Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

[die hanze]

@prof puntje

Die radius in je formule ligt dan wel buiten het "manifold" of niet?

[Professor Puntje]

De bedoeling van Zee's formule is (volgens mij) dat je daarmee de mate van intrinsieke kromming kunt berekenen enkel op grond van afstanden die binnen het gekromde vlak te meten zijn. Als je je in dat oppervlak wezentjes denkt die dat vlak niet uit kunnen, dan zullen die wezentjes een eigen meetkunde kunnen ontwikkelen die (in geval het vlak intrinsiek gekromd is) afwijkt van de ons bekende euclidische meetkunde. Voor een boloppervlak bijvoorbeeld zullen de daarop levende wezentjes (zoals we gezien hebben) als formule voor de omtrek van een cirkel vinden dat:

\(\)

\( \mbox{O}(r) = 2 \pi \, \mathcal{R} \sin \left (\frac{r}{\mathcal{R}} \right ) \)

\(\)

Zee's formule drukt nu de lokale afwijking van de euclidische meetkunde (dat is: de intrinsieke kromming) van het betreffende oppervlak uit in een getal R en gebruikt voor de berekening van dat getal R de formule voor de omtrek van een cirkel die de op dat oppervlak levende wezentjes moeten hanteren.

Ik ben mij ervan bewust dat dit allemaal wat kinderachtig klinkt, maar de bedoeling is kennelijk om een dergelijke redenering later ook weer te gebruiken om de kromming van de ruimtetijd op basis van door ons binnen de ruimtetijd te meten gegevens te definiëren. Wij kunnen immers ook niet buiten de ruimtetijd treden om de zaken eens van buitenaf te bekijken, dus hebben we een theorie nodig die de kromming enkel op basis van binnen de betreffende ruimte(tijd) bekende gegevens beschrijft.

[Professor Puntje]

@prof puntje

Die radius in je formule ligt dan wel buiten het "manifold" of niet?

De radius r ligt binnen de "manifold" en ziet er van buitenaf (driedimensionaal) bezien als een boogje uit.

[Professor Puntje]

Vraag: kan een intrinsieke kromming altijd ook worden voorgesteld en teweeggebracht door een extrinsieke kromming in een omvattende euclidische ruimte? Zoals dat bijvoorbeeld bij een boloppervlak het geval is.

(Ben zelf ook wel benieuwd naar het antwoord...)

[flappelap]

Volgens mij heeft John Nash (van A Beautiful Mind) onderzoek gedaan naar zgn. manifold embeddingen, zou je op kunnen googlen.

[Professor Puntje]

Gevonden: https://en.wikipedia.org/wiki/Nash_embedding_theorem

Dat verhaal gaat mij boven de pet, maar het ziet eruit als een voorzichtig "ja" op mijn vraag.

[HansH]

[quote=flappelap post_id=1125105 time=1572428733
Intrinsieke kromming kun je denk ik prima intuïtief uitleggen. Het komt er op neer dat als je b.v. op een bol met een lans loopt en de lans in je handen niet draait, de oriëntatie van de lans padafhankelijk zal zijn. Leg maar eens twee verschillende paden af, kom op hetzelfde punt uit, en de twee lansen zullen een hoek met elkaar maken. Die hoek is een indicatie van intrinsieke kromming.

Dat is ook de reden waarom bijvoorbeeld het oppervlak van een donut (een 2-torus) niet intrinsiek gekromd is (de torus volgt uit de identificatie van randen van een vlak).
[/quote]
misschien nog mooi ter verduidelijking dit filmpje

vanaf 7:35 parallel transport. voor een torus kom je zo na het volgen van een pad weer in het oorspronkelijke startpunt met vector in zelfde richting. dat is denk ik wat flappelap bedoelt.

Maar at is nu de definitie van extrinsieke kromming? dat is mij nog even niet duidelijk geworden.

[Professor Puntje]

Voor zover ik het nu begrijp is een ruimte A in een omvattende ruimte B extrinsiek gekromd als (sommige) lijnen die vanuit het perspectief van A recht zijn er vanuit het perspectief van B krom uitzien.

Op dit moment beheers ik de theorie nog onvoldoende om een scherpere zuiver wiskundige definitie te geven.

[Gast]

Even .. (baal ervan dat ik ziek ben en zo achter raak (alsof ik weer op school zit ), maar keek gister toch snel even in het boek van Zee) en ik kwam dit helemaal niet tegen.

