit nu een geldige oplossing is. Er zijn ook videos die aantonen dat 1 of andere oneindige som gelijk is aan -1/12. Vraag me af of dit er eentje van hetzelfde kaliber is.

[irArjan]

Daarvoor weet ik te weinig van wiskunde af

[wnvl1]

De youtuber neemt links en rechts de 1 log van \(1^x = 2\).Links laat hij die nul vallen met de rekenregel \(^1log1^x = x\). Dat is dubieus want je kan evengoed zeggen \(^1log1^x = 335\), immers \(1^{335}\) is ook gelijk aan \(1^x\).

De functie \(a^z\) is in de complexe functie leer niet injectief. Dit betekent dat verschillende waarden niet op een verschillende waarde afgebeeld worden. Dit houdt in dat je verschillende branches hebt wanneer je gaat inverteren. Het probleem is vergelijkbaar met de inverse functie van een sinus. Dat is ook pas gedefineerd als je het domein gaat beperken. In de complexe functieleer kan je ook jezelf gaan beperken tot één branche. Hij kiest voor een branche waarbij log(1) niet gelijk is aan nul, maar aan \(i2n\pi\).

Wat er in de grond gebeurt, is dat er links en rechts verschillende branches vermengd worden en dat lijkt tot onzinnige resultaten.

[wnvl1]

Eigenlijk is het nog eenvoudiger verwoord door te stellen dat \(1^x\) gelijk is aan 1 voor alle waarden van x, dus deze functie is niet op een echt zinnige manier inverteerbaar te maken. Bijgevolg heeft de \(^1\log\) weinig betekenis. Als je spiegelt over de eerste bissectrice om te inverteren, krijg je een vertikale lijn en dat is geen functie.

[RedCat]

Er zijn ook videos die aantonen dat 1 of andere oneindige som gelijk is aan -1/12. Vraag me af of dit er eentje van hetzelfde kaliber is.

Een oneindige reeks kan een eindig resultaat opleveren (= de limietwaarde), zie bv.
https://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics) (m.n. de inleiding daarvan en de "Basic properties").
Dat is heel wat anders dan delen door nul (ofwel delen door log(1)).

Bijvoorbeeld:
\(\small S = \frac{-1}{13^1}+\frac{-1}{13^2}+\frac{-1}{13^3}+\frac{-1}{13^4}+\frac{-1}{13^5}+...\)
vermenigvuldig dit met 13:
\(\small 13S = \frac{-13}{13^1}+\frac{-13}{13^2}+\frac{-13}{13^3}+\frac{-13}{13^4}+\frac{-13}{13^5}+...\)
vereenvoudig alle breuken:
\(\small 13S = \frac{-1}{13^0}+\frac{-1}{13^1}+\frac{-1}{13^2}+\frac{-1}{13^3}+\frac{-1}{13^4}+...\)
\(\small = \frac{-1}{1}+\left(\frac{-1}{13^1}+\frac{-1}{13^2}+\frac{-1}{13^3}+\frac{-1}{13^4}+...\right)\)
\(\small = -1+S\)
en uit
\(\small 13S=-1+S\)
volgt
\(\small 12S=-1\)
ofwel
\(\small S=\frac{-1}{12}\)

[Xilvo]

Er zijn ook videos die aantonen dat 1 of andere oneindige som gelijk is aan -1/12. Vraag me af of dit er eentje van hetzelfde kaliber is.

Een oneindige reeks kan een eindig resultaat opleveren (= de limietwaarde), zie bv.

Wat je laat zien is mooi voorbeeld met een elegante oplossing maar verder een "normale" meetkundige reeks.

Ik vermoed dat dannypje doelt op \(1+2+3+4+5+...=-\frac{1}{12}\)
Zie Wikipedia