de verdelingswet van Maxwell Boltzmann

[aadkr]

Ik ben begonnen met deel 6 van de serie fundsmentele natuurkunde ""Statistische mechanica.
Ik probeer de afleiding van de verdelingswet van Maxwell Boltzman te snappen.
Het eerste opstakel is de formule van Stirling\
Ln(x !)=x.Ln(x)-x
Geldt dit vooe hele grote waarden van x ? en hoe komen ze aan die formule?

[sensor]

De formule van Stirling is inderdaad een benadering voor de natuurlijke logaritme van de faculteit van een getal,
ln(𝑥!) die vooral nuttig is voor grote waarden van 𝑥
De volledige vorm van Stirling's benadering luidt als volgt:

\(\ln(x!) \approx x \ln(x) - x + \frac{1}{2} \ln(2\pi x) + \frac{1}{12x} - \frac{1}{360x^3} + \ldots\)

De afleiding is wat lastig.

[aadkr]

[aadkr]

dit differentieren zou niet zo moeilijk moeten zijn , maar dit snap ik niet.?

[wnvl1]

hint:

$$ln(n_i / g_i) = ln(n_i) - ln(g_i) $$

leid nu eens af naar \(n_i\)...

[flappelap]

Ik ben begonnen met deel 6 van de serie fundsmentele natuurkunde ""Statistische mechanica.
Ik probeer de afleiding van de verdelingswet van Maxwell Boltzman te snappen.
Het eerste opstakel is de formule van Stirling\
Ln(x !)=x.Ln(x)-x
Geldt dit vooe hele grote waarden van x ? en hoe komen ze aan die formule?

Hoe ik dit intuïtief onthoud is dat ln(x!) gelijk is aan ln(x) + ln(x-1) + ln(x-2) + ... + ln(1). Deze som kun je met een integraal benaderen: de integraal van ln(x). Dat is precies x*ln(x)-x.

[aadkr]

wnvl1, ik begrijp het gewoon niet. bedankt voor de hulp maar dit is voor mij te moeilijk.

[wnvl1]

De vraag is alleen maar waarom die \(g_i\) verdwijnt? Of is de vraag ruimer?

Het eerste is heel eenvoudig.

Leid eens ln(x/7) af. Je gaat zien dat die 7 vanzelf verdwijnt. Dat kan je dan heel eenvoudig uitbreiden naar de afgeleide naar n van ln(n/g) met g een constante.

[aadkr]

d(Ln P)/dnI=d(lnP)/dP.dP/dnI=1/P .dP/dni

hier gaat het al fout

[wnvl1]

Wat je schrijft is juist, maar dat is niet echt een stap vooruit. Beter direct ln P afleiden ipv om te zetten naar een afgeleide van P via de kettingregel.

[aadkr]

wnvl1 en flappelap, hartelijk bedankt voor de hulp. nu zie ik het ook.Er is gebruik gemaakt van d(u.v)=u.dv+du.v
en d (ln (gi/ni))/dni=1/ni
dus
d(Ln(gi/ni))=dni/ni