Jouw theorie A1 plaatje, eerste vergelijking:
Als f(x) een functie is met primitieve F(x), dan is
\(\small \displaystyle \int_{x=a}^{b} f(x)\;dx = \left[ F(x) \right]_{x=a}^b = F(b) - F(a)\)
en
\(\small \displaystyle \int_{x=b}^{a} f(x)\;dx = \left[ F(x) \right]_{x=b}^a = F(a) - F(b)\)
dus
\(\small \displaystyle \int_{x=b}^{a} f(x)\;dx = F(a) - F(b) = -(-F(a) + F(b)) = -(F(b) - F(a)) = -\int_{x=a}^{b} f(x)\;dx\)
Jouw theorie A1 plaatje, tweede vergelijking:
\(\small \displaystyle \int_{x=a}^{b} f(x)\;dx + \int_{x=b}^{c} f(x)\;dx = \left[ F(x) \right]_{x=a}^b + \left[ F(x) \right]_{x=b}^c = F(b) - F(a) + F(c) - F(b) = F(c) - F(a)\)
en dit is gelijk aan
\(\small \displaystyle \int_{x=a}^{c} f(x)\;dx = \left[ F(x) \right]_{x=a}^c = F(c) - F(a)\)
In het algemeen bepaal je het oppervlak A tussen een grafiek van f(x) en de x-as tussen x=a en x=b waarbij a<b door de integraal
\(\small \displaystyle A = \int_{x=a}^{b} f(x)\;dx \)
(zolang f(x) tussen x=a en x=b volledig boven de x-as ligt (zoals ook in dit probleem het geval is), anders moeten we nog iets extra's doen)
Dit pas je toe op je vraagstuk:
- int3abc 11147 keer bekeken
Voor het oppervlak van het groene gedeelte (plaatje C) dat we willen weten geldt:
oppervlak groen (C) = oppervlak geel (A) - oppervlak blauw (B)
= (oppervlak onder het rode gedeelte van je curve) - (oppervlak onder het blauwe gedeelte van je curve)
\(\small \displaystyle = \int_{x=0}^{4} y_{\text{rood}}\;dx - \int_{x=0}^{4} y_{\text{blauw}}\;dx\)
Dan overschakelen naar t:
- voor de rode curve is de ondergrens
\(x=0\) gelijk aan
\(t=\pi\) en de bovengrens
\(x=4\) gelijk aan
\(t=\frac{1}{2}\pi\)
- voor de blauwe curve is de ondergrens
\(x=0\) gelijk aan
\(t=0\) en de bovengrens
\(x=4\) gelijk aan
\(t=\frac{1}{2}\pi\)
dat geeft:
oppervlak groen (C)
\(\small \displaystyle = \int_{t=\pi}^{\frac{1}{2}\pi} y(t)\;dx(t) - \int_{t=0}^{\frac{1}{2}\pi} y(t)\;dx(t)\)
Keer je de integratiegrenzen van je eerste integraal om:
oppervlak groen (C)
\(\small \displaystyle = - \int_{t={\frac{1}{2}\pi}}^\pi y(t)\;dx(t) - \int_{t=0}^{\frac{1}{2}\pi} y(t)\;dx(t)\)
en dan tel je beide op:
(***) oppervlak groen (C)
\(\small \displaystyle = - \int_{t=0}^\pi y(t)\;dx(t)\)
en werk dit uit:
oppervlak groen (C)
\(\small \displaystyle = - \int_{t=0}^\pi 4\sin (t) - 2\sin(2t) \;d(4\sin (t)) = ... = - \left( -\frac{32}{3} \right) = \frac{32}{3}\)
De voorlaatste vergelijking (aangegeven met
(***)) krijg je ook via je Theorie B plaatje uit jouw post:
- je curve loopt linksom = positief = tegen de klok in
- (de kleinste waarde van t) = a = 0
- (de grootste waarde van t) = b =
\(\pi\)
Dus het oppervlak
\(\small \displaystyle O(V) = \int_{t=\pi}^0 y(t)\;dx(t) = - \int_{t=0}^\pi y(t)\;dx(t)\)
Om een lang verhaal kort te maken: je uitkomsten kloppen.