weerstanden

[Professor Puntje]

http://stanwagon.com/potw/fall13/p1165.html

[Xilvo]

Ik vraag me af waarom gevraagd werd naar heeltallige oplossingen, niet naar de verhouding tussen de weerstanden.

[Professor Puntje]

Ik vraag me af waarom gevraagd werd naar heeltallige oplossingen, niet naar de verhouding tussen de weerstanden.

Om het extra moeilijk te maken. Er is geen elektrotechnische reden om voor weerstanden enkel (positieve) natuurlijke getallen als waarden toe te laten. Men heeft er door die beperking tot natuurlijke getallen in wezen een vraagstuk uit de getallenleer van gemaakt.

[Xilvo]

Een beperking waar je doorheen moet kijken, dus?

[Professor Puntje]

Een beperking waar je doorheen moet kijken, dus?

Hoezo? Die beperking lijkt mij essentieel. Dat bepaalt de aard van het vraagstuk.

Door zeer grote waarden voor de weerstanden te kiezen kun je immers met de verhoudingen (op een kleine fout na) doen wat je wilt.

[Xilvo]

Een beperking waar je doorheen moet kijken, dus?

Hoezo? Die beperking lijkt mij essentieel. Dat bepaalt de aard van het vraagstuk.

Door zeer grote waarden voor de weerstanden te kiezen kun je immers met de verhoudingen (op een kleine fout na) doen wat je wilt.

Dat is ook een oplossingsmethode die ik toepaste, door (tamelijk) grote weerstanden te gebruiken en een kleine afwijking te tolereren. De eis van gehele getallen zou werkelijk wat uitmaken mochten er irrationele verhoudingen noodzakelijk zijn, zodat je de waardes nooit in hele getallen zou kunnen omzetten door vermenigvuldiging met een geschikt geheel getal.

[Professor Puntje]

Helaas is het mij niet duidelijk welke oplossingsmethode nu uiteindelijk gebruikt is om te mogen concluderen dat 1,2,3,4 en de veelvouden daarvan de enige mogelijkheid vormen. Ik vind het sowieso vreemd dat een raadsel door middel van de computer moet worden opgelost. Dat gaat in tegen de geest van wat een raadsel hoort te zijn, namelijk iets dat weliswaar moeilijk kan zijn maar met voldoende denkkracht en pen en papier nog wel te behappen is.

[Xilvo]

Helaas is het mij niet duidelijk welke oplossingsmethode nu uiteindelijk gebruikt is om te mogen concluderen dat 1,2,3,4 en de veelvouden daarvan de enige mogelijkheid vormen.

Die methode is me ook niet duidelijk

Ik vind het sowieso vreemd dat een raadsel door middel van de computer moet worden opgelost. Dat gaat in tegen de geest van wat een raadsel hoort te zijn, namelijk iets dat weliswaar moeilijk kan zijn maar met voldoende denkkracht en pen en papier nog wel te behappen is.

Het hangt er van af wat je van een raadsel/vraagstuk eist. Onlangs was hier een topic over de "moeilijkste" sudoku.
Dat was ook een makkie voor de computer maar waarschijnlijk niet leuk om met pen en papier op te lossen.

Deze vraag heeft ons toch een aantal dagen leuk beziggehouden

[Professor Puntje]

Deze vraag heeft ons toch een aantal dagen leuk beziggehouden

Dat wel, maar ik vind de afsluiting niet bevredigend. Ideaal gesproken vindt hier iemand op het forum op zeker moment de oplossing. Die persoon heeft dan het plezier het voor elkaar te hebben gekregen, en de rest kan van de gebruikte oplossingswijze weer wat leren. Nu hebben we alleen de mededeling dat het raadsel al is opgelost, zonder dat we weten hoe.

[ukster]

Oke, iets ander raadseltje..
ik heb met 4 verschillende gehele weerstandswaarden de vervangingsweerstand berekend.
Fig1 = 3333¹/₃ Ohm
Fig2 = 8950 Ohm
Fig3 = 11975 Ohm
Fig4 = 24000 Ohm
Welke weerstandswaarden?

