Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

[Professor Puntje]

Voor N deeltjes met massa's m₁, m₂ t/m m_N en plaatsvectoren \( \vec{x}_1 \), \( \vec{x}_2 \) t/m \( \vec{x}_N \) is de totale impuls \( \vec{p} \) gelijk aan:

\( \vec{p} = \sum\limits_{i=1}^N \mathrm{m}_i \frac{\mathrm{d} \vec{x}_i}{\mathrm{d} t} \)

De tijdsafgeleide van de totale impuls is:

\( \frac{ \mathrm{d} \vec{p}}{\mathrm{d} t} = \sum\limits_{i=1}^N \mathrm{m}_i \frac{\mathrm{d}^2 \vec{x}_i}{\mathrm{d} t^2} \)

Laat nu \( V \) de totale potentiële energie van het stelsel van N deeltjes zijn. Dan hebben we wegens de bewegingsvergelijkingen:

\( \frac{ \mathrm{d} \vec{p}}{\mathrm{d} t} = \sum\limits_{i=1}^N - \nabla_i V \)

\(\)

Wegens de translatie-invariantie is V dan te schrijven als een functie U van de argumenten \( y_{\alpha , \beta , \gamma} \) (waarin \( \alpha \) en \( \beta \) lopen van 1 t/m N en \( \gamma \) van 1 t/m 3) met:

\(\)

\( y_{\alpha , \beta , \gamma} = x_{\alpha}^{\gamma} - x_{\beta}^{\gamma} \)

\(\)

Vervolgens vinden we voor al de \( \lambda \) van 1 t/m 3 dat:

\(\)

\( \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N\sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \frac{\partial y_{\alpha , \beta, \gamma} }{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \)

\(\)

\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\mu=1}^N\sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \frac{\partial y_{\alpha , \beta, \gamma} }{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \)

\(\)

\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \sum\limits_{\mu=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \frac{\partial y_{\alpha , \beta, \gamma} }{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \)

\(\)

\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial y_{\alpha , \beta, \gamma} }{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \)

\(\)

\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} (x_{\alpha}^{\gamma} - x_{\beta}^{\gamma}) \)

\(\)

\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \sum\limits_{\mu=1}^N (\delta_{\mu,\alpha} \,\delta_{\lambda,\gamma} \, - \, \delta_{\mu,\beta} \, \delta_{\lambda,\gamma} ) \)

\(\)

\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \delta_{\lambda,\gamma} \cdot \sum\limits_{\mu=1}^N (\delta_{\mu,\alpha} \, \, - \, \delta_{\mu,\beta}) \)

\(\)

\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \delta_{\lambda,\gamma} \cdot \left ( \sum\limits_{\mu=1}^N \delta_{\mu,\alpha} \, \, - \,\, \sum\limits_{\mu=1}^N \delta_{\mu,\beta} \right ) \)

\(\)

\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \delta_{\lambda,\gamma} \cdot ( 1 - 1 ) \)

\(\)

\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = \sum\limits_{\gamma=1}^3 \sum\limits_{\alpha=1}^N \sum\limits_{\beta=1}^N \partial_{\alpha , \beta, \gamma} \, \mathrm{U} \cdot \delta_{\lambda,\gamma} \cdot 0 \)

\(\)

\( \sum\limits_{\mu=1}^N \frac{\partial}{\partial x_{\mu}^{\lambda}} \, V = 0 \)

\(\)

Zodat:

\( \sum\limits_{i=1}^N - \nabla_i V = \vec{0} \)

\(\)

\( \frac{ \mathrm{d} \vec{p}}{\mathrm{d} t} = \vec{0} \)

[Professor Puntje]

Het doorwerken van dat boek gaat een meerjarig project worden, zoveel is mij inmiddels wel duidelijk. Ik neem nu even rust, want ik heb aan deze opgave een flinke hoofdpijn overgehouden. Ik vind het ook heel lastig om met al die indices zicht te houden van wat ik nou eigenlijk aan het doen ben.

[flappelap]

Het doorwerken van dat boek gaat een meerjarig project worden, zoveel is mij inmiddels wel duidelijk. Ik neem nu even rust, want ik heb aan deze opgave een flinke hoofdpijn overgehouden. Ik vind het ook heel lastig om met al die indices zicht te houden van wat ik nou eigenlijk aan het doen ben.

Met tensornotatie is zo'n opgave een stuk overzichtelijker, maar ook dat is een kwestie van oefenen

Ik heb nu weinig tijd om er goed naar te kijken. Misschien dat ik em binnenkort zelf uitwerk en hier neerzet, ff kijken of dat qua (priori)tijd lukt.

[Professor Puntje]

OK - dank voor de reactie en hulp tot nog toe. Ik denk dat die opgave mij in mijn eentje niet gelukt was.

