Anthony Zee's "Einstein Gravity in a Nutshell"

[flappelap]

De volgende hobbel die te nemen is bestaat uit Lie-groepen. Daar weet ik nog zo goed als niets vanaf, maar Zee gaat daar in zijn boek nu ook gebruik van maken. Eerst maar eens wat video's op YouTube bekijken om een eerste idee te krijgen van wat Lie-groepen nu eigenlijk zijn.

Lie groepen zijn groepen die continu zijn, en waarbij je dus infinitesimale transformaties kunt definiëren. Om groepen te begrijpen, kun je rotaties nemen als concreet voorbeeld: elke rotatie heeft een inverse, twee rotaties levert een nieuwe rotatie op, etc.

Een rotatie hangt af van een hoek, en dat is een continue parameter. Dus rotaties vormen een Lie-groep. Net zoals basisvectoren een vectorruimte opspannen en elke vector daarin 'genereren', kun je elementen definiëren die groepen genereren. Die elementen vormen een algebra. De magie hierachter is dat die algebra een vectorruimte vormt, i.t.t. de groep zelf, en daar kun je allerlei lineaire algebra op loslaten. De belangrijkste conclusie is dat de groepsstructuur (lokaal) wordt vastgelegd door iets wat we een commutator noemen. Ken je de commutator, dan ken je de groepsstructuur (kort door de bocht).

Maar ik zou hier niet teveel tijd aan besteden; dit is een heel onderwerp an sich, waar Zee overigens ook weer een uitstekend boek over heeft geschreven

[Professor Puntje]

Belangrijk punt: een vector is iets wat als een vector transformeert. Dit is de vectorversie van de beruchte tensordefinitie. Om hier iets mee te kunnen moet ik zoiets eerst in mijn eigen woorden omzetten. Coördinatenstelsels worden door onszelf (als waarnemers of wiskundebeoefenaars) over een fysisch of meetkundig gegeven ruimte heen gelegd. Fysische vectoren kunnen bij aanname van een zekere schaal als pijltjes in de ruimte worden weergegeven. We kunnen ons dus bepalen tot meetkundige vectoren. Dergelijke vectoren blijven gewoon wat ze zijn en transformeren ook niet wanneer je een ander coördinatenstelsel aanlegt. Er valt ten aanzien van hun transformatie dan ook niets te controleren. Dus kennelijk moeten we de definitie niet letterlijk nemen . Wat wel verandert bij het aanleggen van een ander coördinatenstelsel is de representatie van een vector. Aangezien een vector als een pijltje in de ruimte kan worden voorgesteld moeten kop en staart van een vector op dezelfde wijze transformeren als de coördinaten van (punten in) de ruimte. Iets wat er op het eerste gezicht als een vector uit ziet kan dus door de mand vallen wanneer aan deze regel niet voldaan is.

Vanuit het bovenstaande generaliserend kan men vervolgens (in principe) voor alle objecten die middels coördinaten kunnen worden gerepresenteerd uitmaken of zij al dan niet een vectoren zijn.


Is dit correct?

[Professor Puntje]

De Lie theorie in Zee's boek gaat me veel te snel. Ik heb daar als aanvulling nu toch maar een relatief simpel boek over besteld voor wat meer achtergrondinformatie:

https://books.google.nl/books?id=SuR5OA ... &q&f=false

[Math-E-Mad-X]

Dus kennelijk moeten we de definitie niet letterlijk nemen

Een probleem hier is dat wiskundigen een andere definitie hanteren dan natuurkundigen. Het 'ding' wat natuurkundigen een vector noemen, en wat transformeert 'als een vector', is wat wiskundigen een 'raakvector' noemen.

Voor wiskundigen is een raakvector slechts een speciaal geval van een vector, en een vector in het algemeen heeft (voor wisundigen) helemaal niets met transformaties te maken. Dit is iets waar je echt op moet letten wanneer je je zowel in de wiskunde als in de natuurkunde wil verdiepen.

[Professor Puntje]

Dus zuiver wiskundig is een vector een element van een vectorruimte?

[Professor Puntje]

Een probleem hier is dat wiskundigen een andere definitie hanteren dan natuurkundigen. Het 'ding' wat natuurkundigen een vector noemen, en wat transformeert 'als een vector', is wat wiskundigen een 'raakvector' noemen.

