Vereenvoudiging?

[PhilipVoets]

Vraag uit uit tweede ronde van wiskundeolympiade van paar jaar geleden (die ik af en toe “voor de lol” bekijk ): de ingeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek ABC raakt aan de schuine zijde BC in het punt D. De oppervlakte van driehoek ABC is dan gelijk aan?
Mijn oplossing: zeg dat BD = a en CD = b en straal van ingeschreven cirkel = r. Dan volgt voor de oppervlakte O van ABC uit gelijkvormigheid:
O = ar + br + r^2 = (a + r)(b + r)/2
Ergo: ab = BD x CD = ar + br + r^2 = O

Tot dan toe geen problemen, antwoord klopt ook volgens antwoordsleutel, maar wat ik me afvroeg is dit:
Aangezien geldt: O = (a + r)(b + r)/2 en je zou r met de stelling van Pythagoras uitdrukken in a en b, immers: ab^2 = (a + r)^2 + (b + r)^2 en dan discriminant, dan zou ik verwachten dat door de uitdrukking die daar uitrolt voor r in te vullen in (a + r)(b + r)/2 dit weer te vereenvoudigen is tot ab (het antwoord op de eigenlijke vraag), maar vanwege die discriminant krijg ik allemaal irritante wortels die ik algebraïsch niet weggewerkt krijg. Iemand een truc/tip? Dank alvast!

[Xilvo]

..immers: ab^2 = (a + r)^2 + (b + r)^2

Dat zie ik niet en dat klopt volgens mij niet.
(ab)² heeft dimensie lengte⁴, (a+r)² heeft dimensie lengte²

[PhilipVoets]

Excuses, moet (a + b)^2 zijn, maar de vraag blijft hetzelfde

[wnvl1]

Je komt dan uit als oplossing voor r op

$$r=\frac{-a-b+\sqrt{a^2+6ab+b^2}}{2}$$

invullen geeft

$$O=\frac{(a+r)(b+r)}{2}= \frac{(a-b+\sqrt{a^2+6ab+b^2})(b-a+\sqrt{a^2+6ab+b^2})}{8}=\frac{ab}{2}$$

[Xilvo]

Kleine correctie:
\(O=\frac{(a+r)(b+r)}{2}= \frac{(a-b+\sqrt{a^2+6ab+b^2})(b-a+\sqrt{a^2+6ab+b^2})}{8}\)
\(O=\frac{(\sqrt{a^2+6ab+b^2}+(a-b)(\sqrt{a^2+6ab+b^2}-(a-b))}{8}\)
\(O=\frac{a^2+6ab+b^2-(a-b)^2}{8}=\frac{a^2+6ab+b^2-a^2+2ab-b^2)^2}{8}=\frac{8ab}{8}=ab\)

Dat is ook in overeenstemming met wat PhilipVoets eerder vond.

[wnvl1]

Ja, die gedeeld door 2 moet weg. Ik was in de war met die gedeeld door 2 uit de formule voor de oppervlakte van een driehoek.

[PhilipVoets]

Dank allebei, zoals altijd Ik betrap mezelf er toch helaas vaak op dat ik vaak bij zulke vergelijkingen een globale intuïtieve inschatting maak of dit kans van slagen heeft om succesvol te vereenvoudigen en als het antwoord “nee” is, ik het proberen maar laat zitten. Misschien toch te lui en/of mijn wiskundige intuïtie laat te wensen over, haha

[wnvl1]

Na 'jaren' oefenen zie je veel sneller die merkwaardige producten, dat komt met de tijd...

[PhilipVoets]

Ja, dat is natuurlijk ook zo. Wiskunde is tegenwoordig meer een “hobby” dan een dagelijkse bezigheid.