Uitdaging gravitatiekracht

[fabulissious]

Ik zit compleet vast op het volgende vraagstuk:
 
Een geoloog is op zoek naar olie en ontdekt dat de zwaartekracht op een bepaalde locatie 2 per 10^7 kleiner is dan gemiddeld. Veronderstel dat de olie zich op een diepte van 2000m recht onder de waarnemingslocatie bevindt. 
Schat de grootte van het oliereservoir als je ervan uitgaat dat dit bolvormig is. 
Neem voor de dichtheid van rots een waarde van 3000 kg/m³ en voor die van olie 800 kg/m³.
 
 
(Tip: je kan iets doen met de massadichtheid van de aarde en het volume van een kegel, uiteindelijk moet je de straal van het reservoir te weten komen)
 
Ik heb al een situatieschets gemaakt.

IMG_0316 (1) 1183 keer bekeken

Voor de nieuwe Fz (stel, we noemen hem Fz') geldt: Fz'  = Fz- 2/10^7 Fz
 
 
 
 

[Anton_v_U]

Ik zie dat van die kegel niet. Maar het als je het olie reservoir opvult met een extra 2200kg/m³ dan neemt de gravitatieversnelling aan het oppervlak met 2.10^-7g toe. Dus de aantrekkingskracht van een bol van 2200 kg/m³ met het massamiddelpunt op afstand 1000+r meter is 2.10^-7g. Hieruit is r te bepalen.

[Jan van de Velde]

Opmerking moderator

@fabulissious: zie je mail; je gebruikersnaam is aangepast.

 

[fabulissious]

Bedankt Anton voor je antwoord maar ik begrijp niet helemaal hoe je de bol opvult met 2200 kg/m³ en waar je daar dan mee naartoe wilt. 
 
Ik zit ondertussen zelf al iets verder in het vraagstuk en heb inzicht gekregen over het gebruik van de kegel. 
De bedoeling is twee kegels te vergelijken, hun top is gelijk aan het punt waar de waarnemer (hier: geoloog) staat. In een van de kegels zit gewoon rots, met een massadichtheid van 3000 kg/m³ en een gemiddelde Fz, in de andere zit echter een oliereservoir (zijnde een bol met een massadichtheid van 800 kg/m³) met Fz'. 
 
Ik heb de tekening aangepast en ik kom een vergelijking uit met uiteindelijk één onbekende. Het lijkt mij correct maar op de een of andere manier is mijn antwoord onrealistisch (zijnde een straal van 1,99. 10^-4 m). Waar kan ik verkeerd gegaan zijn? Zie ik iets cruciaal over het hoofd?
 
 

 

[Michel Uphoff]

Wat Anton zegt.

 

Ik zie het nut/de noodzaak van het gebruik van een kegel ook niet in.

Als het massacentrum van de bolvormige massa olie zich op 2 km diepte bevindt, en een vermindering van de oppervlaktegravitatie met 2 per 10⁷veroorzaakt, dan zal het ophogen van de dichtheid van die massa olie tot die van steen (extra dichtheid 2,2 kg/dm³) een vermeerdering van 2 per 10⁷moeten veroorzaken (nu is er dus geen enkel gravitatieverschil meer te meten).

 

M.a.w. een bolvormige massa met het centrum 2000 meter onder het aardoppervlak veroorzaakt aan het oppervlak een versnelling van 0,0000002 * 9,81 m/s^2. = 0,000001962 m/s²

Daar komt dan na toepassing van de gravitatieconstante van 6,6726.10^-11 N-m²/kg² een massa van 117.615.000.000 kg uit rollen als ik het goed bereken. De inhoud van die massa is dan 53.461.364 m³, en de diameter van de bol is dan 467,26 meter.

 

(wel even narekenen, ik heb de uitkomst niet verder gecontroleerd).

 

Ik neem aan dat Anton op een dergelijke berekening doelde. Ik ben er hierbij dus van uit gegaan dat het massacentrum van de olie zich op -2000 meter bevint, en niet de bovenkant.

[fabulissious]

Ik kan je volgen in die redenering, maar de 2 km is toch niet tot het middelpunt van de oliebol? Bovendien is gegeven dat de zwaartekracht vermindert, niet de g (of komt dat altijd op hetzelfde neer?). En waar gebruik ik juist die nieuwe versnelling in mijn vergelijking? 
Ik ben niet helemaal vertrouwd met die oplossingsmethode, vandaar.
 
edit: ik zal beide situaties uitproberen (zowel met 2000m als 2000m+2r) 
en m.g = G. m.m/r², dan mag ik m schrappen en neem ik voor r de aardstraal -2000m, correct?