Voor wiskundigen is een raakvector slechts een speciaal geval van een vector, en een vector in het algemeen heeft (voor wisundigen) helemaal niets met transformaties te maken. Dit is iets waar je echt op moet letten wanneer je je zowel in de wiskunde als in de natuurkunde wil verdiepen.

Inderdaad - je kunt (althans wiskundig gesproken) niet rücksichtloos beschouwingen die opgaan in de euclidische ruimte overplanten in gekromde ruimtes, vandaar die moeizame constructie van raakruimtes en raakvectoren. Ik heb daar ooit een video-serie van Fredric Schuller over gezien.

[Math-E-Mad-X]

Dus zuiver wiskundig is een vector een element van een vectorruimte?

Inderdaad, dat is waar ik op doelde.

Een vectorruimte is een verzameling met een 'nul element', een optelling en een scalaire vermenigvuldiging (en de daarbij horende axioma's). Een vector is voor een wiskundige niets anders dan een element uit zo'n ruimte. Dit is dus een puur algebraïsche constructie die helemaal niets met meetkunde, of manifolds, of coordinatentransformaties te maken heeft.

En zelfs als je het over manifolds hebt, dan kun je bijvoorbeed ook het begrip 'vectorbundel' tegen komen. Dat is een verzameling van vectorruimtes die elk gekoppeld zijn aan een punt op een manifold, en zelfs dan staan de vectoren in die vectorruimtes nog steeds helemaal los van eventuele coordinatentransformaties.

Coordinatentransformaties gaan pas een rol spelen op het moment dat je het hebt over een 'raakvectorbundel'. Dat is een speciaal geval van een vectorbundel waarbij iedere vectorruimte uit de vectorbundel een zogenaamde 'raakvectorruimte' is, waarvan de elementen ook wel 'raakvectoren' genoemd worden.

Maar wanneer natuurkundigen over het begrip 'vector' praten gaan ze er meestal impliciet vanuit dat het een raakvector is. Bovendien maken ze vaak geen onderscheid tussen één enkele raakvector, of een functie die aan ieder punt van de manifold een raakvector toekent. Beide concepten worden simpelweg 'vector' genoemd.

(Dit alles heeft mij een hoop frustratie opgeleverd tijdens mijn studie, omdat niemand mij over deze discrepantie vertelde, ik moest er zelf achter komen)

[Professor Puntje]

(Dit alles heeft mij een hoop frustratie opgeleverd tijdens mijn studie, omdat niemand mij over deze discrepantie vertelde, ik moest er zelf achter komen)

En dan heb je ook nog de haat en nijd tussen wis- en natuurkundigen over de gewenste mate van gestrengheid in de bewijsvoering. Inmiddels kan ik voor beide partijen (vanuit hun perspectief bezien) begrip opbrengen, maar ik voel mij het meest thuis bij een wiskundig gestrenge opbouw van de theorie. Helaas echter wordt het dan voor de ART allemaal wel erg esoterisch, vandaar dat ik nu toch maar met Zee's niet-rigoreuze boek aan de slag ben gegaan.

[Professor Puntje]

Voordat de worsteling met tensoren aanvangt wil ik nog één oefening uit Zee's boek met Lie theorie doen. Iedere rotatie R om de oorsprong in R³ kan worden geschreven als:

\(\)

\( \mathrm{R} = e^{\mathrm{A}} \)

\(\)

Met:

\(\)

\( \mathrm{A} = \theta_x \, \mathcal{J}_x + \theta_y \, \mathcal{J}_y + \theta_z \, \mathcal{J}_z \)

\(\)

Waarin \( \theta_x \) , \( \theta_y \) en \( \theta_z \) reële getallen zijn en:

\(\)

\( \mathcal{J}_x = \left ( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ \end{array} \right ) \)

\(\)

\( \mathcal{J}_y = \left ( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right ) \)

\(\)

\( \mathcal{J}_z = \left ( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right ) \)

GEVRAAGD: Te bewijzen dat de onderstaande matrix \( \mathrm{R}_x(\theta_x) \) een rotatie om de x-as over een hoek \( \theta_x \) voorstelt:

\(\)

\( \left ( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta_x) & \sin(\theta_x) \\ 0 & - \sin(\theta_x) & \cos(\theta_x) \end{array} \right ) \)

