getalreeks

[ukster]

De getalreeks a₀,a₁,a₂,…..is gedefinieerd met: a₀=4/3 en a_n+1=3(5-7a_n)/(2(10a_n+17)) voor n≥0
Wat is de formule voor a_n in termen van n ?

Door berekening van de reekstermen tot a₁₂ lijken de termen te convergeren naar 1/4
Bovendien is x =1/4 een oplossing van de vergelijking 3(5-7x))/(2(10x+17))=x
Mag je nu stellen dat de convergentie van de reekstermen naar ¼ geen verrassing is?

[RedCat]

Herschrijf je breuk in de vorm:

\(a_n = \frac{P\cdot a_{n-1}+Q}{a_{n-1}+R} = P + \frac{Q-PR}{a_{n-1}+R}\)

met P, Q en R constanten
Tel links en rechts R op:

\(a_n + R = P + R + \frac{Q-PR}{a_{n-1}+R}\)

definieer

\(b_n = a_n + R\)

en we krijgen:

\(b_n = P + R + \frac{Q-PR}{b_{n-1}}\)

definieer dan de rij (d_n):

\((d_n) = \left\{\begin{array}{l}d_{-1}=1\\ d_n=b_n\cdot d_{n-1} \;\; \text{voor} \;\; n\ge 0\end{array}\right.\)

dan is

\(b_n = \frac{d_n}{d_{n-1}}\)

waardoor

\(\frac{d_n}{d_{n-1}} = P + R + \frac{Q-PR}{d_{n-1}/d_{n-2}}\)

ofwel

\(d_n = (P + R)d_{n-1} + (Q-PR)d_{n-2}\)

los deze recursieve relatie op (gebruik daarbij dat d_-1 = 1 en d₀ = b₀ = a₀+R).
Dit levert tenslotte

\(a_n = b_n - R = \frac{d_n}{d_{n-1}} - R\)

[ukster]

vraagje:
Had a_n=(15-21a_n-1))/(20a_n-1+34) ook een mogelijk uitgangspunt kunnen zijn vanwege het
gegeven a_n+1=(15-21a_n)/(20a_n+34) ?

Ik heb hier een uitwerking die min of meer vergelijkbaar is met jouw aanpak met als uitgangspunten:
* Reekstermenconvergentie naar ¼.
* Substitutie (1,2,3).
* Toepassing van de meetkundige rijeigenschap (4)
* 3x backsubstitutie

[RedCat]

vraagje:
Had a_n=(15-21a_n-1))/(20a_n-1+34) ook een mogelijk uitgangspunt kunnen zijn vanwege het gegeven
a_n+1=(15-21a_n)/(20a_n+34) ?

Beide definities zijn gelijkwaardig.
Ik bereken elke a_n uit zijn gegeven (= gekende) voorganger a_n-1,
jij berekent uit elke gegeven (=gekende) a_n zijn opvolger a_n+1.
De relaties tussen elk element van de rij en elk volgend element van de rij zijn identiek.

Ik heb hier een uitwerking die min of meer vergelijkbaar is met jouw aanpak met als uitgangspunten...

Mooie uitwerking.

Heb je ook een snelle manier om de constante van de substitutie

\(b_n = a_n - \frac{1}{4} \)

te bepalen ??

Als

\(a_n = \frac{P\cdot a_{n-1}+Q}{S\cdot a_{n-1}+R}\)

en

\(a_n = b_n + K\)

vind ik uiteindelijk

\(b_n = \frac{(P-KS)\cdot b_{n-1}-SK^2+(P-R)K + Q}{S\cdot b_{n-1}+SK+R}\)

Als we de constante in de teller nul willen krijgen, moet

\(-SK^2+(P-R)K + Q = 0\)

zijn.
In bovenstaand voorbeeld (= met jouw getallen) geeft dit:

\(K=\frac{1}{4} \vee K=-3.\)

Met beide waarden kunnen we via jouw methode verder werken naar de eindoplossing.

Maar zijn deze waarden voor K ook eleganter, dus met wat minder brute kracht te vinden ??

[ukster]

x=1/4 en x= -3 zijn de oplossing van de vergelijking 3(5-7x)/(2(10+17x))=x
Door berekening van enkele reekstermen (tot a₁₅) ,uitgaande van a₀ en de formule van a_n+1 bespeur ik een convergentietrend naar ¼. ( toegepast in de substitutie b_n = a_n -1/4)
Zoals je ziet convergeren de uiteindelijk gevonden reekstermen (a_n) inderdaad naar ¼ !

convergentie 3843 keer bekeken

[RedCat]

x=1/4 en x= -3 zijn de oplossing van de vergelijking 3(5-7x)/(2(10x+17))=x

Mooi en logisch, bedankt!
En oeps... ik had je eerste post beter moeten bekijken.

Door berekening van enkele reekstermen (tot a₁₅) ,uitgaande van a₀ en de formule van a_n+1 bespeur ik een convergentietrend naar ¼. ( toegepast in de substitutie b_n = a_n -1/4)
Zoals je ziet convergeren de uiteindelijk gevonden reekstermen (a_n) inderdaad naar ¼ !

Doorrekenend met symbolen:

\(b_n=\frac{(P-SK)b_{n-1}}{Sb_{n-1}+R+SK}; \;\; \text{met} \;\; b_0 = a_0 - K\)

Voor a₀ = K geldt b₀ = 0, waardoor ook de hele rij b_n = 0 wordt.
En omdat a = b + K, is in dit geval de hele rij a_n = K.
Dit geldt dus zowel voor K=1/4 als K=-3.

Omgekeerd kan b_n alleen nul worden als b_n-1 dat ook is, want uit bovenstaande volgt:

\(b_{n-1}=\frac{(R+SK)b_n}{P-SK -Sb_n}\)

Als a₀ ≠ K kom ik uit op:

\(a_n = \frac{1}{ \alpha\left(\frac{R+SK}{P-SK}\right)^n + \frac{S}{P-R-2SK} } + K\)

waarbij

\(\alpha = \frac{1}{a_0-K}-\frac{S}{P-R-2SK}\)

In ons voorbeeld voor K = 1/4 :

\(a_n = \frac{1}{ \frac{16}{13}\cdot \left(\frac{39}{-26}\right)^n + \frac{-4}{13} } + \frac{1}{4}\)

Voor n naar oneindig gaat dit naar 1/4

En voor K = -3 :

\(a_n = \frac{1}{ \frac{-1}{13}\cdot \left(\frac{-26}{39}\right)^n + \frac{4}{13} } -3\)

Voor n naar oneindig gaat ook dit naar 1/4:

\(a_\infty = \frac{1}{ \frac{-1}{13}\cdot 0 + \frac{4}{13} } -3 = \frac{1}{4}\)

Dus voor beide waarden van K (K = 1/4 en K = -3) convergeert a_n naar 1/4

[ukster]

Top! Mooi gevonden..

reekstermformule 3296 keer bekeken

Alle expressies even gecheckt!
a₈=7329/25988 ≈ 0.28201
a₃₀ =205894353320121/823563454636772 ≈ 0.2500042373

Dank voor je belangstelling en efficiënte inzet.