sciencetalk

Bij kwadratische vergelijkingen zijn er verschillende oplosmethoden. Na het ontbinden in factoren, kwadraatafsplitsen wordt de wereldberoemde ABC-formule aangeboden, want er zijn nou eenmaal ook realistische problemen die realistische factoren a, b, en c hebben. Die kwadratische vergelijkingen laten zich niet zo gemakkelijk oplossen via de product-sommethode.
In een boek wordt aandacht besteed aan 'handig oplossen':

"Niet altijd maar domweg de abc-formule toepassen, maar eerst even kijken of het niet sneller kan...
Je leert in dit onderwerp:
kwadratische vergelijkingen zo handig mogelijk oplossen."

Oké, bij een toets, proefwerk of examen, kan het handig zijn om de snellere methode toe te passen, want je staat onder tijdsdruk. Daarmee kun je laten zien dat je die verschillende methoden beheerst.
Nu zit ik me suf te denken wanneer het in de praktijk voorkomt dat je voor zo'n keuze staat. Ik krijg het niet bedacht.

Mijn vraag is nu wat in de praktijk eigenlijk het nut is van de vaardigheid "kwadratische vergelijkingen zo handig mogelijk oplossen"? Kan iemand daar iets over zeggen, of een voorbeeld van noemen?

Als je bij het oplossen van een praktijkprobleem een kwadratische vergelijking tegenkomt, dan zal je doorgaans de abc-formule gebruiken (zeker als je die oplossing automatiseert met een computerprogramma).
Immers: de meeste praktijkproblemen (uit de natuurkunde, scheikunde, biologie, economie etc) werken niet met gehele getallen maar met getallen uit \mathbb{Q}, \mathbb{R} of \mathbb{C}, en dan wordt ontbinden in factoren lastiger.
Kwadraat afsplitsen zal je hierbij zeker niet doen: met de abc-formule spring je direct naar het eindresultaat daarvan:

ax^2+bx+c=0

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}

x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a}\right) ^2 = - \frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a}\right) ^2

\left( x + \frac{b}{2a}\right) ^2 = \left( \frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{4ac}{4a^2}

x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}


Omgekeerd: als x_1 en x_2 de oplossingen zijn die je vindt met de abc-formule, dan is

(x-x_1)(x-x_2) =

(x-\frac{-b - sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}) =

... (uitschrijven en vereenvoudigen:)

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

want

ax^2+bx+c = 0


Wiskundig gezien is het belangrijk dat je de gelijkwaardigheid van je 3 oplosmethoden kent en kan gebruiken, en dat wordt inderdaad getoetst op proefwerken en examens.

Overigens schuilt er veel wiskundige theorievorming achter deze oplosmethoden, zie bijvoorbeeld
https://nl.wikipedia.org/wiki/Hoofdstel ... de_algebra