[Anton_v_U]

Ik neem aan dat Anton op een dergelijke berekening doelde.

klopt
 
 

 de 2 km is toch niet tot het middelpunt van de oliebol? 

 
Da's een flinke oliebol. Als je aanneemt dat de oliebol een straal van 1 km heeft en de bovenkant van de oliebol is 1 km diep, dan is het massamiddelpunt 2 km diep. Deze afstand: r+1000 (meter)  vul je in de gravitatieformule in.
 
Ik heb geprobeerd de vgl analytisch op te lossen voor r. Dat lukt maar het levert een 3e graads vergelijking op en toen ben ik gestopt:
r³ in de massa M = 4/3 pi r³ Rho  in de teller van de gravitatieformule (met a = F/m):  a = GM/R² waarbij je R=(1000+r)² in de noemer moet zetten. 
 
Numeriek is het eenvoudig: zet de formule in Excel en varieer r totdat het de gegeven versnelling a = ca 2.10^-6 oplevert.

[fabulissious]

Wanneer ik de vergelijking 4/3.pi.r³ = 1/G.1,96.10^-6.(1000+r)^2 ingeef in mijn GRM (grafisch het snijpunt berekenen) kom ik uit op een snijpunt van (0,363;0,200). Dit is nog steeds een behoorlijk kleine straal, toch? 

[Michel Uphoff]

maar de 2 km is toch niet tot het middelpunt van de oliebol?

Dat weet ik ook niet. Als men stelt dat een laag olie of erts oid zich op x meter diepte bevindt, doelt men dan op de bovenkant van die laag, of het midden?

Mocht dat het geval zijn, dan wordt er een afhankelijkheid ingevoerd die de berekening nogal compliceert. Ook ik zou dan een modelletje in Excel zetten om de juiste diameter op te zoeken. Maar dat komt door mijn roestige wiskundige vaardigheden.

[fabulissious]

Dat weet ik ook niet. Als men stelt dat een laag olie of erts oid zich op x meter diepte bevindt, doelt men dan op de bovenkant van die laag, of het midden?

Mocht dat het geval zijn, dan wordt er een afhankelijkheid ingevoerd die de berekening nogal compliceert. Ook ik zou dan een modelletje in Excel zetten om de juiste diameter op te zoeken. Maar dat komt door mijn roestige wiskundige vaardigheden.

 
Het vraagstuk is inderdaad voor verschillende interpretaties vatbaar. Wat Excel betreft, ik ben sterk aanhanger van het grafisch rekentoestel aangezien ik op examens slechts dit hulpmiddel krijg.
Eens het raadsel over die 2000m is opgelost, is de oplossing zeer nabij als ik me niet vergis. Ik zal de betekenis hiervan verifiëren en zal jullie op de hoogte houden. Alvast bedankt tot dusver. 

[Anton_v_U]

hier is een excel modelletje: een bol met een dichtheid van 2200 kg/m^3 en een straal van 8829 m (8,8 km) waarvan de bovenkant een afstand van 1 km heeft, heeft een gravitatiekracht van 2E-7 keer de zwaartekracht.

[fabulissious]

 een straal van 8829 m (8,8 km) waarvan de bovenkant een afstand van 1 km heeft

 
Hierbij gaan we er dan vanuit dat de top van de bol zich 1km onder het oppervlak bevindt, toch? En de 2000 m is dan afstand van de waarnemer tot het middelpunt van de bol? Waarom was dan de straal niet gewoon 1 km? 
Bovendien hebben wij altijd geleerd dat G = 6,673.10^-11 

[Anton_v_U]

als de top van een bol met straal r 1000m beneden het oppervlak is, dan is de afstand van de waarnemer aan het oppervlak (recht boven de bol) tot het middelpunt van de bol 1000+r. Maak even een schetsje.

[fabulissious]

als de top van een bol met straal r 1000m beneden het oppervlak is, dan is de afstand van de waarnemer aan het oppervlak (recht boven de bol) tot het middelpunt van de bol 1000+r. Maak even een schetsje.

 
Tot hier ben ik absoluut mee, ik begrijp alleen niet waarom je 1000m ipv de gegeven 2000m gebruikt?

[Anton_v_U]

 
 ik begrijp alleen niet waarom je 1000m ipv de gegeven 2000m gebruikt?

Verkeerd afgelezen uit je plaatje, sorry. Verander r0 in 2000 en bepaal r zdd a/g = 2E-7