Allerlei tensor-vragen

[wnvl1]

Ik vermoed dat de vectoren uit de raakruimte T_pM natuurkundig als vier-vectoren worden geïnterpreteerd. De raakruimte wordt dan gezien als in de omgeving van de gebeurtenis p "rakend" aan de ruimtetijd. Doe je dit voor infinitesimale omgevingen (d.w.z neem je limieten) dat verdwijnt de met het kiezen voor de raakruimte gemaakte fout ten opzichte van de ruimtetijd. Althans dat zou dan de achterliggende intuïtie zijn. Is dit juist?

Maar als je een elektrisch veld in de 'gewone' fysica gaat integreren om bvb arbeid te berekenen dan heb je toch ook het fenomeen dat dat veld alleen maar geld in een infinitesimale kleine omgeving rond een bepaal punt. Dus je kan niet echt stellen dat dat nieuw is als je ART gaat bestuderen. Het is nu wel zo dat in de ART, de formule voor het inwendig product (met de metriek) van plek tot plek kan veranderen en dat je daarmee moet rekening houden als je gaat integreren.

[wnvl1]

Ik bedenk me nu dat de gebeurtenissen A en B strikt genomen niet in de raakruimte zitten maar in de manifold M. Voor een zinnige situatie moeten we dus A en B zeer dicht (liefst infinitesimaal dicht) bij p kiezen.

Ik denk dat net zoals in de gewone fysica, de uitkomst van je inwendig product afhankelijk is van wat je er instopt. Kracht en verplaatsing geeft arbeid, maar je hebt ook andere toepassingen van het inwendig product.

[Professor Puntje]

Ik wil beginnen met de simpelste vier-vectoren: namelijk die gebeurtenissen A en B in de ruimtetijd aanwijzen. Komt er dan het ruimtetijd-interval tussen die gebeurtenissen A en B uit?

[wnvl1]

Ik wil beginnen met de simpelste vier-vectoren: namelijk die gebeurtenissen A en B in de ruimtetijd aanwijzen. Komt er dan het ruimtetijd-interval tussen die gebeurtenissen A en B uit?

Dat gaat volgens mij niet lukken. Het moeten raakvectoren zijn. Met een vector van de oorsprong naar (t1, x1, y1, z1) en een andere vector van de oorsprong naar (t2, x2,y2, z2) gaat het formalisme met die inwendige producten niet op. En met een vector van (t1, x1, y1, z1) rechtstreeks naar (t2, x2, y2, z2) kan je ook niet werken.

[Professor Puntje]

Ziet er interessant uit.

[Professor Puntje]

Ik heb nu alle video's van de serie van 8 bekeken. Heel leerzaam. Ben van plan die serie later nog een paar keer te bekijken zodat het verhaal goed beklijft.

[Professor Puntje]

Ik wil beginnen met de simpelste vier-vectoren: namelijk die gebeurtenissen A en B in de ruimtetijd aanwijzen. Komt er dan het ruimtetijd-interval tussen die gebeurtenissen A en B uit?

Hier staat het antwoord:
https://newbedev.com/how-to-show-the-sp ... in-general
https://en.wikipedia.org/wiki/Line_elem ... ric_tensor

[Professor Puntje]

Bewijst de Schwarzschild-oplossing van de einsteinvergelijking dat een statisch heelal met slechts één bolsymmetrisch, ongeladen, niet roterend zwaar lichaam mogelijk is?

[Professor Puntje]

Wordt de einstein-vergelijking in de praktijk eigenlijk wel gebruikt? Het lijkt me dat je daarmee met de hand (pen en papier) nauwelijks uit de voeten kunt, en je toch vooral je toevlucht tot de metriek of computersimulaties moet nemen?

[flappelap]

Wordt de einstein-vergelijking in de praktijk eigenlijk wel gebruikt? Het lijkt me dat je daarmee met de hand (pen en papier) nauwelijks uit de voeten kunt, en je toch vooral je toevlucht tot de metriek of computersimulaties moet nemen?

Die metriek moet een oplossing zijn van de Einsteinvergelijkingen. Maar idd, er zijn niet zoveel oplossingen, en dikwijls zijn deze ook nog eens gekunsteld.

[Professor Puntje]

Dus het begrijpen van de Einsteinvergelijking is voor een amateur zoals ik wel een nastrevenswaardig eindpunt, want daarmee ook nog daadwerkelijk aan slag gaan is werk voor professionele specialisten en computers.

[flappelap]

Dus het begrijpen van de Einsteinvergelijking is voor een amateur zoals ik wel een nastrevenswaardig eindpunt, want daarmee ook nog daadwerkelijk aan slag gaan is werk voor professionele specialisten en computers.

Ja. Ik ken weinig mensen die daadwerkelijk nog exacte oplossingen zoeken. Voor b.v. botsende zwarte gaten worden numerieke oplossingen gebruikt.

[Professor Puntje]

Even controle of ik nog goed zit:

Vectoren worden geschreven als kolommatrices, en de componenten van vectoren krijgen een bovenindex terwijl de basisvectoren van een vectorruimte een onderindex krijgen. Verder variëren de componenten van vectoren contravariant met de basisvectoren.

Covectoren worden geschreven als rijmatrices, en de componenten van covectoren krijgen een onderindex terwijl de basiscovectoren van een covectorruimte een bovenindex krijgen. Verder variëren de componenten van covectoren eveneens contravariant met de basiscovectoren (want ook een covectorruimte is algebraïsch gezien een vectorruimte), maar wel variëren de componenten van een covector covariant met de basisvectoren van de vectorruimte waarvan de covectorruimte is afgeleid.

Omdat vectoren en covectoren ook tensoren zijn noemen we de bovenindices van een tensor contravariant, en de onderindices van een tensor covariant.

[wnvl1]

Lijkt mij goed.

[Professor Puntje]

Mooi - dank!