Niet te geloven, RedCat heeft de oplossing al gevonden

[RedCat]

Is het probleem om een setje van 4 verschillende gehele weerstandswaarden te vinden misschien minder ingewikkeld als de vervangingsvervangingsweerstand is gegeven?
bijvoorbeeld:
Fig1 = 3333¹/₃ Ohm
Fig2 = 8950 Ohm
Fig3 = 11975 Ohm
Fig4 = 24000 Ohm

De originele vraagstelling is niet met uitputtend zoeken van alle weerstandswaarden op te lossen, want dan zouden we tot oneindig moeten doorgaan.
De auteurs hebben dat probleem opgelost door met "Mathematica's equation-solving tools" uitputtend de stelsels vergelijkingen te doorzoeken.

De gegeven substitutiewaarden beperken de zoekruimte sterk.
Als deze waarden niet al te groot zijn, kunnen we wel via doorzoeken van alle weerstandswaarden de oplossing vinden.
In jouw voorbeeld:
a=5000, b=9000, c=11000, d=20000
a // d // (b+c) = 3333¹/₃
(a//d) + (b//c) = 8950
(b//(c+d)) + a = 11975
(a//(b+c)) + d = 24000

PS: de auteurs schrijven ook:
"Note that reciprocal and scaling of 1, 2, 3, 4 leads to 3, 4, 6, 12, which is not really a new solution."
maar (3, 4, 6, 12) is helemaal geen oplossing van het originele probleem, maar van het duale probleem.

[jkien]

Ik vraag me af waarom gevraagd werd naar heeltallige oplossingen, niet naar de verhouding tussen de weerstanden.

In gewone elektrische schakelingen heeft een weerstandswaarde 2 of 3 significante cijfers, het is dus een rationaal getal. Een viertal rationale weerstandswaarden is altijd te standaardiseren naar een viertal gehele getallen. Maar bedoel je dat je irrationale weerstandswaarden zoals √3, π en log 2 ook wilt toestaan?

[Xilvo]

Ik vraag me af waarom gevraagd werd naar heeltallige oplossingen, niet naar de verhouding tussen de weerstanden.

In gewone elektrische schakelingen heeft een weerstandswaarde 2 of 3 significante cijfers, dus een rationaal getal. Een viertal rationale weerstandswaarden is altijd te standaardiseren naar een viertal gehele getallen. Maar bedoel je dat je irrationale weerstandswaarden zoals √3, ϖ en log 2 ook wilt toestaan?

Nee, ik bedoel dit: In het vraagstuk wordt gevraagd naar oplossingen waarbij de weerstandswaardes hele getallen zijn. [1, 2, 3, 4] is zo'n oplossing, net als alle veelvouden ervan. Niet de waardes zijn van belang maar de verhouding ertussen.

Zou je bijvoorbeeld niet naar hele waardes zoeken maar naar de verhouding tussen de waardes, dan zou je bijvoorbeeld (fictieve oplossing) [45/257, 87/12, 45/4213, 8/15] kunnen vinden. Vermenigvuldig je die met (luie oplossing) 257*12*4213*15, dan heb je een geheeltallige oplossing. Dat laatste lukt niet als je (weer fictief), door de vergelijkingen op te lossen, verhoudingen [1, √3, 4,8] zou vinden.

[jkien]

Dus je zegt dat de weerstanden best irrationale getallen kunnen zijn, bijv. [√3, 2√3, 3√3, 4√3], maar dat de verhoudingen noodzakelijk rationale getallen zijn?

[Xilvo]

Nee, ik zeg niets over de weerstandswaardes zelf.
Het zou kunnen dat je het sommetje oplost en er [√3, 2√3, 3√3, 4√3] uitkrijgt (een echte oplossing voor dit probleem). Tenslotte zijn de absolute groottes van de weerstanden niet van belang, maar de verhoudingen ertussen.

De oplossing [√3, 2√3, 3√3, 4√3] kun je met √3 vermenigvuldigen of door √3 delen en je hebt een oplossing die aan de eis dat de weerstanden hele getallen moeten zijn, voldoet. De verhoudingen tussen de waardes zijn rationaal.

Alleen als je een oplossing als [1, √3, 4, 8] zou vinden heb je een oplossing die wel aan de eis voldoet dat de schakelingen vervangingsweerstanden hebben gelijk aan de samenstellende weerstanden, maar niet aan de eis dat het alle gehele getallen (kunnen) zijn.

Alleen als er ook zo'n "irrationale" oplossing zou bestaan, zou de eis dat de oplossingen gehele waardes moeten zijn een zinvolle eis zijn.