Lichtbuiging Analyse Twee Pieken (Mathpages)

[OOOVincentOOO]

Lichtbuiding kan bepaald worden volgens Schwarzschild geodesics. Er zijn twee methoden om de hoek te bepalen:

• Via: Weierstrass of Jacobi elliptic functions, hier kan men het effectieve licht pad bepalen en hieruit de totale deflectie hoek berekenen. Men start als het ware bij de zon en berekend de lichtstraal steeds verder weg.

• Men kan een benadering doen: men kan de totale hoek verandering bepalen (zonder elliptic functies) en de limiet bepalen uitgaande van een positie veraf van de zon.

Probleem.
Indien men de totale hoek bepaald (methode 2) dan kan mijn naar mijn inzicht het effectieve licht pad niet te bepalen. Afhankelijk van de benadering zal het "lichtpad" uit methode 2 artefacten laten zien met name nabij zon. Zo kunnen er hyperbolen ontstaan, meerdere deflectie punten (pieken).

Sommige mensen zijn verbaasd over de twee pieken. Onderstaand volgt een analytische studie waar de twee pieken zouden kunnen ontstaan.

Mensen met meer (praktisch) inzicht in de GR kunnen wellicht een "oorzaak" vinden voor de twee pieken aan de hand van de formule voor \(c(R)\).

Analyse (mathpages).
Een cruciale stap in mathpages [mathpages] is:

$$c(r)=\sqrt{ \frac{ 1-\frac{2m}{r} }{ {1+ \frac{2m}{r}\frac{x^2}{r^2} \left( \frac{1}{1- \frac{2m}{r}} \right) } }} \approx \left( 1-\frac{m}{r} \right) \left( 1- \frac{m}{r} \frac{x^2}{r^2} \right) \approx 1-\frac{m}{r} \left( 1+\frac{x^2}{r^2} \right)$$

Hiervan word de partieel afgeleide \(\partial/\partial y\) genomen om de hoekverdeling/verandering te bepalen. Van alle drie de termen word de afgeleide bepaald en geplot.

1) Benadering 2:
Geheel rechtse term zoals in document mathpages, approx 1:
$$\frac{d \Theta}{dx}=MR \frac{4x^2+R^2}{(x^2+R^2)^{5/2}}$$

2) Benadering 2:
Middelste term zoals in document mathpages, approx 2:

Afgeleide \(\partial/\partial y\) met Wolfram Alpha:

Code: Selecteer alles

d((1-m/sqrt(x^2+y^2))*(1-m/sqrt(x^2+y^2) *x^2/(x^2+y^2)       ))/dy

$$\frac{d \Theta}{dx}=MR \frac{ \sqrt{x^2+R^2} \ (4x^2+R^2) -4mx^2 }{(x^2+R^2)^{3}}$$

3) Orginele (no approx.):
Linkse term zoals gegeven in mathpages.

Afgeleide \(\partial/\partial y\) met Wolfram Alpha:

Code: Selecteer alles

d(sqrt((1-2m/sqrt(x**2+y**2))/( 1+2*m/sqrt(x**2+y**2) * x^2/(x^2+y^2)*( 1/(1-2*m/sqrt(x**2+y**2))) )))/dy

Helaas heb ik geen software om deze verder te vereenvoudigen. Echter dit helpt met de analyse.

$$\frac{d \Theta}{dx}=\frac{ numenator1 -numenator2 }{denominator}$$

Deze functie heb ik verder niet vereenvoudigd. Daar analyse numerator 1, 2 en denominator veel inzicht geven. Het kost teveel tijd om in latex te typen dus screenshots:

Observaties:

• De deflectie hoek voor alle verdelingen behalve denomenator is: \(1.748 \ldots"\)

• De verdelingen voor: approx 1, approx 2 en no approx laten twee pieken zien. De verdelingen zijn vergelijkbaar.

• Numenator 1 laat een verdeling zien met een piek. De deflectiehoek hier is ook: \(1.748 \ldots"\)

• Numenator 2 laat een verdeling zien met twee extreme pieken. De deflectiehoek hier is ook: \(1.748 \ldots"\)

• De denomenator laat een verdeling zien met twee pieken. De verdeling is hier nagenoeg verwaarloosbaar en bijna constant waarde 2.

Conclusie.
De niet vereenvoudigde verdeling laat twee pieken zien. Deze is echter opgebouwd uit twee verdelingen: eentje met een piek en de andere met twee extreme pieken. Het gemiddelde van beide is de verdeling met twee pieken van mathpages.

Mijn begripsvorming.
Men doet de aanname dat men kijkt naar de ingaande lichtstraal ver verwijderd van de zon. Deze aanname is vaak in de vorm van een limit: \(m/R \ll\) of vergelijkbare vormen. Dit betekend dat men informatie verliest men veranderd twee variabelen dit heeft dan invloed of de lichtbaan dichtbij de zon.

Men kan echte traject oplossingen maken met Weierstrass of Jacobi elliptic functions. In de oplossingen verzameling (door massa te varieren) kan men herkennen dat er Gaussisch en Arcsin verdelingen te herkennen zijn (in de instabiele zone verdelingen met twee pieken).

De pieken zijn niets anders dan een rekenkundig effect. Door limieten en vereenvoudigingen te nemen is het echte licht traject niet te bepalen en ziet men ook limieten terug zoals gevonden in elliptic integraal oplossingen. De methode zonder elliptic functie is NIET geschikt om het lichttraject te bepalen.

Vraag.
Ik hoopte op inhoudelijke discussies en aandragen observaties en feiten om oorzaak twee pieken te vinden. Weinig dialoog en meer data!

