zwaartekrachts harmonica (gravitatietheorie)

[tuander]

Ik weet bij Toutatis even niet wat ik aan het doen ben. Mijn eerste probeersel leverde dit op, misschien wil iemand er wat mee:
 
Stel:  a = {4*p * G * mp * rho * pi} 
Stel: b = r²/p²
 

integraal harmonica crop2 1006 keer bekeken

 
Ik weet niet of ik hoek phi wel mag laten vervangen door afstand x

[tuander]

Ik kom zelf voorlopig even niet verder. Ik moet mee eerst mijn integraalrekenkunsten weer opfrissen.
 
Ik kan wel vast zeggen dat ik een iets andere vorm van geidealiseerde materie door probeer te rekenen dan newton doet. Newton rekent met een tweedimensionale vorm van geidealiseerde materie, die hij gelijkmatig verspreidt over het oppervlak van een bolschil. Met de zwaartekrachtsharmonica probeer ik te rekenen met een driedimensionale vorm van geidealiseerde materie, die ik gelijkmatig verspreid over de inhoud van een bol.
 
Ik kan wel vast zeggen wat de verwachte uitkomst van de integraal is als de bolschilstelling van Newton ook klopt voor een hele bol:
[ Gravitatieconstante ] * [ massa van de bol ] * [ massa van de testmassa in p ]  / [ afstand p ]²
 
( massa van de bol is dichtheid * volume = rho * (4/3)*pi*r³ )
 
Dus de verwachte uitkomst van de integraal is { G * rho * (4/3)*pi*r³ * mp } / p²
 
De integratiegrenzen zijn phi = 0 en  de phi van het raakpunt
de phi van het raakpunt is gegeven door sin(phi) = r/p
 
nog 1 opmerking, ik zie met een scheef oog dat deze methode dezelfde curiositeit oplevert als de 'massaloze frisbee' van de bolschilstelling. Als phi = 0 , dan is sin(phi) = 0, en dus dan is de massa van dit segment ook nul. Dus je krijgt dezelfde curieuze massaloze 'draad' recht onder je voeten helemaal naar de andere kant van de aarde. Opmerkelijk.

[tuander]

Even een update/slot, ik heb de integraal nog uitgerekend:
 
Eerst de op internet gevonden formule controleren. Ik ga hem daartoe differentiëren:

 -(1/3)*a*(3/2)*{b-sin(x)*sin(x)}^(1/2)*-2*sin(x)*cos(x)

= a*sin(x)*cos(x)*{b-sin(x)*sin(x)}^(1/2)*

dat lijkt te kloppen

je integreert over het gebied tussen de lijn van p naar het aardmidden (phi=0) en de hoek phi behorend bij de kegel met top p die raakt aan de bol met straal r

voor deze raaklijn/kegel geldt: sin phi = r/p, dus phi = arcsin r/p

de integratiegrenzen zijn: phi = 0 en phi = arcsin(r/p)

De uitkomst van de integraal wordt:

1/3*a*{b-sin0*sin0}^(3/2) - 1/3*a*{b-sin(arcsinr/p)(sin(arcsinr/p)}^(3/2)  =

1/3*a*b^(3/2)- 1/3*a*{b-(r ²/ p ²)}^(3/2) =   

--------[vul in: b = r ²/ p ²]--------

1/3*a*(r ²/ p ²)^(3/2) - 1/3*a*( r ²/ p ² - r ²/ p ² )^(3/2) =

1/3*a(r³/p³)

--------[vul in: a = 4*p * G * mp * rho * pi]--------

= 1/3*4*p*G*mp*rho*pi*(r³/p³)

= 4/3*G*mp*rho*pi**(r³/p²)

En dit is precies de waarde die Newton ook vindt!

Voor Newton Geldt:

voor m1:

inhoud bol = 4/3*pi*r³

dichtheid bol = rho

afstand d = afstand p

voor m2: m2 = mp

uitkomst: G * m1 * m2 / d*d

=G * 4/3*pi*r³ * rho * mp / p*p

Q.E.D.

