- 375px-John_H_Conway_2005_(cropped) 31008 keer bekeken
Conway’s Groepentheorie
De ontdekking waardoor hij, in eigen woorden, de ‘internationale prominentie in werd gelanceerd’, vond plaats in het vakgebied van de groepentheorie. De niche waarin het werk plaatsvond was in dat van de zogenaamde ‘enkelvoudige groepen’. Om hierover te kunnen praten, en te begrijpen waarom Conway’s bijdrage zo belangrijk was, moet eerst het idee van een wiskundige groep uitgelegd worden.
Deze groepen zijn verwant aan het idee van symmetrie, omdat de regels waar groepen aan moeten voldoen ook de essentiële aspecten van symmetrieën definiëren. Daarom zijn deze wiskundige groepen voor te stellen als verzamelingen van symmetrieën van een geometrisch object. Zo is er een groep van symmetrieën voor de gelijkzijdige driehoek, die 6 elementen bevat: 2 rotaties, 3 spiegelingen, en 1 ‘doe niets’ symmetrie (het element dat formeel nodig is om aan de definitie van een groep te voldoen). Dit soort verzamelingen van symmetrieën bestaan natuurlijk voor allerlei vormen, ook in hogere dimensies. Hoe meer elementen de groep bevat, hoe ‘symmetrischer’ de vorm waar de groep mee correspondeert. Verder zijn groepen interessant omdat ze andere groepen kunnen bevatten. Zo is er bijvoorbeeld voor de gelijkzijdige driehoek een subgroep met alleen de reflecties, en een andere subgroep met alleen de rotaties.
Een elementair concept in groepentheorie is dat van de ‘enkelvoudige’ groepen. Dit zijn groepen die niet opgesplitst kunnen worden in andere subgroepen dan de groep zelf, of de ‘triviale groep’ (die bestaat uit een triviaal, enkel element). Dit kan vergeleken worden met priemgetallen, die niet deelbaar zijn afgezien van door zichzelf (net zoals de groep zelf) en 1 (net zoals de triviale groep). Het fascinerende aan enkelvoudige groepen is dat ze alle mogelijke eindige groepen kunnen opbouwen, als atomen in een molecuul. De vergelijking van enkelvoudige groepen met atomen is verrassend treffend, omdat wiskundigen bijna tweehonderd jaar hebben gewerkt aan een bewijs dat mogelijk maakte dat alle soorten enkelvoudige groepen konden worden gecategoriseerd, net zoals het periodiek systeem doet voor de elementen van de natuur. De classificatie waar ze naar op zoek waren was dus een soort periodiek systeem dat de elementen van symmetrie laat zien. Het bewijs wat voor de classificatie nodig was, was formidabel: het omvatte tienduizenden pagina’s aan werk van de gecombineerde inspanningen van honderden wiskundigen. Conway was er één van, en een van zijn bijdragen was zijn ontdekking van de Conway groepen, in 1968. Het was de ontdekking waar hij zijn wiskundige bekendheid aan had te danken. De Conway groepen zijn vier groepen, waarvan de grootste 8,315,553,613,086,720,000 elementen bevat, corresponderend met alle symmetrieën van een vorm die in 24 dimensies leeft. Hij construeerde verder ook de eerste van de groepen die nu bekend staan als de ‘sporadische groepen’. De classificatie van de enkelvoudige groepen wordt gezien als een van de meest indrukwekkende resultaten in de geschiedenis van de wiskunde, en Conway’s bijdragen waren enorm. Zo kan de ontdekking van de Conway groepen misschien vergeleken worden met de ontdekking van een nieuw, onverwacht soort exoplaneet, dat een dieper inzicht geeft in de mogelijkheden waarin de natuur zich kan voordoen.
