Pietje Precies en de tensorrekening

[Professor Puntje]

Op soortgelijke wijze kun je bijvoorbeeld ook de Corioliskracht en centrifguulkracht begrijpen door naar roterende stelsels te gaan. Je ziet dan beide "schijn"krachten voor je neus verschijnen door de transformatiewet. Dat laatste geval is een typisch voorbeeld van een niet-tensoriële uitdrukking, want de 2e wet van Newton is geen tensorvergelijking voor roterende stelsels (waarbij de rotatie tijdsafhankelijk is) of andere versnellingen. Waar een inertiaalwaarnemer immers F=0 zal meten zal een roterende waarnemer F = schijnkrachten meten. (In de algemene rel.theorie kun je dit soort "schijnkrachten" lokaal opvatten als connectietermen.)

 
Dat heb ik in verband met een andere vraag en onder mijn vroegere naam ook al eens berekend:
 
https://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/126524-draait-de-aarde-onder-me-door/?p=601171
 
Het was een hele klus, maar het heeft mij toen wel duidelijk gemaakt wat vanuit newtoniaans gezichtspunt schijnkrachten nu precies zijn. Aan een dergelijke berekening vanuit de ART ben ik nog niet toe.

[Math-E-Mad-X]

 
Aan een dergelijke berekening vanuit de ART ben ik nog niet toe.

 
Ik denk niet dat hij dat bedoelt. Volgens mij bedoelt hij dat je de transformatie-regels voor tensoren nog eens kunt bekijken door ze toe te passen op de Newtonse mechanica. Dat heeft dus verder niets met ART te maken.

[Professor Puntje]

Ikzelf vind het altijd verfrissend om Newtonse zaken door te rekenen waarvan je de uitkomst intuïtief al kent. Wat je bijvoorbeeld kunt doen, is om de beweging van een deeltje in een vlak in een zwaartekrachtspotentiaal, dus Newtons 2e wet, om te schrijven in poolcoördinaten. Je schrijft dan een versnelling in Cartesische coördinaten {x,y} om naar {r,theta} en als het goed is kun je meetkundig de termen interpreteren die je zo krijgt.

Laat er in het platte vlak een zwaartekrachtspotentiaal heersen. Verder nemen we aan dat er in dit vlak onder invloed van dat zwaartekrachtspotentiaal Φ(r) een ponderabel deeltje d met plaatsvector r(t) en versnelling a(t) beweegt. We hebben dan:

 

\( \mathbf{g}(\mathbf{r}) = - (\nabla \Phi)(\mathbf{r}) \)

 

\( \mathbf{g}(\mathbf{r}(t)) = - (\nabla \Phi)(\mathbf{r}(t)) \)

 

\( \mathbf{a}(t) = - (\nabla \Phi)(\mathbf{r}(t)) \)

 

In cartesische coördinaten:

 

\( \mathbf{a}(t) = - \mathbf{e_x} \cdot \left [ \frac{\partial \Phi}{\partial x} \right ] (\mathbf{r}(t)) \,\, + \,\, - \mathbf{e_y} \cdot \left [ \frac{\partial \Phi}{\partial y} \right ] (\mathbf{r}(t)) \)

 

In poolcoördinaten:

 

\( \mathbf{a}(t) = - \mathbf{e_r} \cdot \left [ \nabla_{\mathbf{e_r}} \Phi \right ] (\mathbf{r}(t)) \,\, + \,\, - \mathbf{e_{\theta}} \cdot \left [ \nabla_{\mathbf{e_{\theta}}} \Phi \right ](\mathbf{r}(t)) \)

 

 

De radiale en transversale component van de (vectoriële) versnelling van deeltje d zijn dus respectievelijk:

 

\( a_r = - \left [ \nabla_{\mathbf{e_r}} \Phi \right ] (\mathbf{r}(t)) \)

 

\( a_{\theta} = - \left [ \nabla_{\mathbf{e_{\theta}}} \Phi \right ](\mathbf{r}(t)) \)

 

 

Is het tot zover nog in orde?

[Professor Puntje]

Ik denk niet dat hij dat bedoelt. Volgens mij bedoelt hij dat je de transformatie-regels voor tensoren nog eens kunt bekijken door ze toe te passen op de Newtonse mechanica. Dat heeft dus verder niets met ART te maken.

