Geregeld proces

[ukster]

  Een proces

proces 1382 keer bekeken

(A=4) ,wordt geregeld met 

regelaar 1382 keer bekeken

Bekend is dat de stapresponsie van de gesloten- lus overdracht optimaal is voor open- lus versterking

open lus versterking 1382 keer bekeken

Ik zoek nu Kr.A=?? voor deze optimale stapresponsie zodat ik later met de regelaar versterking Kr verder kan experimenteren.
Om dit te kunnen berekenen moet de frequentie bekend zijn waarbij de Fasemarge 54º is.
de vraag is: Hoe kan ik deze frequentie analytisch bepalen.
 
definities regelkring:

open loop closed loop 1382 keer bekeken

 
Het gaat om onderstaand systeem..

Raket koersregeling (eenvlaks) 1382 keer bekeken

[Professor Puntje]

Dit is voor mij allemaal heel lang geleden. Kun je aangeven wat wiskundig gesproken de vraag is? Moet er een bepaalde vergelijking opgelost worden?

[ukster]

open lus gain 1382 keer bekeken

zoals je ziet zit de de open-lusoverdracht H_ol=H_r.H_p (ook wel recht-doorgaande overdracht genoemd) in de noemer van de gesloten-lusoverdracht, namelijk 1+H_ol
[attachment=26385:open lus gain.jpg]
Als H_olgelijk wordt aan -1 is er dus een groot probleem betreffende de stabiliteit van de gesloten-lusoverdracht H_cl
Praktisch moet H_ol dus op voldoende afstand van het punt -1 in het complexe vlak liggen voor voldoende stabiliteit van het gesloten systeem.
In dit geval blijkt dit op te treden voor een open-lusversterking van +6,77dB bij een argument van -126º (Fasemarge is dan 54º)
Dit is echter het geval voor één frequentie ω. Deze frequentie heb ik nodig om de gevraagde versterking te berekenen, zodat Kr.A berekend kan worden en daarmee dus de waarde van Kr voor verder experimenteren.
De totale polaire plot (Nyquistdiagram)van de open-lus versterking loopt uiteraard van ω=0 tot ω →∞ 
 
De volgende vergelijking moet dus worden opgelost: argument (H_ol) = -126º     met als oplossing de frequentie ω.
 
 
 
 

[Professor Puntje]

De volgende vergelijking moet dus worden opgelost: argument (H_ol) = -126º     met als oplossing de frequentie ω.

 
Zo dus?
 

\( \arg(H_{ol}) = - \frac{126}{180} \, \pi \)

 

\( \arg(H_r \cdot H_p) = - \frac{126}{180} \, \pi \)

 

\( \arg \left ( \frac{\mbox{K}_r ( 1 + \frac{1}{2 s}) (2 s + 1)}{0,1 \, s + 1} \cdot \frac{\mbox{A}}{s^2} \right ) = - \frac{126}{180} \, \pi \)

[ukster]

Ja ,correct!

[Professor Puntje]

En die s kan weer geschreven worden als x + j y ?

[ukster]

volgens mij is s=d/dt in het tijddomein en s=jω in het frequentiedomein
overigens weet ik niet welk stabiliteitscriterium aan de vergelijking ten grondslag ligt.
 
Er zijn er heel veel, dat weet ik wel. deze zijn afhankelijk van de proces- en regelaar eigenschappen.

[Professor Puntje]

\( \arg(H_{ol}) = - \frac{126}{180} \, \pi \)

 

\( \arg(H_r \cdot H_p) = - \frac{126}{180} \, \pi \)

 

\( \arg \left ( \frac{\mbox{K}_r ( 1 + \frac{1}{2 s}) (2 s + 1)}{0,1 \, s + 1} \cdot \frac{\mbox{A}}{s^2} \right ) = - \frac{126}{180} \, \pi \)

 
We hebben ook:
 

\( \arg(H_{ol}) = - \frac{126}{180} \, \pi \)

 