En ik las ergens (geloof ik) dat alleen intrinsieke kromming van belang is, want extrinsieke kromming valt nooit te zien. (Buiten een heelal bestaat niet.)

Of staat dit los van het boek? (Of heb ik het over het hoofd gezien?)

@professor puntje
Hoop (voor mezelf) niet dat je nu al halverwege het boek bent. (Zou wel mooi zijn voor jou natuurlijk. .. hmm eigenlijk voor mij ook, want als ik dan vragen heb kun je me goed helpen!! )

[Professor Puntje]

Volgens mij is voor de ART inderdaad alleen de intrinsieke kromming van belang, precies om de reden die je al aangeeft. Of de intrinsieke kromming ook door een extrinsieke kromming kan worden gerepresenteerd en hoe dan kan ook wel interessant zijn maar ik vrees dat daarbij dan nog veel ingewikkelder wiskunde is vereist dan we nu al nodig hebben.

Overigens ben ik nog pas helemaal in het begin van het boek. Je kunt me als je eenmaal weer beter bent nog makkelijk inhalen. Ik krijg het pas moeilijk zodra de tensoren verschijnen.

[Gast]

Hah, ja de gevreesde tensoren. Tijdens mijn afstuderen heb ik er van geproefd zeg maar. Maar ik denk (hoop iig) dat het zo is als met (bijna) alles: "zodra je het begrijpt, vraag je je af wat er zo moeilijk aan was."

Nu eerst goed uitzieken .. alleen ik heb een soort handicap .. ben zo'n denker (soms piekeraar) dat ik me nergens op kan concentreren als ik geen beweging krijg en bijna alleen maar op bed lig. En dan ga ik wel over onderwerpen als de ART nadenken, maar wat dan voor geen meter lukt. Frustrerend is dat. Maar goed .. komt wel weer.

Succes verder iig.

[flappelap]

Volgens mij is voor de ART inderdaad alleen de intrinsieke kromming van belang, precies om de reden die je al aangeeft. Of de intrinsieke kromming ook door een extrinsieke kromming kan worden gerepresenteerd en hoe dan kan ook wel interessant zijn maar ik vrees dat daarbij dan nog veel ingewikkelder wiskunde is vereist dan we nu al nodig hebben.

Overigens ben ik nog pas helemaal in het begin van het boek. Je kunt me als je eenmaal weer beter bent nog makkelijk inhalen. Ik krijg het pas moeilijk zodra de tensoren verschijnen.

Klopt, de Riemann-tensor beschrijft intrinsieke kromming. Je komt extrinsieke kromming nog wel eens tegen bij zogenaamde ruimtetijdfoliaties, waarin je deelruimtes van de ruimtetijd gaat bekijken, en in de zogenaamde "Gibbons Hawking term" in de Einstein Hilbert actie als je ruimtetijden met randen beschouwt.

Maar da's voorlopig niet aan de orde, gok ik

[Professor Puntje]

Dank! Ik ben de afgelopen tijd veel met andere zaken bezig geweest, maar ik heb nog wel kans gezien de reeks video's van Susskind over de ART te bekijken. In december onttrek ik mij aan alle feestgewoel en hoop ik de tijd te vinden het boek van Zee uit te lezen (of althans een flink deel daarvan).

[Gast]

@flappelap

Een foliatie van de ruimtetijd is toch niet zo moeilijk?Tenminste het is mij eens uitgelegd, alleen ik herinner me het niet goed en kan het niet terugvinden (irritant). Iig bedoelde, zoals mij verteld werd, Einstein dat oorspronkelijk met de "rubber sheet analogy" en niet de bekende "trampoline analogie".

Dit is een foliatie van ruimtetijd rond een zwart gat:

Alleen nu weet ik de uitleg erbij niet goed meer. Ik geloof dat de g00-component niets anders is dan de zwaartekracht potentiaal (?) en de getijdekrachten hier dus oplopen tot oneindig.

Het was echter een hele korte uitleg, misschien kun jij me meer vertellen? (TIA).

@professor puntje
Zijn die filmpjes van Susskind echt de moeite waard?
(Ik kom voorlopig echt niet aan het boek van Zee toe helaas.)

[Professor Puntje]

@professor puntje
Zijn die filmpjes van Susskind echt de moeite waard?

De wiskundige finesses komen in die filmpjes niet aan bod, maar de filmpjes geven wel een goed globaal overzicht hoe de theorie in elkaar steekt. Tenminste voor zover ik dat kan beoordelen.