omtrek ellips berekenen

[aadkr]

[Xilvo]

\(-1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{b^2-a^2}{a^2}=-\frac{c^2}{a^2}\)

[aadkr]

[Xilvo]

Kijk er nog maar eens goed naar.

[HansH]

een ellips kun je via een transformatie omzetten naar een cirkel waarvan je het oppervlak weet. Dus dan moet die formule er zo uitrollen

[wnvl1]

een ellips kun je via een transformatie omzetten naar een cirkel waarvan je het oppervlak weet. Dus dan moet die formule er zo uitrollen

Het gaat hier om de omtrek. Maar dat buiten beschouwing gelaten, ben ik wel nieuwsgierig hoe de formule er dan zomaar uitrolt...

[tempelier]

een ellips kun je via een transformatie omzetten naar een cirkel waarvan je het oppervlak weet. Dus dan moet die formule er zo uitrollen

De oppervlakte van een ellips is al heel bekend: \(\pi ab\)

Voor de omtrek is er zoiets eenvoudigs niet, daar zit men vast aan de elliptische integralen.

[Xilvo]

Zoals Tempelier al schrijft, er is geen eenvoudige formule voor de omtrek van een ellips.
Hier één van de vele benaderingsformules voor die omtrek, afkomstig van Ramanujan (één van de vele die hij bedacht)
\(O=\pi(3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)})\)
Zie bijvoorbeeld hier.

Dit is natuurlijk geen oplossing voor de vraag van aadkr.

[wnvl1]

een ellips kun je via een transformatie omzetten naar een cirkel waarvan je het oppervlak weet. Dus dan moet die formule er zo uitrollen

Bij uitbreiding vraag ik mij af of het voor de oppervlakte dan wel lukt. Als je weet hoe een cirkel transformeert in een ellips, kan je dan op een eenvoudige manier de formule voor de oppervlakte van een ellips afleiden uit de oppervlakte van een cirkel. Ik zou denken dat je nog altijd een integraal moet opstellen en oplossen.

[Xilvo]

Bij uitbreiding vraag ik mij af of het voor de oppervlakte dan wel lukt. Als je weet hoe een cirkel transformeert in een ellips, kan je dan op een eenvoudige manier de formule voor de oppervlakte van een ellips afleiden uit de oppervlakte van een cirkel. Ik zou denken dat je nog altijd een integraal moet opstellen en oplossen.

Een ellips is een cirkel die in één richting is uitgerekt of samengeperst. Waar een cirkel een ellips is met gelijke lange en korte halve as (a=r, b=r), zijn die niet gelijk bij een ellips. Vandaar \(A=\pi a b\)

[wnvl1]

Vraag was of je die \(\pi ab\) kan afleiden uit \(\pi r^2\) uitgaande van de formule om een cirkel te transformeren in een ellips.

De vergelijking van een cirkel is

$$x^2 + y^2 =c^2$$

Ik transformeer de cirkel in

$$x^2/a^2 + y^2/b^2 =c^2$$

Kan ik op basis van de transformatie die gedaan wordt (x'=ax en y'=by), de formule afleiden voor de oppervlakte van een ellips zonder de klassieke integraal voor de oppervlakte van een ellips uit te rekenen zoals iedereen die op school klassiek aangeleerd krijgt? Ik ben geneigd te denken van niet.

[Xilvo]

Als je een figuur in een plat vlak in één richting met een bepaalde factor uitrekt ("rek" mag ook kleiner dan 1 zijn), dan verandert het oppervlak met diezelfde factor.

[HansH]

Vraag was of je die \(\pi ab\) kan afleiden uit \(\pi r^2\) uitgaande van de formule om een cirkel te transformeren in een ellips.
Kan ik op basis van de transformatie die gedaan wordt (x'=ax en y'=by), de formule afleiden voor de oppervlakte van een ellips zonder de klassieke integraal voor de oppervlakte van een ellips uit te rekenen zoals iedereen die op school klassiek aangeleerd krijgt? Ik ben geneigd te denken van niet.

je kunt volgens mij de cirkel samengesteld denken uit een oneindig aantal rechthoekjes met afmeting x en y. het oppervlak daarvan is xy. als je nu in x en y richting uitrekt of krimpt met factor a en b dan heeft elk rechthoekje een oppervlak abxy dus het tolale oppervlak van de ellips is dan ook ab keer zo groot als het oppervlak van de cirkel.

[HansH]

voor de omtrek kun je dat niet zo doen omdat de omtrek van zo'n rechthoekje gelijk is aan 2(ax+by) en dus niet voor elke x en y dezelfde schaling geeft. De schaling van de omtrek is dus afhankelijk van de vorm. Dat is dus bij een ellips ook zo en dus niet en simpele oplossing.

[HansH]

img409.jpg

dat 1-b^2/a^2 gelijk is aan (a^2-b^2)/a^2 is simpel te begrijpen door 1 te schrijven als a^2/a^2 en dan alles samen te nemen. voor mij lijkt het echter dat ze een paar stappen overslaan door a^2-b^2 te vervangen door c^2 en dan te stellen dat c/a de excentriciteit is. Dat is voor mij niet te volgen.