Gebruikersavatar
ukster
Artikelen: 0
Berichten: 4.930
Lid geworden op: za 28 nov 2015, 10:42

x-verplaatsing

x-verplaatsing
x-verplaatsing 6142 keer bekeken
De massieve bol met massa M=1,2kg en straal R rolt zonder slip naar beneden langs het blok met massa m=0,8kg en helling φ=20°. Het blok beweegt wrijvingsloos over het horizontale oppervlak.
Initiële condities: Alle objecten zijn in rust en het middelpunt van de bol bevindt zich op afstand H boven het horizontale oppervlak.
Wat is de verplaatsing van blok m na t=5 sec, aangenomen dat de bol dan nog steeds langs de helling rolt. g=9,81m/s2
Gebruikersavatar
wnvl1
Artikelen: 0
Berichten: 2.984
Lid geworden op: di 20 jul 2021, 21:43

Re: x-verplaatsing

Een eerste vergelijking al.

Er zijn geen horizontale externe krachten, dus de horizontale projectie van de som van alle 'm*a' moet nul zijn.

$$a(m+M)=R\ddot{\theta}M\cos\phi$$

met a de versnelling van m.

$$F_wR=I\ddot{\theta}$$

met Fw de wrijvingskracht tussen bol en massa m.

Het centrum van de bol heeft een vertikale versnelling gelijk aan

$$a \tan\varphi + R\ddot{\theta} \sin\varphi$$

Daaruit kan ik dan de normaalkracht tussen bol en massa berekenen

$$F_n \cos \varphi - mg + F_w \cos \varphi = M(a \tan\varphi + R\ddot{\theta} \sin\varphi) $$

De horizontale component van normaal kracht en wrijvingskracht zorgen voor de horizontale versnelling van m.

$$F_n \sin\varphi + F_w \cos \varphi = m a $$

En dan nog tweede van Newton op de vrijgemaakte bol horizontaal en verticaal.

Maar ik ben me aan het afvragen of Lagrange niet interessanter is.
CoenCo
Technicus
Artikelen: 0
Berichten: 1.210
Lid geworden op: di 18 okt 2011, 00:17

Re: x-verplaatsing

Gezien de wrijvingsloze ondergrond zal het gezamenlijke massamiddelpunt niet horizontaal verplaatsen. En gezien er geen slip tussen bol en blok is, zijn de onderlinge relatieve verplaatsingen te koppelen. Daarmee wordt het een single degree of freedom system.
Prima klusje voor Lagrange denk ik.
Gebruikersavatar
ukster
Artikelen: 0
Berichten: 4.930
Lid geworden op: za 28 nov 2015, 10:42

Re: x-verplaatsing

Mee eens..
Hiermee kan de Lagrangiaan L=KE-PE gevonden worden
Lagrangiaan bepalen
coordinaten en snelheden punt C
coordinaten en snelheden punt C 6033 keer bekeken
Gebruikersavatar
ukster
Artikelen: 0
Berichten: 4.930
Lid geworden op: za 28 nov 2015, 10:42

Re: x-verplaatsing

De Langrangevergelijking vormt samen met de 1e vergelijking van wnvl1 een stelsel van twee vergelijkingen waar we mee verder kunnen.
Gebruikersavatar
wnvl1
Artikelen: 0
Berichten: 2.984
Lid geworden op: di 20 jul 2021, 21:43

Re: x-verplaatsing

Mijn vergelijking legt een verband tussen de tweede afgeleiden. De tip van coenco legt een rechtstreeks verband tussen de hoek en de horizontale verplaatsing van het blok, de twee Lagrange vrijheidsgraden. Dit laatste is de weg die meestal gevolgd wordt bij Lagrange. Ik zal later ook eens proberen.
Gebruikersavatar
wnvl1
Artikelen: 0
Berichten: 2.984
Lid geworden op: di 20 jul 2021, 21:43

Re: x-verplaatsing

Deze vergelijking (cfr hint Coenco) drukt uit dat het zwaartepunt invariant is.

$$(x+R\theta \cos \varphi)M+xm=0$$

Of anders geschreven

$$x = \frac{-MR\theta \cos \varphi}{M+m}$$
Gebruikersavatar
wnvl1
Artikelen: 0
Berichten: 2.984
Lid geworden op: di 20 jul 2021, 21:43

Re: x-verplaatsing

$$T= \frac{m \dot{x}^2}{2} + \frac{M (\dot{x}^2+2cos(\varphi)R\dot{\theta}\dot{x} + R^2\dot{\theta}^2)}{2}+ \frac{MR^4 \dot{\theta}^2}{5}$$

$$V= -Rg \sin\varphi \theta $$

$$L=T-V$$

Dit dan combineren met

$$x = \frac{-MR \cos \varphi}{M+m}\theta$$

En je hebt een differentiaalvergelijking

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{dL}{d\dot{\theta}}\right)- \frac{dL}{d\theta} =0$$

in \(\theta\) met beginvoorwaarden \(\theta(0)=0\) en \(\dot{\theta}(0)=0\)
Gebruikersavatar
ukster
Artikelen: 0
Berichten: 4.930
Lid geworden op: za 28 nov 2015, 10:42

Re: x-verplaatsing

Ik mis nog wel een M in de uitdrukking voor V en in de laatste term van T moet het R2 zijn.
Gebruikersavatar
wnvl1
Artikelen: 0
Berichten: 2.984
Lid geworden op: di 20 jul 2021, 21:43

Re: x-verplaatsing

Klopt, zijn foutjes van mij.
Gebruikersavatar
ukster
Artikelen: 0
Berichten: 4.930
Lid geworden op: za 28 nov 2015, 10:42

Re: x-verplaatsing

Oke, het schiet nu aardig op.
x-verplaatsing blok m
x-verplaatsing blok m 5918 keer bekeken
Gebruikersavatar
ukster
Artikelen: 0
Berichten: 4.930
Lid geworden op: za 28 nov 2015, 10:42

Re: x-verplaatsing

Ai, er is een foutje geslopen in de Lagrangevergelijking.
het moet zijn:
Lagrangevergelijking
Lagrangevergelijking 5906 keer bekeken
Gebruikersavatar
ukster
Artikelen: 0
Berichten: 4.930
Lid geworden op: za 28 nov 2015, 10:42

Re: x-verplaatsing

x-verplaatsing blok m op t= 5sec
x-verplaatsing blok

Terug naar “Sciencetalk café”