Een bewijs dat 'de Broglie' golven bewegen met de lichtsnelheid

[Boormeester]

In een vorige discussie op dit forum werd gesteld dat een elementair rustmassa deeltje door een golfpakket met een fase snelheid van v_f = c²/v  wordt voorgesteld. Hierin is dan v de snelheid van het deeltje en tevens de groepsnelheid. De fase snelheid is daarmee fors hoger dan de lichtsnelheid.
Als men nu kijkt naar de limiet v = 0 , dan nadert de fase snelheid tot de waarde oneindig. Wegens p = h/λ  nadert de golflente van de ‘de Broglie’ golf ook tot oneindig (p is immers dan ook nul). Merkwaardig is dat de frequentie daarbij een bepaalde waarde aanneemt die volgt uit:
E = h.f₀ = m₀.c²  è f₀ = m₀.c²/h
 
Het ‘de Broglie’ golfpakket krijgt dan wel een heel merkwaardige vorm.
Een eenvoudige berekening en vergelijking van de uitkomst daarvan met de ‘Dirac vergelijking’ leert dat men er iets anders tegenaan moet kijken.
Uitgangspunten zijn:
 
E² = (m₀.c²)² + (p.c)²  (1)   en  E = h.f  (2)  en   p=h/λ  (3)
 
Waarbij zal blijken dat f  eigenlijk een kwadratische som frequentie is en λ inderdaad de golflengte is van een bestaande golf die verbonden is aan de waarde van de impuls en een fasesnelheid heeft gelijk aan de lichtsnelheid.
 
Kijkt men naar de situatie waarin v = 0  dan krijgt men  f₀ = m₀.c²/h  . Wat is nu die frequntie f₀ ?  Om binnen de huidige kwantummechanica te blijven heb ik gekeken naar de oplossing van Diracs vergelijking voor p=0 en dan en dan krijgt men:
 
Ψ = A.exp((-i.m₀.c²/h).t)  waarin het argument gelijk is aan f₀.  Deze oplossing wordt geassocieerd met de spin van een elementair deeltje en dus het impulsmoment.
Ik wijs er hier dus al op dat f₀ een frequentie is van een rotatie en niet die van een golf.
 
Kijkt men nu naar v=v  dan worden de formules:
 
E² = (m₀.c²)² + (p.c)² = (h.f₀)² + (p.c)² = (h.f)²  è(p.c)² = h².(f² –f²₀) 
stel nu (f² –f²₀) =f²_v  dan krijgt men:
p.c = h.f_v  
Neemt men aan dat f_v de frequentie is van een ‘de Broglie golf’ die in het vacuüm beweegt met de lichtsnelheid dan krijgt men precies de uitkomst van de Broglie die stelde dat voor een deeltje met rustmassa geldt:
p = h/λ,   immers voor de fasesnelheid geldt dan dat c=f_v.λ
 
De frequentie f is dan een somfrequentie van een rotatie frequentie en een golffrequentie maar in de kwadraten daarvan.
f₀ = f_spin en f_v = f_golf

[jkien]

Kijkt men naar de situatie waarin v = 0 

 
Dat lijkt me de deeltjessnelheid waarbij niemand behoefte heeft aan De Brogliegolven. Als v=0 dan is λ oneindig, dus er is geen golf.
 
De titel beloofde een bewijs, maar bericht #1 is geen bewijs, klopt dat?

[Boormeester]

Meneer Jkien, u heeft zelf gezegd dat E = h.f en p=h/λ . Als je ervan uitgaat dat deze postulaten van de Broglie juist zijn dan kun je eenvoudig bewijzen dat dan de 'de Broglie golflengte' een golf is die met de lichtsnelheid reist en een reële golf is. Zou de golf niet met de lichtsnelheid reizen dan kom je niet uit op p=h/λ  voor een rustmassa deeltje.

[jkien]

Volgens de titel gaat dit topic alleen over jouw bewijs dat een snelheid gelijk is aan de lichtsnelheid  c. De snelheid die je kennelijk in bericht #1 beredeneert, met de waarde c, noem ik hier gemakshalve de boormeestersnelheid. Wat de boormeestersnelheid voorstelt is me niet duidelijk geworden, ondanks bericht #1. De fasesnelheid en de groepssnelheid van De Brogliegolven vind ik wel duidelijk (wiki, onder de speciale relativiteitstheorie). Die zijn niet gelijk aan c, voor een massadeeltje.