 
Is het dan de bedoeling om uit te gaan van een driedimensionale euclidische vectorruimte plus een absolute tijdsdimensie en daarin dan tensoren te definiëren die volgens de Galileitransformatie transformeren?
 
Inderdaad een interessant idee om eerst eens te zien hoe de basis van de newtoniaanse mechanica er in tensoren uitgedrukt uitziet. Morgen meer...

[Professor Puntje]

Klopt het onderstaande?
 
Hoe zijn de newtoniaanse kracht- en versnellingsvector als tensoren voor te stellen? Omdat ik wil weten met wat voor "dingen" ik werk wil ik hier gebruik maken van de moderne definitie van tensoren als multilineaire afbeeldingen. Als uitgangspunt nemen we de bekende gerichte lijnstukjes (vectoren als pijltjes) met bijpassende optelling en scalaire vermenigvuldiging die leven binnen een driedimensionale euclidische ruimte. Zij vormen algebraïsch gezien een vectorruimte die we Vp zullen noemen. De aan Vp duale lineaire ruimte van covectoren heet Vp*. De vectorruimte Vp* bevat precies alle lineaire afbeeldingen van Vp naar R. De aan Vp* duale lineaire ruimte heet Vp**. De vectorruimte Vp** bevat precies alle lineaire afbeeldingen van Vp* naar R en dit zijn juist de op Vp gebaseerde (1,0)-tensoren.

 

Bij iedere vector v in Vp is er een covector f_v(u) = u • v in Vp* en er is naast v géén andere vector v' in Vp zodanig dat een covector van de vorm f_v(u) = u • v ook als f_v'(u) = u • v' geschreven kan worden. Er zit voor iedere vector w in Vp in Vp** nu ook een lineaire afbeelding T_w van Vp* naar R die voor covectoren van de vorm f_v(u) = u • v als beeld het reële getal w • v oplevert. Die (1,0)-tensor T_w stelt de (pijltjes)vector w voor.
 
(Waarschuwing: Ik heb bovenstaande niet stap voor stap nagetrokken of bewezen, dus er kunnen best fouten in zitten. Het gaat mij er nu enkel om of ik op het goede spoor zit.)

[flappelap]

Is het dan de bedoeling om uit te gaan van een driedimensionale euclidische vectorruimte plus een absolute tijdsdimensie en daarin dan tensoren te definiëren die volgens de Galileitransformatie transformeren?
 
Inderdaad een interessant idee om eerst eens te zien hoe de basis van de newtoniaanse mechanica er in tensoren uitgedrukt uitziet. Morgen meer...

Ja. Neem bijvoorbeeld eens de tweede wet van Newton. Deze stelt dat objecten een rechte lijn afleggen in de ruimte wanneer er geen krachten in het spel zijn. Je kunt vervolgens kijken onder welke transformaties deze 2e wet invariant is. Dat geeft je de Galilei-transformaties. Onder deze transformaties is de 2e wet van Newton een tensorvergelijking: F=ma=0 blijft 0, in elk stelsel. Fysisch betekent dat dat de transformatie je naar een waarnemer brengt die de afgelegde weg nog steeds als recht zal waarnemen.

Wanneer je vervolgens naar versnelde waarnemers gaat, dan kun je zelf nagaan dat de 2e wet niet meer als een tensor transformeert. De fysische vertaling hiervan is dat de vergelijking F=ma=0 transformeert naar iets dat ongelijk aan 0 is. Dat "iets" noemen we vervolgens "schijnkrachten" of "inertiaalkrachten". De fysische vertaling is dat het oorspronkelijk rechte pad (F=ma=0) door je nieuwe waarnemer opgevat wordt als een gebogen pad.

