Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

[HansH]

Op blz. 6 staat in verband met de intrinsieke kromming een interessante formule:

\(\)

\( \mbox{R} = \lim_{\, radius \rightarrow 0} \,\, \frac{6}{radius^ 2} \left ( 1 \, - \, \frac{circumference}{2 \pi \, radius} \right ) \)

\(\)

Het leuke is dat hier (zonder de gevreesde tensoren!) al wat mee gerekend kan worden. Wellicht ook interessant voor HansH om dat bijvoorbeeld voor een boloppervlak uit te proberen.

Bij die formule vraag ik mij dan wel direct af of er ook deformaties van de ruimtetijd bekend zijn waarbij de betreffende limiet niet bestaat. (Iets wat in Zee's woordenboek niet lijkt voor te komen ).

Ik kan zo aan die formule niet precies zien wat het voorstelt en in welke context het is bedoeld. Dat is op zijn minst toch wel nodig om er iets mee te kunnen.

[Professor Puntje]

Radius is de straal van een op een gekromd oppervlak getekende cirkel waarbij die straal ook in het gekromde oppervlak zelf getekend is (en er dus er van buitenaf krom uitziet).

Circumference is de omtrek van de op het gekromd oppervlak getekende cirkel eveneens gemeten op het boloppervlak zelf.

En als we dan voor het gekromde oppervlak als voorbeeld een boloppervlak nemen dan moet het nog wel zonder allerlei ingewikkelde wiskunde te behappen zijn.

Een groot deel van Zee's boek is overigens op Google Books al in te zien zonder dat je het hoeft te kopen:

https://books.google.nl/books?id=5Dy1hl ... &q&f=false

[Gast]

Ik heb er gisteren (doodmoe) nog even naar gekeken. Er moet misschien even bijgezegd worden dat de radius naar 0 loopt (staat er ook wel met lim radius -> 0), maar toch. En dat de factor 6, zoals ik begrijp, later in het boek nog besproken wordt.

Het doet me erg denken aan enkelvoudig gekromde vlakken en dubbelgekromde vlakken. .. Eigenlijk, wat is het verschil met intrinsieke en extrintieke kromming precies? (Of is dat een te domme vraag;? )

[Professor Puntje]

https://www.pitt.edu/~jdnorton/teaching ... #Intrinsic

[Gast]

Ah. Ok. Snel even bekeken .. t lijkt wel iig iets te maken hebben met dubbelgekromde vlakken als ik het zo zie.

Normaal gesproken zoek ik het eerst zelf uit, daar leer je het meeste van natuurlijk en pas vragen als je er niet uitkomt. Maar .. niks eigenlijk.

Ik zal er later goed naar kijken. Thanks voor de link.

[Professor Puntje]

Een boloppervlak heeft volgens mij zowel intrinsieke als extrinsieke kromming. Een cilinderoppervlak heeft wel extrinsieke kromming maar geen intrinsieke kromming. En als een omhullende (hyper)ruimte ontbreekt waarin een intrinsiek gekromde ruimte gekromd is dan is die gekromde ruimte (per definitie) niet extrinsiek gekromd.

Ten minste als ik het allemaal goed begrepen heb....

[Gast]

Oh, ik dacht net andersom. Maar zoals gezegd ik heb maar kort even gekeken. Maar dit komt wel goed (zou niet best wezen, vastlopen op pagina 5 .. )

[Professor Puntje]

Ik kan het ook fout hebben. Gelukkig zijn er op dit forum wel een paar mensen (zoals flappelap) die kunnen ingrijpen als we op een dwaalspoor raken.

[Gast]

Haha, ja. Flappelap is goed.

[Professor Puntje]

Hoe ziet de formule voor de omtrek O van een cirkel met straal r eruit voor de hypothetische bewoners van een boloppervlak met straal \( \mathcal{R} \)?

In principe moet je dat ook helemaal vanuit de perceptie van die bewoners kunnen berekenen, maar zover ben ik nog niet. Dus ik bepaal nu de formule voor O als functie van r met behulp van de euclidische meetkunde die geldt voor de driedimensionale ruimte waarin het boloppervlak vervat is.

Een straal r op het boloppervlak is vanuit het driedimensionale perspectief gezien een boogje op een cirkel met straal \( \mathcal{R} \).

