x + y = 1

[PhilipVoets]

Als x + y = 1, dan geldt toch altijd: x^2 + y = y^2 + x? Immers:

x^2 + y = y^2 + x
x^2 - x = y^2 - y
x(x - 1) = y(y - 1)
-x(1 - x) = -y(1 - y)
-xy = -yx
xy = xy

?

[Bart23]

\(x^2+y=y^2+x\Leftrightarrow x^2-x=y^2-y\Leftrightarrow(x-\frac12)^2=(y-\frac12)^2\)

\(\Leftrightarrow x+\frac12=\pm(y-\frac12)\Leftrightarrow x=y\qquad\rm{of}\qquad x+y=1\)

Dus wat je zegt klopt.

[irArjan]

Uit \(x=y\) volgt niet \(x + y=1\)... Neem bijv \(x=5\) en \(y=-4\). Dan is \(x\) niet gelijk aan \(y\) maar de som is wel 1.

\(x + y = 1\) levert \(x=1-y\) en \(y=1-x\). Dus dan:

\[x^2+y = (1-y)^2 + y = y^2 -2y + y + 1 = y^2 + (1 - y) = y^2 + x\]

[irArjan]

PhilipVoets' aanpak kan ook:
\[
x^2 + y = y^2 + x \\
x^2-x = y^2-y \\
x(1-x) = y^2-y \\
-xy = y^2-y \\
-x = y-1 \\
x+y = 1
\]

[PhilipVoets]

Dank!

[Bart23]

Uit \(x=y\) volgt niet \(x + y=1\)

Dat zeg ik niet. Ik heb, algemener dan het gevraagde, aangetoond dat de uitspraak

\(x^2 + y = y^2 + x\)

gelijkwaardig is met de uitspraak

\(x=y\vee x+y=1\)

[irArjan]

Ah, my bad... Excuus

[tempelier]

Uit \(x=y\) volgt niet \(x + y=1\)

Dat zeg ik niet. Ik heb, algemener dan het gevraagde, aangetoond dat de uitspraak

\(x^2 + y = y^2 + x\)

gelijkwaardig is met de uitspraak

\(x=y\vee x+y=1\)

Dat klopt.
Toch lijkt me het zinvol te vermelden dat deze uitspraak niet gelijkwaardig is met de oorspronkelijke. (x+y=1)

[Marko]

Als x+y=1 dan is y=1-x
Dus x^2+y = x^2+1-x
En y^2+x = (1-x)^2 + x = 1-2x+x^2 + x = 1-x+x^2 = x^2+1-x