[flappelap]

Wat jij nu ervaart is grappig genoeg ook wat ik in de oude manuscripten en notities van Einstein zie: omdat hij niet goed bekend was met tensoren en differentiaalmeetkunde waren zijn berekeningen vaak hopeloos ingewikkeld, omslachtig en uitgebreid.

Da's een troost

[Professor Puntje]

Ah - dank, ik voel me gelijk een heel stuk beter.

[flappelap]

Ik zal je mijn oplossing even laten zien ter illustratie van mijn vorige opmerking, maar ik laat daarna deze opgave even liggen, omdat je anders nooit door dat boek heen zult raken.

We weten dus dat

\( \frac{dp_{tot}}{dt} = \sum_a \frac{\partial V}{\partial x_a} \)

De index a labelt de verschillende plaatscoördinaten van de deeltjes; de componenten van elke vector schrijf ik niet (fatsoenlijke notatie kiezen is erg belangrijk in dit soort problemen; maak het zo eenvoudig mogelijk!).

Nu definiëer ik

\( r_{ab} \equiv x_a - x_b \)

Belangrijk: deze coördinaat(verschil) is anti(!)symmetrisch in a en b!

Dus schrijf ik

\( V(x_a) = V(r_{ab}(x_a)) \)

Zo krijg ik

\( \frac{dp_{tot}}{dt} = \sum_{a} \frac{\partial V}{\partial x_a} = = \sum_{a,b; a \neq b} \frac{\partial V}{\partial r_{ab}}\frac{\partial r_{ab}}{x_a} \)

Je kunt die laatste afgeleide waarschijnlijk nog verder uitschrijven in hippe tensornotatie, maar waar het om gaat is dat de sommatie symmetrisch is in a en b, terwijl de afgeleide naar onze r antisymmetrisch is in a en b. En dus zal de sommatie over a en b nul opleveren. Dit is vergelijkbaar met het feit dat de volledige contractie tussen een symmetrische en antisymmetrische tensor nul is, omdat in de sommatie de termen paarsgewijs wegvallen.

Deze situatie komt regelmatig voor in relativiteit, dus als je dat een paar keer gezien hebt, hoef je dat (gelukkig!) niet elke keer meer volledig uit te schrijven. En dat is dus een kwestie van oefening.

[flappelap]

Om de efficiëntie van "tensornotatie" nog es te illustreren: dit is de Lagrangiaan van het standaardmodel,

https://www.sciencealert.com/images/Scr ... .12_pm.png

en zo past-ie op een T-shirt,

https://www.google.com/url?sa=i&rct=j&q ... 9395181434

[Professor Puntje]

Mooi! Ik heb al wel vaker gelezen dat het werken met tensor-notatie een enorme besparing van tijd en moeite oplevert, maar nu zie ik het ook zelf.

[flappelap]

Ik ben in mijn post nog een min-teken vergeten, en "de afgeleide naar r is antisymmetrisch" moet "de afgeleide van r" zijn. Kan het niet meer aanpassen, maar ala, het idee is duidelijk.

[Professor Puntje]

Verder met het boek van Zee. Het volgende vraagstuk betreft een klassieke afleiding (volgens Newton) van de afbuiging van lichtdeeltjes door de zon. Ik heb daar inmiddels al weer flink wat tijd in gestoken maar ik kon geen eenvoudige afleiding bedenken. Daarom heb ik ten einde raad maar de oplossingen achter in het boek bekeken. En daar staat een onelegant en weinig intuitief bewijs. Niet vreemd dus dat ik geen simpele oplossing kon vinden!

Maar na een korte rust te hebben genomen bedenk ik zojuist iets wat mogelijk ook gaat. Zie onderstaande schets:

Stel je voor dat twee lichtdeeltjes in tegengestelde richting langs de zon scheren. Dan wordt de zon daardoor “naar beneden” getrokken. Omdat de afbuiging van de lichtdeeltjes minimaal is kun je de mate waarin de zon door de lichtdeeltes wordt aangetrokken eenvoudig berekenen door de banen van de lichtdeeltjes (bij die berekening) als rechte lijnen te beschouwen. Maar als je weet welke neerwaartse impuls de zon door het passeren van de lichtdeeltjes krijgt weet je ook welke impuls omhoog de lichtdeeltjes zelf door het passeren van de zon verkrijgen. En daar volgt dan – als ik niets over het hoofd zie – de afbuiging van de lichtdeeltjes uit. Is een dergelijke berekening van de afbuiging al bekend?