Wiskundig: noteer het pad van je object met \(x(t)\). In de afwezigheid van krachten zegt Newtons 2e wet dat

\( \frac{d^2 x}{dt^2} = 0 \)

Transformeer nu naar een nieuwe waarnemer, zodat de coördinaten van de afgelegde weg transformeren als

\( x(t) \rightarrow x'(t') \)

Inertiaalwaarnemers worden gedefinieerd door

\( \frac{d^2 x'}{dt'^2} = 0 \)

Onder een rotatie met constante hoek geldt bijvoorbeeld (x is een vector, R is een rotatiematrix)

\( x'(t') = R x(t) \)

en dus

\( \frac{d^2 x'}{dt'^2} = R \frac{d^2 x}{dt^2} = 0 \)

Wanneer je echter een versnelling uitvoert, b.v.

\( x'(t') = x(t) + \frac{1}{2}a t^2 \)

dan krijg je

\( \frac{d^2 x'}{dt'^2} = \frac{d^2 x}{dt^2} + a = 0 + a \)

Oftewel: de 2e wet van Newton is geen tensorvergelijking onder versnellingen. Dit in tegenstelling tot een Galilei-boost

\( x'(t') = x(t) + v t \)

met v een constante snelheid.

Op deze manier krijg je een hele fysische vertaling van wat tensoren nu precies zijn.

[flappelap]

Klopt het onderstaande?
 
Hoe zijn de newtoniaanse kracht- en versnellingsvector als tensoren voor te stellen? Omdat ik wil weten met wat voor "dingen" ik werk wil ik hier gebruik maken van de moderne definitie van tensoren als multilineaire afbeeldingen. Als uitgangspunt nemen we de bekende gerichte lijnstukjes (vectoren als pijltjes) met bijpassende optelling en scalaire vermenigvuldiging die leven binnen een driedimensionale euclidische ruimte. Zij vormen algebraïsch gezien een vectorruimte die we Vp zullen noemen. De aan Vp duale lineaire ruimte van covectoren heet Vp*. De vectorruimte Vp* bevat precies alle lineaire afbeeldingen van Vp naar R. De aan Vp* duale lineaire ruimte heet Vp**. De vectorruimte Vp** bevat precies alle lineaire afbeeldingen van Vp* naar R en dit zijn juist de op Vp gebaseerde (1,0)-tensoren.
 
Bij iedere vector v in Vp is er een covector f_v(u) = u • v in Vp* en er is naast v géén andere vector v' in Vp zodanig dat een covector van de vorm f_v(u) = u • v ook als f_v'(u) = u • v' geschreven kan worden. Er zit voor iedere vector w in Vp in Vp** nu ook een lineaire afbeelding T_w van Vp* naar R die voor covectoren van de vorm f_v(u) = u • v als beeld het reële getal w • v oplevert. Die (1,0)-tensor T_w stelt de (pijltjes)vector w voor.
 
(Waarschuwing: Ik heb bovenstaande niet stap voor stap nagetrokken of bewezen, dus er kunnen best fouten in zitten. Het gaat mij er nu enkel om of ik op het goede spoor zit.)

Ik zou het iets meer "down to earth" willen doen: een positievector van een deeltje noteren we als

\( x^i (t) \)

De snelheid en versnelling definieren we dan als

\( v^i = \frac{dx^i}{dt} , \ \ \ \ a^i = \frac{d^2 x^i}{dt^2} \)

Onder een ruimtelijke coordinatentransformatie

\( x^i \rightarrow x^{'i} \)

transformeert je snelheid dan als

\( v^{'i} = \frac{\partial x^{'i}}{\partial x^j} v^j \)

en je versnelling als

\( a^{'i} = \frac{\partial x^{'i}}{\partial x^j} a^j \)

Bijvoorbeeld: onder een rotatie

\(
x^{'i} = R^i{}_j x^j
\)

krijg je

\( v^{'i} = \frac{\partial x^{'i}}{\partial x^j} v^j = R^i{}_j v^j \)

[Professor Puntje]

Oftewel: de 2e wet van Newton is geen tensorvergelijking onder versnellingen. Dit in tegenstelling tot een Galilei-boost

\(
x'(t') = x(t) + v t
\)

met v een constante snelheid.

Op deze manier krijg je een hele fysische vertaling van wat tensoren nu precies zijn.

 
Transformeren tensorgrootheden binnen de ART bij beschrijving vanuit onderling versnellende coördinatenstelsels dan wel op dezelfde manier als de coördinaten van die coördinatenstelsels?