Inverse Laplacetransformatie

[ukster]

Inverse LaplaceTransformatie 571 keer bekeken

RLC schakeling 567 keer bekeken

[EvilBro]

Eerst H(jw) opstellen (van de spanningsdeler):

\(H(j \omega) = \frac{\frac{1}{j \omega C}}{R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C}} = \frac{1}{j \omega R C + (j \omega)^2 L C + 1} = \frac{1}{(j \omega)^2 L C + j \omega R C + 1}\)

Fourier is simpelgezegd Laplace met:

\(s = 0 + j \omega\)

Dus Laplace van de schakeling is:

\(H(s) = \frac{1}{L C s^2 + R C s + 1}\)

Als je de waarden voor de componenten invult dan zie je dat dit de gegeven functie is.

\(H(s) = \frac{1}{L C} \frac{1}{s^2 + \frac{R}{L} s + \frac{1}{L C}} = \frac{1}{L C} \frac{1}{s^2 + 2 \frac{R}{2 L} s + \frac{R^2}{4 L^2} - \frac{R^2}{4 L^2}+ \frac{1}{L C}}\)

\(H(s) = \frac{1}{L C} \frac{1}{(s + \frac{R}{2 L})^2 + (\frac{4 L - R^2 C}{4 L^2 C})} = \frac{1}{(L C) \sqrt{\frac{4 L - R^2 C}{4 L^2 C}}} \frac{\sqrt{\frac{4 L - R^2 C}{4 L^2 C}}}{(s + \frac{R}{2 L})^2 + (\frac{4 L - R^2 C}{4 L^2 C})} = \frac{1}{\sqrt{\frac{4 L C - R^2 C^2}{4}}} \frac{\sqrt{\frac{4 L - R^2 C}{4 L^2 C}}}{(s - (-\frac{R}{2 L}))^2 + (\sqrt{\frac{4 L - R^2 C}{4 L^2 C}})^2}\)

Dit is in een Laplace-transform tabel te vinden:

\(\frac{b}{(s - a)^2 + b^2} \leftrightarrow e^{a t} \sin(b t)\)

\(h(t) = \frac{1}{\sqrt{\frac{4 L C - R^2 C^2}{4}}} e^{-\frac{R}{2 L} t} \sin(\sqrt{\frac{4 L - R^2 C}{4 L^2 C} t)\)

Hier moet je dan de convolutie mee doen met de stapfunctie.

Of dit nu eenvoudiger is dan de differentiaalvergelijking oplossen, weet ik niet...
Misschien is het ook wel mogelijk om de stapfunctie in het Laplace-domijn te doen (= vermenigvuldigen met 1/s), maar ik zie dan niet direct een makkelijke manier om bij y(t) te komen.

Standaard disclaimer: bij het gegoochel met dit soort formules zou ik niet uitsluiten dat ik ergens een foutje heb gemaakt. Je bent gewaarschuwd.

[ukster]

LCR kring 566 keer bekeken

y(t) bepalen vanuit de differentiaalvergelijking is mij inmiddels helemaal duidelijk.
maar de inverse laplacetransformatie lijkt niet echt eenvoudiger. Convolutie en zo is voor mij nog een stap ver.. 
Ik zie trouwens dat je overgaat naar de standaardvorm voor F(s) om bij y(t) te komen.
www.hhofstede.nl/modules/Laplaceinverse.htm

Breuksplitsen 566 keer bekeken