Zodat:

\(\)

\( \mbox{O}(r) = 2 \pi \, r' \)

\(\)

\( \mbox{O}(r) = 2 \pi \, \mathcal{R} \sin(\alpha) \)

\(\)

\( \mbox{O}(r) = 2 \pi \, \mathcal{R} \sin \left (\frac{r}{2 \pi \mathcal{R}} \cdot 2 \pi \right ) \)

\(\)

\( \mbox{O}(r) = 2 \pi \, \mathcal{R} \sin \left (\frac{r}{\mathcal{R}} \right ) \)

\(\)

Dit geldt dus voor een cirkel in de meetkunde van de bolbewoners. En dat moet nu in de formule uit het boek van Zee gestopt worden....

[Professor Puntje]

Invullen geeft:

\(\)

\( \mbox{R} = \lim_{\, radius \rightarrow 0} \,\, \frac{6}{radius^ 2} \left ( 1 \, - \, \frac{circumference}{2 \pi \, radius} \right ) \)

\(\)

\( \mbox{R} = \lim_{\, r \rightarrow 0} \,\, \frac{6}{r^ 2} \left ( 1 \, - \, \frac{\mbox{O}(r)}{2 \pi \, r} \right ) \)

\(\)

\( \mbox{R} = \lim_{\, r \rightarrow 0} \,\, \frac{6}{r^ 2} \left ( 1 \, - \, \frac{ 2 \pi \, \mathcal{R} \sin \left (\frac{r}{\mathcal{R}} \right )}{2 \pi \, r} \right ) \)

\(\)

\( \mbox{R} = \lim_{\, r \rightarrow 0} \,\, \frac{6}{r^ 2} \left ( 1 \, - \, \frac{\sin \left (\frac{r}{\mathcal{R}} \right )}{ \frac{r}{\mathcal{R}}} \right ) \)

\(\)

\( \mbox{R} = \lim_{\, \varphi \rightarrow 0} \,\, \frac{6}{( \varphi \mathcal{R})^ 2} \left ( 1 \, - \, \frac{\sin(\varphi)}{ \varphi} \right ) \)

\(\)

\( \mbox{R} = \frac{6}{\mathcal{R}^2} \cdot \lim_{\, \varphi \rightarrow 0} \,\, \frac{1}{ \varphi^ 2} \left ( 1 \, - \, \frac{\sin(\varphi)}{ \varphi} \right ) \)

\(\)

Ik weet niet of dit de bedoeling is....

[Xilvo]

Leuk waar jullie mee bezig zijn, ik kijk soms even mee, hoewel ik niet mee ga doen.
Ik denk dat je zo verder moet:

\(\mbox{R} = \lim_{\, r \rightarrow 0} \,\, \frac{6}{r^ 2} \left ( 1 \, - \, \frac{\sin \left (\frac{r}{\mathcal{R}} \right )}{ \frac{r}{\mathcal{R}}} \right )\)

Gebruik de eerste twee termen van de reeksontwikkeling van sin(x) ≈ x - x³ / 3!

Dan kom je op

\(\mbox{R} = \lim_{\, r \rightarrow 0} \,\, \frac{6}{r^ 2} \left ( 1 -1+\frac{1}{6}\frac{r^2}{R^2} \right )=\frac{1}{R^2}\)

[Professor Puntje]

Ah - mooi.

Een stukje cilinderoppervlak daarentegen kan tot een plat vlak worden uitgerold zonder dat de afstanden erop veranderen, dus daarvoor geldt gewoon: \( \mbox{O}(r) = 2 \pi r \). Zee's limiet geeft in dat geval R = 0.

[HansH]

Ik begrijp dus dat de formule uit Bericht do 31 okt 2019, 07:54 de lengte geeft van een gekromte straal op de cirkel die je bv op een voetbal kunt tekenen. maar als je die straal naar 0 laat gaan krijg je volgens mij weer een gewone cirkel in een plat vlak. (bv aarde, R->0 betekent in de praktijk gewoon een cirkel van bv 1 meter die ik op een stuk aardoppervlak kan tekenen, dus notmale cirkel als r->0) of mis ik iets.

[HansH]

even snel het stukje in de text opgezocht via de link van prof. puntje:

De formule is algemeen geldig voor elke R (waarschijnlijk als R niet al te groot is met fittingfactor 6 ls ik het even snel zie om de krommingsformuke in een bepaald gebied optimaal te laten passen, er is dus blijkbaar een nog ingewikkelder formule die werkt voor alle R<Rbol)

maar goed, Het idee erachter is den ik om het begrip kromming uit te leggen en dat je dat met een formule kunt beschrijven die in het limiet geval R->0 weer op de cirkel in het platte vlak uitkomt met stadaard cirkelformule.