Het Monster en Snaartheorie
Een van de meest verrassende resultaten van de groepentheorie is het bewijs van het bestaan van een ‘grootst mogelijke groep’. Deze groep bevat alle symmetrieën van wat Conway ‘het Monster’ noemde, een vorm die in 196,883 dimensies leeft. Het aantal elementen van de ‘Monster groep’, ofwel het aantal symmetrieën van het Monster, is maar liefst 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 (~8·108). Het feit dat het daadwerkelijk is bewezen dat deze grootst mogelijke Monster groep inderdaad bestaat, betekent dat er geen vorm is die meer symmetrieën heeft dan het Monster. Dat geeft een zekere lading aan die twee getallen, 8·108 en 196,883: ze impliceren namelijk dat de natuur een limiet van symmetrie heeft. Conway zelf ontdekte deze Monster groep niet, maar ontwikkelde met Simon P. Norton de door hen genoemde ‘Moonshine Theorie’ (de naamgeving van deze termen laat al zien dat Conway net iets anders naar wiskunde keek dan de gebruikelijke wetenschapper). Deze theorie verbindt het bestaan van de Monster groep met de ‘j-functie’, een zogenaamde ‘modulaire vorm’. Modulaire vormen zijn functies die leven in de wereld van complexe getallen, een totaal ander domein van de wiskunde. Een vriend van Conway, John McKay, was de eerste die een verbintenis vond tussen de Monster groep en de j-functie. Hij schreef de Fourier expansie van de j-functie op, die eruit ziet als
J(τ) = 1/q + 196884q + 21493760q2 + 864299970q3 + ...
en zag dat de tweede coëfficiënt, 196,884, wel heel dichtbij de dimensie van de leefruimte van het Monster ligt. McKay toonde aan dat de coëfficiënten een serie vormen die direct gekoppeld kan worden met de Monster groep, te beginnen met 1 en 1 + 196883. De andere coëfficiënten kunnen gebruikt worden om andere representaties van de Monster groep te vormen. Deze observatie werd opgepikt door Conway en Norton en ze ontwikkelden in 1979 een formeel wiskundig vermoeden (Eng: ‘conjecture’) dat deze connectie vastlegde. Dit vermoeden noemde ze ‘Monsterlijk Moonshine’, omdat de connectie tussen modulaire vormen en de Monster groep hen zo verbazingwekkend leek. Toch werd het vermoeden in 1998 bewezen door Richard Borcherds, een voormalige student van Conway. Hiervoor ontving hij de Fields Medal, de wiskundige vervanging van de Nobelprijs. Het bewijs was even fantastisch als het vermoeden zelf, omdat het gebruik maakte van de wiskunde van de snaartheorie, een natuurkundig formalisme dat stelt dat deeltjes zoals elektronen en protonen slechts de gevolgen zijn van trillingen van minuscule snaren. Borcherds’ bewijs liet zien dat bepaalde 26-dimensionale snaren de Monster groep als hun symmetriegroep hebben. Het is een onvoorstelbaar en onvoorspelbaar resultaat dat veel wiskunde en zelfs natuurkunde verbindt en waar John Horton ontegenzeggelijk zijn voetafdruk op heeft achtergelaten.
Met de ontdekking van de naar hem genoemde enkelvoudige groepen was Conway naar eigen zeggen dus als het ware ‘klaar’: zijn wiskundige naam was gemaakt en alles wat hij daarna zou doen, deed hij slechts uit eigen nieuwsgierigheid. Deze aanpak leidde tot werk dat soms haast per ongeluk baanbrekend zou blijken, in onder andere geometrie, getaltheorie, algebra en analyse. Buiten de pure wiskunde gaf deze manier van onderzoek doen ook uiting tot andere interesses van Conway. Hij vond talloze wiskundige spelletjes uit, schreef populair wetenschappelijke boeken en ook daarmee ontwikkelde hij soms nieuwe inzichten die opgepikt konden worden in de academische wereld. Hij was een uniek soort genie: in een interview met The New York Times noemt een collega van Conway, Dr. Simon Kochen, hem een ‘magisch genie’, een uitspraak waar ik me maar al te graag bij aansluit.
Bronnen:
