Lagrangiaan

[ukster]

Wat is de Lagrangiaan en de bewegingsvergelijking van een vlakke slinger van lengte l met een massa m aan het uiteinde en een ophangpunt dat:
a) zich uniform beweegt over een verticale cirkelomtrek (straal a) met een constante frequentie ω.
b) horizontaal oscilleert in het vlak van de slinger volgens x=cos(ωt)
c) vast is (ω=0). Los de bewegingsvergelijking op voor kleine oscillaties en algemene beginvoorwaarden.

[Professor Puntje]

Interessante vraag - die ga ik volgen.

[wnvl1]

Vraag a:

Positie ophangpunt:

\[
x_0 = a \cos(\omega t), \quad y_0 = a \sin(\omega t)
\]

Positie m:

\[
x = x_0 + l \sin\theta = a \cos(\omega t) + l \sin\theta
\]

\[
y = y_0 - l \cos\theta = a \sin(\omega t) - l \cos\theta
\]

Snelheid m:

\[
\dot{x} = -a \omega \sin(\omega t) + l \dot{\theta} \cos\theta
\]

\[
\dot{y} = a \omega \cos(\omega t) + l \dot{\theta} \sin\theta
\]

Kinetische energie:

\[
T = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2)
\]

\[
T = \frac{1}{2} m \left[ (-a \omega \sin(\omega t) + l \dot{\theta} \cos\theta)^2 + (a \omega \cos(\omega t) + l \dot{\theta} \sin\theta)^2 \right]
\]

\[
T = \frac{1}{2} m \left[ a^2 \omega^2 + l^2 \dot{\theta}^2 - 2 a \omega l \dot{\theta} \sin(\omega t + \theta) \right]
\]

Potentiële Energie:
\[
V = m g l \cos\theta - m g a \sin(\omega t)
\]

Lagrangiaan:

\[
L = T - V
\]

\[
L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - m g l \cos\theta - m a l \omega \dot{\theta} \sin(\omega t + \theta) + \frac{1}{2} m a^2 \omega^2 + m g a \sin(\omega t)
\]

Euler-Lagrange Vergelijking:

\[
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0
\]


Bewegingsvergelijking:

\[
\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = \frac{a \omega}{l} (\omega + \dot{\theta}) \cos(\omega t + \theta)
\]

[ukster]

bewegingsvergelijking 1616 keer bekeken

Dit lijkt mij niet dezelfde bewegingsvergelijking?

[wnvl1]

Heb je dezelfde L?

[ukster]

Lagrangiaan L 1605 keer bekeken

Gelet op het feit dat de Lagrangiaan van een systeem gedefinieerd is tot een totale afgeleide met betrekking tot t, kunnen we de twee termen (ma² ω²)/2 - mga sin⁡(ωt) toch elimineren?

[ukster]

[wnvl1]

Je hebt gelijk. Dit is de goede L.

\[
L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + m g l \cos\theta - m a l \omega \dot{\theta} \sin(\omega t - \theta) + \frac{1}{2} m a^2 \omega^2 - m g a \sin(\omega t)
\]

Ik had de berekening gemaakt met AI. AI doet dat al heel goed, algemene werkwijze is goed, maar er sluipen veel tekenfouten in.

[Professor Puntje]

Hoe zit het met behoud van energie? Ik vermoed dat er vanaf de draaiende schijf afwisselend energie aan de slinger wordt toegevoegd en van de slinger wordt afgenomen. Of is momentane energiebehoud voor toepassing van de lagrangiaan niet nodig?

[ukster]

Je hebt gelijk. Dit is de goede L.

\[
L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + m g l \cos\theta - m a l \omega \dot{\theta} \sin(\omega t - \theta) + \frac{1}{2} m a^2 \omega^2 - m g a \sin(\omega t)
\]

Ik had de berekening gemaakt met AI. AI doet dat al heel goed, algemene werkwijze is goed, maar er sluipen veel tekenfouten in.

Heel mooi dat we er gebruik van kunnen maken, maar helemaal erop blind varen voorlopig niet..

Chatgpt antwoord op de vraag van PP:
Je vermoeden klopt dat er energie wordt uitgewisseld tussen de draaiende schijf en de slinger. Echter, zolang er geen externe krachten zijn, blijft de totale energie behouden. Voor de toepassing van de Lagrangiaan is momentaan energiebehoud niet vereist; de bewegingsvergelijkingen volgen simpelweg uit de afgeleiden van L, ongeacht of energie fluctueert tussen kinetische en potentiële vormen.

dat klopt dan weer wel.

[Professor Puntje]

Chatgpt antwoord op de vraag van PP:
Je vermoeden klopt dat er energie wordt uitgewisseld tussen de draaiende schijf en de slinger. Echter, zolang er geen externe krachten zijn, blijft de totale energie behouden. Voor de toepassing van de Lagrangiaan is momentaan energiebehoud niet vereist; de bewegingsvergelijkingen volgen simpelweg uit de afgeleiden van L, ongeacht of energie fluctueert tussen kinetische en potentiële vormen.

dat klopt dan weer wel.

Dat is voor mij nog steeds de vraag. Ik zie Chatgpt niet als een betrouwbare bron. Als de totale energie van schijf plus slinger behouden zou blijven dan kan de hoeksnelheid van de schijf niet constant zijn.

[Xilvo]

Chatgpt antwoord op de vraag van PP:
Je vermoeden klopt dat er energie wordt uitgewisseld tussen de draaiende schijf en de slinger. Echter, zolang er geen externe krachten zijn, blijft de totale energie behouden. Voor de toepassing van de Lagrangiaan is momentaan energiebehoud niet vereist; de bewegingsvergelijkingen volgen simpelweg uit de afgeleiden van L, ongeacht of energie fluctueert tussen kinetische en potentiële vormen.

dat klopt dan weer wel.

Klopt het? Ik vind het niet erg duidelijk, vaag geformuleerd. Natuurlijk oefent de schijf wel degelijk een externe kracht uit en dan is er, zeker momentaan, geen energiebehoud.

[ukster]

Kortom: PP heeft volkomen gelijk. Het behoud van de totale energie van het systeem en een constante hoeksnelheid van de schijf zijn niet verenigbaar. De hoeksnelheid moet variëren om energiebehoud mogelijk te maken.

kennelijk vormt dit dus geen beletsel om op dit probleem toch de Lagrangiaan toe te passen..

[Professor Puntje]

Kortom: PP heeft volkomen gelijk. Het behoud van de totale energie van het systeem en een constante hoeksnelheid van de schijf zijn niet verenigbaar. De hoeksnelheid moet variëren om energiebehoud mogelijk te maken.

kennelijk vormt dit dus geen beletsel om op dit probleem toch de Lagrangiaan toe te passen..

Je kunt de lagrangiaan er op toepassen, maar of de zo verkregen uitkomst klopt blijft de vraag...

[ukster]

We kunnen de beweging van de slinger bepalen door de krachten op de massa te analyseren.
De resulterende differentiaalvergelijking beschrijft hoe θ(t) evolueert. deze beweging moet dan overeen komen met de Lagrangemethode

Op het net vind ik overigens veel video's die dit probleem tackelen met de Lagrangian methode