raadsel: rolletjes

[wnvl1]

Een helling bestaat uit rolletjes en is opgesteld onder een hoek theta. De rolletjes hebben een massa m en zijn opgesteld op aan afstand d van elkaar. De rolletjes zijn gemaakt van staal met aan de buitenkant rubber. De straal van elk rolletje is r. Pakjes met massa M en een lengte die veel groter is dan d rollen over de band naar beneden. Wat is de terminale snelheid van de pakjes? Er moet geen rekening gehouden worden met luchtweerstand of wrijving in de ophangpunten van de rolletjes. Er is sprake van rollen zonder glijden.

[ukster]

kom ik hiermee in de buurt?

terminale snelheid 9015 keer bekeken

[wnvl1]

De teller lijkt er op. In de noemer zit er vermoedelijk iets fundamenteel fout. Daar hoort geen M thuis.

Het raadsel is niet zo lang om op te lossen, maar net iets moeilijker dan je op het eerste gezicht zou denken.

[ukster]

dit misschien?

terminale snelheid 8987 keer bekeken

[wnvl1]

Ik vermoed dat je vertrekt vanuit een soort van behoud van energie. Als je laat zien vanwaar je vertrekt, dan zal ik corrigeren indien nodig.

Verderop moet je dat behoud van energie noch bijsturen. Er verdwijnt energie door warmte dissipatie. Het pakje komt eraan op volle snelheid en de rollen staan nog stil. De rollen moeten nog in gang getrokken worden. Hierdoor krijg je warmteverlies. Opmerkelijk is dat de oplossing onafhankelijk blijkt te zijn van de wrijvingscoëfficiënt, hoewel die er wel is en haar effect op warmte generatie verrekend moet worden.

[CoenCo]

Uitgangspunt:
Bij elke volgende rol die het blok aantikt, zal er aan de achterzijde 1 rol extra oneindig lang doordraaien met dezelfde snelheid. Er is geen slip, en we gaan er vanuit dat aanstoten van een nieuwe rol volledig elastisch is:
Aandrijvende energie komt volledig uit zwaartekracht:

\(Mgdsin{\theta}=1/2 I_{rol} \omega^2\)

En dan oplossen voor \(\omega\) en invullen in:

\(v_{terminal}=\omega r\)

[wnvl1]

Dat klopt, maar ja kan zoals ik hierboven aangaf het energieverlies via de wrijvingskracht tussen het pak en de rolletjes doorrekenen en dat beïnvloedt de uitkomst best wel wat. Het verwonderlijke is dat die uitdrukking onafhankelijk is van de wrijvingscoëfficiënt.

Misschien had ik bij het opstellen van de vraag die 'Er is sprake van rollen zonder glijden.' moeten weglaten. Helemaal in het begin wanneer een nieuwe rol op gang getrokken wordt is er een beetje glijden. De rol staat stil en het pak komt er op volle snelheid aan.

[CoenCo]

Als je die slip meeneemt, dan kan ik me inderdaad voorstellen dat de slip/wrijvingscoëfficiënt niet uitmaakt. Hij dient echter wel zodanig te zijn dat voordat het blok de rol verlaat, er geen slip meer is. Die grenswaarde is vast uit te rekenen.

[wnvl1]

Klopt, ik zal later een uitwerking plaatsen.

[daniel73]

Moet ook niet de afmeting van de massa M bekend zijn? Als in: hoeveel rollen deze M gemiddeld aantikt?

(Ik vind het probleem fascinerend, maar heb, vrees ik, te weinig klassieke mechanica gehad om een verder zinvolle bijdrage te kunnen leveren.)

[wnvl1]

Potentiële energie wordt omgezet in kinetische energie, maar een deel gaat verloren in een hoeveelheid warmte Q.

$$MgL\sin \theta = \frac{L}{d}\frac{mv^2_{max}}{d} + Q$$

De warmte Q kan berekend worden uit het product van de wrijvingskracht en de verplaatsing.

$$Q=\int dQ=\int F(t)(v_{max}-r\omega(t))dt$$

$$Q=I\omega^2_{max}-I\frac{\omega^2_{max}}{2}=I\frac{\omega^2_{max}}{2}$$

Zo kom je tot

$$v_{max} = \sqrt{\frac{2dMg\sin\theta}{m}} $$

[wnvl1]

Het is een geherformuleerde versie van probleem 95 uit

Gnädig, P., Honyek, G., & Riley, K. F. (2001). 200 puzzling physics problems: With hints and solutions. Cambridge University Press.

[wnvl1]

Moet ook niet de afmeting van de massa M bekend zijn? Als in: hoeveel rollen deze M gemiddeld aantikt?

(Ik vind het probleem fascinerend, maar heb, vrees ik, te weinig klassieke mechanica gehad om een verder zinvolle bijdrage te kunnen leveren.)

Nee, de afmeting moet gewoon veel groter zijn dan de afstand tussen de rolletjes, dan maakt asymptotisch de lengte niet uit. Ik vind vooral de berekening van het energie verlies door de dissipatie mooi. Kom je niet zoveel tegen in andere oefeningen op deze manier.

[HansH]

De warmte Q kan berekend worden uit het product van de wrijvingskracht en de verplaatsing.

is het niet soortgelijk aan 2 massa's die inelastisch botsen en als 1 snelheid verder gaan? ook dan maakt de wrijving niet uit want heeft geen invloed op het eindresultaat hooguit de tijd die het duurt om het eindresultaat te bereiken. Hier gaat het om snelheid van het karretje en bijbehorende hoeksnelheid van de wieletjes zodat de snelheid van de buitenkant van de wieletjes gelijk wordt aan de snelheid van de massa die erlangs komt. aan het einde gaan die met dezelfde snelheid en er gaat dus energie verloren tussen snelheid=0 van het wieletje en snelheid=snelheid massa aan het einde. je kunt de som van beide energie uitrekenen voor en na het contact immers en de som van de totale (rotatie)impuls daarna. impuls blijft gelijk en energie niet.

[HansH]

punt is wel dat het in beweging krijgen van elk wieletje ervoor zal zorgen dat de massa iets afremt, dus volgens mij heeft dat ook invloed op de wieletjes die nog in contact zijn met de massa. immers de snelheid van d massa zal daardoor periodiek zijn met een gemiddelde snelheid en een varierende snelheid daaromheen. Dus moet je weten hoe lang de massa is om te weten hoeveel wieletjes er op een bepaald moment in contact zijn met de massa, zodat je weet welk deel van die varierende snelheidscomponent van invloed is op de eindsnelheid van de wieletjes.