[Boormeester]

Hoe duidelijk is dan een golfpakket met een groepsnelheid van 0, een fasesnelheid en een golflengte van oneindig en een frequentie van m₀.c²/h ~ 10¹⁹?

[Boormeester]

In jouw voorstelling golft de rustmassa ook rustig mee in het golfpakket, waarvan ook de draaggolf deel vanuit maakt. De draaggolf in het golfpakket vertegenwoordigt ook massa. Volgens jouw voorstelling verplaatst de draaggolf zich echter met een snelheid groter dan de lichtsnelheid. Dat kan niet want een rustmassa deeltje kan zich niet sneller verplaatsen dan de lichtsnelheid. voor de duidelijkheid heb ik een plaatje van een golfpakket bijgevoegd waarin duidelijk de draaggolf te zien is binnenin het golfpakket en de draaggolf dus ook massa vertegenwoordigd en zich dus niet kan voortplanten met een snelheid groter dan c.

[jkien]

Hoe duidelijk is dan een golfpakket met een groepsnelheid van 0, een fasesnelheid en een golflengte van oneindig en een frequentie van m₀.c²/h ~ 10¹⁹?

 

Duidelijk is een expliciete uitdrukking:

\(v_{groep}=v_{deeltje}\)

en

\(v_{fase}=\frac{c^2}{v}\)

 

In de quantummechanica moet v=0 (met Δv=0) inderdaad problematisch zijn, vanwege de onzekerheidsrelatie moet het deeltje dan oneindig verspreid zijn. Normaal gesproken heeft een deeltje een snelheidsspreiding Δv die niet nul is.

 

 

De draaggolf in het golfpakket vertegenwoordigt ook massa.

 

De draaggolf vertegenwoordigt geen massa. De draaggolf heeft geen fysische betekenis.

[Boormeester]

Dus als ik jouw redenering volg dan bevindt ik mij overal in het heelal als ik stil sta? Ik weet toch vrij zeker dat ik mij op aarde bevindt en wel in de plaats Querença.

[Boormeester]

een golfpakket is een harmonische golf met een variabele amplitude. Je zou kunnen zeggen dat de amplitude de massa vertegenwoordigt. Het deeltje kan dientengevolge niet sneller bewegen dan het licht, of je het nu hebt over de fase snelheid of de groepssnelheid.

[jkien]

Dus als ik jouw redenering volg dan bevindt ik mij overal in het heelal als ik stil sta? Ik weet toch vrij zeker dat ik mij op aarde bevindt en wel in de plaats Querença.

 

Als het zeker is dat je in Querença bent kan je snelheid niet exact nul zijn. De onzekerheid van je snelheid is Δv = h / (2πmΔx)

 

een golfpakket is een harmonische golf met een variabele amplitude. Je zou kunnen zeggen dat de amplitude de massa vertegenwoordigt. Het deeltje kan dientengevolge niet sneller bewegen dan het licht, of je het nu hebt over de fase snelheid of de groepssnelheid.

 

De snelheid van het deeltje kan niet groter zijn dan die van het licht, de groepssnelheid ook niet, maar de fasesnelheid wel.

groepfase 1239 keer bekeken

​Brewer

 

[Michel Uphoff]

Wikipedia heeft een aardige animatie van fase (rode punt) en groepssnelheid (groene punt):
 

Wave_group 1239 keer bekeken

Bron: Wikipedia. Klik om de animatie te starten.

[jkien]

Een andere webpagina, isvr, bevat een verhelderende animatie van een dispersief golfpakket (v_groep<>v_fase) in vergelijking met een nondispersief golfpakket (v_groep=v_fase).

[Boormeester]

Het zou fijn zijn als jullie eens ingingen op de situatie van v=0, dan krijg je toch wel een heel merkwaardig golfpakket (het geldt natuurlijk ook voor v dichtbij nul) met een heel grote golflengte en een enorm grote frequentie. Wat is dan volgens jullie die frequentie f₀? Het moet deel uitmaken van het golfpakket volgens jullie.