\( \tan ( \arg(H_{ol}) ) = \tan \left (- \frac{126}{180} \, \pi \right ) \)

 

\( \tan ( \arg(H_{ol}) ) = \tan \left (- \frac{126}{180} \, \pi \, + \, \pi \right ) \)

 

\( \tan ( \arg(H_{ol}) ) = \tan \left ( \frac{54}{180} \, \pi \right ) \)

 

\( \tan ( \arg(H_{ol}) ) = \tan \left ( \frac{3}{10} \, \pi \right ) \)

 

\( \frac{\mbox{Im}(H_{ol})}{\mbox{Re}(H_{ol})} = \tan \left ( \frac{3}{10} \, \pi \right ) \,\,\,\,\,\, (^*)\)

 
 
Alle waarden van s waarbij H_ol het vermelde argument heeft moeten aan bovenstaande vergelijking (*) voldoen, maar mogelijk rollen daar ook nog extra oplossingen uit die niet voldoen. De met (*) gevonden oplossingen moeten dus nog wel gecontroleerd worden.

[ukster]

klopt, maar welke frequentie ω hoort bij deze situatie?

versterking 1381 keer bekeken

Hol 1381 keer bekeken

ik bedoel hiermee: H_ol moet toch eerst naar het frequentiedomein getransformeerd worden zodat de eerdere vergelijking er een in ω wordt.
Dit schema relateert de verschillende domeinen.

relaties 1381 keer bekeken

 
volgens mij is de versterking Kr.A niet uit 'de vergelijking in s' te berekenen.

[Professor Puntje]

omweg 1380 keer bekeken

 
Met bovenstaande omweg zou het moeten kunnen. Je schrijft immers:
 

Als H_olgelijk wordt aan -1 is er dus een groot probleem betreffende de stabiliteit van de gesloten-lusoverdracht H_cl
Praktisch moet H_ol dus op voldoende afstand van het punt -1 in het complexe vlak liggen voor voldoende stabiliteit van het gesloten systeem.

 
Dat berust kennelijk op de overweging dat er bij een H_ol van -1 ongewenste meekoppeling ontstaat. Wat je dus zou kunnen doen is uit H_ol terugredeneren naar de DV die het verband tussen de "regelafwijking" en de "proceswaarde" beschrijft. Die gevonden DV kun je (voor harmonische signalen) met de complexe rekenwijze oplossen om de versterking en fasedraaiing bij een hoekfrequentie ω te vinden.
 
Het kan ongetwijfeld ook veel sneller door s = jω te nemen maar daar heb ik nog geen goede onderbouwing voor gevonden, en ik heb op het moment ook niet de tijd om daar verder naar te zoeken.   

[ukster]

de normale gang van zaken is vanuit een differentiaalvergelijking (met initial conditions) de Laplacegetransformeerde bepalen en met inverse Laplace het het gedrag in het tijddomein. de tegengestelde weg bewandelen lijkt mij geen optie!
ik zie inderdaad meer heil in de weg via het frequentiedomein

domein relaties 1379 keer bekeken

[Professor Puntje]

Heb je de DV dan ook al?

[ukster]

Nee, alleen de overdracht van Hp en Hr in het s-domein is bekend (bericht#1)

[Professor Puntje]

Ziehier voor wat achtergrondinfo:
 
https://electronics.stackexchange.com/questions/105542/fourier-vs-laplace
 
Wil je het wiskundig rigoureus doen dan moeten we dus dieper in de wiskunde van de Fourier- en Laplacetransformatie duiken.

[ukster]

citaat 1379 keer bekeken

Hier ben ik het mee eens. dit geldt ook voor de spoel (jωL=sL),immers het faseverschil tussen stroom en spanning bij zuivere spoelen en condensatoren is exact 90º
conclusie: voor het rekenen aan spoelen en condensatoren op wisselspanning legt de gelijkheid jω=s de link naar het s-domein.

Reactantie Impedantie Admittantie 1379 keer bekeken

RLC kring op wisselspanning 1379 keer bekeken