 

[tuander]

Het lijkt er op dat ik met mijn aanpak Newton heb bevestigd. Dit terwijl ik eigenlijk had gehoopt een foutje te kunnen vinden. Mijn aanpak verschilt van de bolschil-hypothese van Newton vooral in het feit dat ik een massieve bol door bereken en geen oneindig dunne bolschil.
 

1. Hoewel mijn aanpak resulteert in dezelfde optelformule als Newton, wil ik er toch niet automatisch van uit gaan dat mijn benadering helemaal klopt. Ik twijfel specifiek over de  gebruikte wiskunde; ik ben niet vreselijk handig in integreren. Ik heb over een hoek d phi geïntegreerd op dezelfde manier waarop je over dx integreert. Het resulteert wel in dezelfde formule als Newton, maar misschien kan iemand met meer verstand van wiskunde er eens naar kijken?
2. Verder bouw ik een bol op uit 'holle kegelsegmenten' met de testmassa als top. Zeg maar een massieve kegel met tesmassa als top (en de lijn testmassa-aardmidden als as), waar je een kleinere kegel van aftrekt, die kleinere kegel heeft ook de testmassa als top en dezelfde as. Het verschil tussen massieve kegel en de kegel die je er van aftrekt is de hoek d-phi. Er zitten als gevolg daarvan kleine ribbeltjes in het boloppervlak. Ribbeltjes die principieel groter zijn aan de achterkant van de bol dan aan de voorkant. Deze rimpeltjes merk je vooral bij tesmassa's vlak bij het oppervlak. Ik weet niet of je ze mag verwaarlozen als je dphi steeds kleiner kiest. Vooral de principieel grotere golfjes aan de achterkant. Maar ook de golfjes aan de voorkant, die worden sneller kleiner bij een kleinere dphi, maar de rimpeltjes aan de voorkant resulteren wel in een grotere afwijking dan de ribbeltjes aan de achterkant. Er is teveel massa onder een grotere hoek, en die moet je voor een betere benadering verplaatsen naar een kleinere afstand onder een kleinere hoek. Beide factoren vergroten de bijdrage van de massa in de totaalmassa

 

the possible flaw in gravity harmonica 999 keer bekeken

[tuander]

Als mijn aanpak fout zou zijn terwijl de uitkomst wel overeenstemt met Newton, zou dat een bewijs uit het ongerijmde kunnen zijn. Een bewijs dat Newton niet helemaal klopt

[EvilBro]

Nee.

Als ik denk dat machtsverheffen werkt door de twee getallen op te tellen dan is mijn aanpak fout:

\(a^b = a + b\)

Ik denk dan:

\(2^2 = 2 + 2 = 4\)

In dit geval komt mijn antwoord toevallig overeen met het echte antwoord. Hieruit kan ik dan niet de conclusie trekken dat de aanpak van anderen dan dus ook fout is, bijvoorbeeld:

\(2^2 = 2 \cdot 2 = 4\)

Verder is een bewijs uit het ongerijmde een bewijs waarbij je laat zien dat een veronderstelling leidt tot een tegenstrijdigheid. Dat is bij dit scenario niet aan de orde. Jouw aanpak kan prima volledig verkeerd zijn, maar toch hetzelfde antwoord geven als het correcte bewijs.

[tuander]

Dank voor je inbreng.
 
Ik stel toch erg prijs op controle van de wiskundige aanpak. Het is erg belangrijk om te weten of de door mij gebruikte wiskunde klopt. Als de wiskunde klopt, dan geeft dat zelfs misschien aanknopingspunten voor een correctieformule op Newton. Dus nogmaals de oproep: Of iemand de tijd kan vinden om mijn aanpak van de integraal over d-phi te controleren. (te vinden in post #31 https://sciencetalk.nl/forum/index.php/topic/200802-zwaartekrachts-harmonica-gravitatietheorie/?p=1070679 )