[Professor Puntje]

Voor rotatie om de x-as geldt: \( \theta_y = \theta_z = 0 \). Zodat we voor A krijgen:

\(\)

\( \mathrm{A} = \theta_x \, \mathcal{J}_x \)

\(\)

En voor R dat:

\(\)

\( \mathrm{R} = e^{\mathrm{A}} \)

\(\)

\( \mathrm{R} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{\mathrm{A}^n}{n!} \)

\(\)

\( \mathrm{R} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{( \theta_x \, \mathcal{J}_x )^n}{n!} \)

\(\)

\( \mathrm{R} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{( \theta_x )^n (\mathcal{J}_x )^n}{n!} \)

\(\)

\( \mathrm{R} = \mathrm{I} + \theta_x \mathcal{J}_x + \sum\limits_{n = 2}^{\infty} \frac{( \theta_x )^n (\mathcal{J}_x )^n}{n!} \)

\(\)

Later verder...

[Professor Puntje]

Laat:

\(\)

\( \mathcal{K}_x = \left ( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right ) \)

\(\)

Dan hebben we:

\(\)

\( ( \mathcal{J}_x )^{2 k} = (-1)^k \, \mathcal{K}_x \)

\(\)

\( ( \mathcal{J}_x )^{2 k+1} = (-1)^k \, \mathcal{J}_x \)

Dus:

\(\)

\( \mathrm{R} = \mathrm{I} + \theta_x \mathcal{J}_x + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{( \theta_x )^{2 k} (\mathcal{J}_x )^{2 k}}{(2 k)!} + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{( \theta_x )^{2 k + 1} (\mathcal{J}_x )^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} \)

\(\)

\( \mathrm{R} = \mathrm{I} + \theta_x \mathcal{J}_x + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{( \theta_x )^{2 k} (-1)^k \, \mathcal{K}_x}{(2 k)!} + \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{( \theta_x )^{2 k + 1} (-1)^k \, \mathcal{J}_x}{(2 k + 1)!} \)

\(\)

\( \mathrm{R} = \mathrm{I} + \theta_x \mathcal{J}_x + \left ( \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{( \theta_x )^{2 k} (-1)^k}{(2 k)!} \right ) \cdot \mathcal{K}_x + \left ( \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \frac{( \theta_x )^{2 k + 1} (-1)^k }{(2 k + 1)!} \right ) \cdot \mathcal{J}_x \)

\(\)

\( \mathrm{R} = \mathrm{I} - \mathcal{K}_x + \left ( \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{( \theta_x )^{2 k} (-1)^k}{(2 k)!} \right ) \cdot \mathcal{K}_x + \left ( \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{( \theta_x )^{2 k + 1} (-1)^k }{(2 k + 1)!} \right ) \cdot \mathcal{J}_x \)

\(\)

\( \mathrm{R} = \mathrm{I} - \mathcal{K}_x + \cos(\theta_x) \cdot \mathcal{K}_x + \sin( \theta_x) \cdot \mathcal{J}_x \)

\(\)

\( \mathrm{R} = \left ( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta_x) & \sin(\theta_x) \\ 0 & - \sin(\theta_x) & \cos(\theta_x) \end{array} \right ) \)

[Professor Puntje]

Hoofdstuk I.4 Who Is Afraid of Tensors? En hier gaat Zee radicaal de mist in. Het helpt ook niet dat hij de mensen die zijn "definitie" niet slikken voor tensorphobes uitmaakt. Ik zal zijn definitie eerst moeten repareren voordat ik met zijn boek verder kan. Hij schrijft dit:

A duck is something that quacks like a duck. Mathematical objects could also be defined by their behavior. We already saw in the preceding chapter that a vector is defined by how it transforms: \( V'^i = R^{i j} V^j \). Consider a collection of “mathematical entities” \( T^{i j} \) with i , j = 1, 2, . . . , D in D-dimensional space. If they transform under rotations according to

\(\)

\( T^{i j} \rightarrow T'^{i j} = R^{i k} R^{j l} T^{k l} \,\,\,\,\, (1) \)

\(\)

then we say that T transforms like a tensor, and hence is a tensor. (Here we are using the Einstein summation convention introduced in the previous chapter: The right hand side actually means \( \sum_{k=1}^D \sum_{l=1}^D R^{i k} R^{j l} T^{k l} \) and is a sum of D² terms.) Indeed, we see that we are just generalizing the transformation law of a vector.