[Professor Puntje]

Aangezien de lichtdeeltjes zeer snel bewegen en de zon veel zwaarder dan de lichtdeeltjes is zal de zon gedurende het passeren van de lichtdeeltjes nauwelijks van haar plaats komen. Bovendien is de afbuiging van de lichtdeeltjes zelf zeer gering. We kunnen de krachtstoot die de zon als gevolg van het passeren van de lichtdeeltjes ondergaat daarom bij benadering berekenen door te veronderstellen dat de zon zich in een xy-stelsel op de de positie (0,d) bevindt (met d het perihelium) en de twee lichtdeeltjes in tegengestelde richting met de lichtsnelheid c over de x-as bewegen. Dat geeft onderstaande (benaderde) situatie:

[Professor Puntje]

Het is op grond van de symmetrie duidelijk dat F₁ en F₂ in grootte gelijk zijn. We noemen verder de massa van de zon M en de massa van een lichtdeeltje m. Dan ondervindt de zon een totale neerwaartse kracht F volgens:

\(\)

\( \mathrm{F}(t) = 2 \, \mathrm{F}_1(t) \, \cos(\alpha(t)) \)

\(\)

\( \mathrm{F}(t) = 2 \, \mathrm{G} \frac{\mathrm{M} \, \mathrm{m}}{\mathrm{d}^2 \, + \, (\mathrm{c} t)^2} \, \frac{\mathrm{d}}{\sqrt{\mathrm{d}^2 \, + \, (\mathrm{c} t)^2}} \)

\(\)

\( \mathrm{F}(t) = 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} \cdot \frac{\mathrm{d}}{(\mathrm{d}^2 \, + \, (\mathrm{c} t)^2)^{3/2}} \)

\(\)

\( \mathrm{F}(t) = 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} \cdot \frac{\mathrm{d}}{ \left [\mathrm{d}^2 \cdot \left \{1 + \, \left (\frac{\mathrm{c} \, t}{ \mathrm{d} } \right )^2 \right \} \right ]^{3/2}} \)

\(\)

\( \mathrm{F}(t) = 2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m} \cdot \frac{\mathrm{d}}{ \mathrm{d}^3 \, \left (1 \, + \, \left (\frac{\mathrm{c} \, t}{ \mathrm{d} } \right )^2 \right )^{3/2}} \)

\(\)

\( \mathrm{F}(t) = \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}}{ \mathrm{d}^2} \cdot \frac{1}{\left ( 1 \, + \, u^2 \right )^{3/2}} \)

\(\)

Met \( u = \frac{\mathrm{c} \, t}{ \mathrm{d} } \) , zodat: \( t = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}} \cdot u \) .

[Professor Puntje]

De door de zon ondervonden totale neerwaartse krachtstoot J is dan:

\(\)

\( \mathrm{J} = \int\limits_{- \infty}^{\infty} \mathrm{F}(t) \, \mathrm{d} t \)

\(\)

\( \mathrm{J} = \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}}{ \mathrm{d}^2} \cdot \int\limits_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\left ( 1 \, + \, (u(t))^2 \right )^{3/2}} \, \mathrm{d} t \)

\(\)

\( \mathrm{J} = \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}}{ \mathrm{d} \, \mathrm{c}} \cdot \int\limits_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\left ( 1 \, + \, (u(t))^2 \right )^{3/2}} \, \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}} \, \mathrm{d} t \)

\(\)

\( \mathrm{J} = \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}}{ \mathrm{d} \, \mathrm{c}} \cdot \int\limits_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\left ( 1 \, + \, u^2 \right )^{3/2}} \,\,\, \mathrm{d} u \)

\(\)

\( \mathrm{J} = \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}}{ \mathrm{d} \, \mathrm{c}} \cdot 2 \)

\(\)

Elk van de lichtdeeltjes ondervindt als gevolg van het passeren van de zon dus een opwaartse krachtstoot ter grootte van \( \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}}{ \mathrm{d} \, \mathrm{c}} \), hetgeen ze een even grote opwaartse impuls bezorgt. Tezamen met de horizontale impuls ter grootte van m.c geeft dat voor de tangens van de totale buigingshoek \( \theta \) van de gevolgde lichtbaan dat:

\(\)

\( \tan(\theta) = \frac{\frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M} \mathrm{m}}{ \mathrm{d} \, \mathrm{c}}}{\mathrm{m} \, \mathrm{c}} \)

\(\)

\( \tan(\theta) = \frac{2 \mathrm{G} \mathrm{M}}{\,\, \mathrm{d} \, \mathrm{c}^2} \)

[Professor Puntje]

De volgende hobbel die te nemen is bestaat uit Lie-groepen. Daar weet ik nog zo goed als niets vanaf, maar Zee gaat daar in zijn boek nu ook gebruik van maken. Eerst maar eens wat video's op YouTube bekijken om een eerste idee te krijgen van wat Lie-groepen nu eigenlijk zijn.