[jkien]

Het zou fijn zijn als jullie eens ingingen op de situatie van v=0, dan krijg je toch wel een heel merkwaardig golfpakket (het geldt natuurlijk ook voor v dichtbij nul) met een heel grote golflengte en een enorm grote frequentie. Wat is dan volgens jullie die frequentie f₀? Het moet deel uitmaken van het golfpakket volgens jullie.

 
Voor v=0 is dat f = f₀ = m₀.c²/h. Deze De Brogliefrequentie f is de trillingsfrequentie van de De Brogliegolf, dat is de golffunctie Ψ. Het is geen bezwaar dat f groot is ( ~ 10¹⁹​ Hz), want de trillingsfrequentie van Ψ heeft geen waarneembare betekenis, alleen |Ψ|² heeft waarneembare betekenis. Voor v>0 is f = √(f₀² + (p.c/h)²).
 
Ik heb bezwaar tegen wat je na f₀ = m₀.c²/h schrijft in bericht #1. In het citaat hieronder heb ik die bezwaren gemarkeerd met enkele edits
 

Uitgangspunten zijn:
 
E² = (m₀.c²)² + (p.c)²  (1)   en  E = h.f  (2)  en   p=h/λ  (3)
 
Waarbij zal blijken Boormeester zal suggereren dat f  eigenlijk een kwadratische som frequentie is en λ inderdaad de golflengte is van een bestaande golf die verbonden is aan de waarde van de impuls en een fasesnelheid heeft gelijk aan de lichtsnelheid.
 
Kijkt men naar de situatie waarin v = 0  dan krijgt men  f₀ = m₀.c²/h  . Wat is nu die frequentie f₀ ?  Om binnen de huidige kwantummechanica te blijven heb ik gekeken naar de oplossing van Diracs vergelijking voor p=0 en dan en dan krijgt men:
 
Ψ = A.exp((-i.m₀.c²/h).t)  waarin het argument gelijk is aan f₀.  Deze oplossing wordt geassocieerd met de spin van een elementair deeltje en dus het impulsmoment.
Ik wijs er hier dus al op dat f₀ een frequentie is van een rotatie en niet die van een golf.
 
Kijkt men nu naar v>0 =v dan worden de formules:
 
E² = (m₀.c²)² + (p.c)² = (h.f₀)² + (p.c)² = (h.f)²  è(p.c)² = h².(f² –f²₀) 
stel nu (f² –f²₀) =f²_v  dan krijgt men:
p.c = h.f_v  
Neemt men aan dat Noem f_v de boormeesterfrequentie van een de Broglie ongedefinieerde 'boormeestergolf’ die in het vacuüm beweegt met de lichtsnelheid dan krijgt men precies de lichtsnelheid.
uitkomst van de Broglie die stelde dat voor een deeltje met rustmassa geldt: p = h/λ,   immers voor de fasesnelheid geldt dan dat c=f_v.λ
 
De frequentie f is dan een somfrequentie van een rotatie frequentie en een golffrequentie maar in de kwadraten daarvan.
f₀ = f_spin en f_v = f_golf

 
Ik heb er bezwaar tegen dat je sluipend afwijkende definities introduceert voor de termen De Brogliefrequentie en De Brogliegolf. Voor het gemak heb ik jouw termen omgedoopt. Volgens de heersende afspraak is De Brogliegolf de golffunctie Ψ, en de De Brogliefrequentie is de trillingsfrequentie van Ψ.   (ref: 1,2)

[Boormeester]

U stelt de zaken niet helemaal juist voor meneer JKien. De golffunctie geeft de amplitude van een 'de Broglie golf' . Zie de bijgevoegde bladzijde uit de serie fundamentele natuurkunde deel 4, quantumfysica. uw verhaal gaat dus helemaal niet op in bericht 14. Een 'de Broglie golf' is een reële golf, immers de impuls is reëel (p=h/λ)! U maakt uw eigen JKien natuurkunde: iets reëels is gelijk aan iets fictief.
U stelt dat de golflengte naar oneidig zal gaan als ik stil sta. Al de deeltjes waaruit ik besta als golfpakket worden dan oneindig lang. Het is duidelijk dat dit niet gebeurt, want als ik stil sta wordt ik niet uitgerekt tot een oneindig lange golf. Uw voorstelling van zaken klopt niet.