[Professor Puntje]

Stel we hebben de collectie mathematische entiteiten: \( T^{1 1} = 4 \) , \( T^{1 2} = 6 \) , \( T^{2 1} = -2 \) , \( T^{2 2} = 0 \) . Vormt dit nu een tensor? Om dit te kunnen beoordelen moeten we volgens Zee nagaan hoe deze collectie \( T^{i j} \) onder rotaties in R² transformeert. Maar hoe roteer je een collectie \( T^{i j} \) van vier reële getallen in R²? Daar is niets over gegeven! Je zou natuurlijk kunnen afspreken dat zo'n rotatie volgens de tensortransformatieregel gebeurt, maar dan is aan de voorwaarde om een tensor te zijn voor een collectie reële getallen \( T^{i j} \) met i , j lopend van 1 t/m D natuurlijk per definitie voldaan. Iedere collectie reële getallen \( T^{i j} \) met i , j lopend van 1 t/m D is dan een tensor! Het tensorbegrip wordt dan een loze kreet.

[Professor Puntje]

Een rigoureus alternatief voor Zee's circulaire definitie vinden we hier:

https://www.win.tue.nl/casa/education/A ... lation.pdf

Zie: Section 2.9 Mathematical interpretation of the "Engineering tensor concept"

Ik heb tot nog toe geen boek gevonden dat tensoren langs die weg behandelt...

[flappelap]

Hoofdstuk I.4 Who Is Afraid of Tensors? En hier gaat Zee radicaal de mist in. Het helpt ook niet dat hij de mensen die zijn "definitie" niet slikken voor tensorphobes uitmaakt. Ik zal zijn definitie eerst moeten repareren voordat ik met zijn boek verder kan. Hij schrijft dit:

A duck is something that quacks like a duck. Mathematical objects could also be defined by their behavior. We already saw in the preceding chapter that a vector is defined by how it transforms: \( V'^i = R^{i j} V^j \). Consider a collection of “mathematical entities” \( T^{i j} \) with i , j = 1, 2, . . . , D in D-dimensional space. If they transform under rotations according to

\(\)

\( T^{i j} \rightarrow T'^{i j} = R^{i k} R^{j l} T^{k l} \,\,\,\,\, (1) \)

\(\)

then we say that T transforms like a tensor, and hence is a tensor. (Here we are using the Einstein summation convention introduced in the previous chapter: The right hand side actually means \( \sum_{k=1}^D \sum_{l=1}^D R^{i k} R^{j l} T^{k l} \) and is a sum of D² terms.) Indeed, we see that we are just generalizing the transformation law of a vector.

Ik snap echt je probleem niet. De transformatie-eigenschappen volgen rechtstreeks uit de formele definitie van een tensor als zijnde een multilineaire afbeelding. Die definitie kun je vinden in b.v. Carroll, Wald of een wiskundig boek.

Het enige dat je bij deze meer praktische "definitie" (wat het dus eigenlijk niet is) goed in de oren moet knopen, is het feit dat een tensor een coordinaatonafhankelijk object is. Dat is het enige. Als je er nu weer boeken bij gaat slepen voordat je weer verder wilt zul je waarschijnlijk niet of nauwelijks aan je doel toekomen: de algemene relativiteitstheorie goed begrijpen.

Nieuwe zaken je eigen maken is geen lineair proces. Het kan soms juist goed zijn om er eerst praktisch mee aan de gang te gaan en dan alsnog formele gaten dicht te timmeren. Ik heb bijvoorbeeld zat collega's gehad die, als ik ze het hole-argument expliciet liet zien in bepaalde (bekende) coördinaten, ze opeens nogal in de war waren, terwijl ze hun hand er niet voor om draaiden om de invariantie van het lijnelement onder algemene coordinaattransformaties te laten zien. Wat dat betreft snap ik de filosofie van Zee maar al te goed.

Maar wat jij wilt, natuurlijk. Ik krijg alleen sterk het idee dat jij je nogal snel laat afleiden wanneer er zaken worden gepresenteerd die naar jouw eigen smaak "niet formeel genoeg zijn".