[OOOVincentOOO]

Voor geïnteresseerden de Python code:

Code: Selecteer alles

#Open pyplot in separate interactive window
from IPython import get_ipython
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'qt5')

#https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm
#https://www.mathpages.com/rr/s6-03/6-03.htm


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(20, 5))

#Physical constants
M=1.989e30
G=6.67408e-11
c=3e8
R=696340000


x=np.linspace(-1000,1000,1000000)
x=R*x

noapprox1=(2*M*G/(c**2)*R)/((x**2 + R**2)**(3/2)* ((2* M*G/(c**2)* x**2)/((x**2 + R**2)**(3/2)* (1 - (2* M*G/(c**2))/np.sqrt(x**2 + R**2))) + 1))
numenator1=noapprox1

noapprox2=(1 - (2* M*G/(c**2))/np.sqrt(x**2 + R**2))         
noapprox3=-(4* M*G/(c**2)**2* x**2* R)/((x**2 + R**2)**3* (1 - (2* M*G/(c**2))/np.sqrt(x**2 + R**2))**2)           
noapprox4=(6* M*G/(c**2)* x**2* R)/((x**2 + R**2)**(5/2)* (1 - (2* M*G/(c**2))/np.sqrt(x**2 + R**2)))
noapprox5=((2* M*G/(c**2)*x**2)/((x**2 + R**2)**(3/2)* (1 - (2*M*G/(c**2))/np.sqrt(x**2 + R**2))) + 1)**2                                                                                                                    
noapprox6=(2*np.sqrt((1 - (2*M*G/(c**2))/np.sqrt(x**2 + R**2))/((2* M*G/(c**2)* x**2)/((x**2 + R**2)**(3/2)* (1 - (2* M*G/(c**2))/np.sqrt(x**2 + R**2))) + 1)))

numenator2=(noapprox2*(noapprox3-noapprox4)/noapprox5)
denomenator=noapprox6

noapprox=(numenator1-numenator2)/denomenator


approx1=M*R*G/(c**2)*(np.sqrt(x**2+R**2)*(4*x**2+R**2)-4*M**G/(c**2)*x**2)/((x**2+R**2)**3)
print(np.sum(approx1)*(x[2]-x[1])  )

approx2=M*R*G/(c**2)*(4*x**2+R**2)/(x**2+R**2)**(5/2)

print(np.sum(approx2)*(x[2]-x[1])  )


print(4*M*G/(R*c**2))

deflection=np.degrees(np.sum(numenator1)*(x[2]-x[1]))*3600
label="numenator 1, $\Theta$: " +  str(np.round(deflection,3))
ax1.plot(x[495000:505000],numenator1[495000:505000],label=label,linewidth=1.5,color="red",alpha=1)

deflection=np.degrees(np.sum(numenator2)*(x[2]-x[1]))*3600
label="numenator 2, $\Theta$: " +  str(np.round(deflection,3))
ax1.plot(x[495000:505000],numenator2[495000:505000],label=label,linewidth=1.5,color="green",alpha=1)

deflection=np.degrees(np.sum(noapprox)*(x[2]-x[1]))*3600
label="no approx., $\Theta$: " +  str(np.round(deflection,3))
ax1.plot(x[495000:505000],noapprox[495000:505000],label=label,linewidth=1.5,color="black",alpha=1)


deflection=np.degrees(np.sum(approx1)*(x[2]-x[1]))*3600
label="approx. 1, $\Theta$: " +  str(np.round(deflection,3))
ax1.plot(x[495000:505000],approx1[495000:505000],label=label,linewidth=1.5,color="black",alpha=1)

deflection=np.degrees(np.sum(approx2)*(x[2]-x[1]))*3600
label="approx. 2, $\Theta$: " +  str(np.round(deflection,3))
ax1.plot(x[495000:505000],approx2[495000:505000],label=label,linewidth=1.5,color="black",alpha=1)

ax1.legend(loc="upper right")
ax1.ticklabel_format(axis="both",style="sci")

ax2.plot(x[495000:505000],noapprox6[495000:505000],label=r"denomenator $\approx 2$",linewidth=1.5,color="black",alpha=1)
ax2.set_ylim(1.999975,2.000025)
ax2.legend(loc="upper right")
ax2.ticklabel_format(axis="both",style="sci")

[Gast]

Het eea weggelaten!
Maar wat je hier zegt klopt als een bus en bevestigd door weet ik veel hoeveel fysici.

Mijn begripsvorming:

Men kijkt naar de ingaande lichtstraal ver verwijderd van de zon. Deze is in de vorm van: m/R.

"Men kan echte traject echter niet oplossen op de manier die jij beschrijft. Daar komt (veel) meer bij kijken zoals je hieronder geloof ik impliceerd .. (maar dat interesseert astrofysici/kosmologen ook niets)."

De pieken zijn niets anders dan een rekenkundig effect. Door limieten en vereenvoudigingen te nemen is het echte licht traject niet te bepalen en ziet men ook limieten terug zoals gevonden in elliptic integraal oplossingen. De methode zonder elliptic functie is NIET geschikt om het lichttraject te bepalen.

[OOOVincentOOO]

Dankjewel Tommy voor de korte bijdrage. Lijkt mijn gekweekte intuïtie niet al te verkeerd.

Intussen heb ik veel geleerd. Gelukkig heb ik vakantie en heb plezier simpele dingetjes/details te onderzoeken. Zo maak ik tenminste materie eigen. Onderstaande formule (mathpages) heb ik geanalyseerd. Flink aan gerammeld van alle kanten (numeriek). Deze functie en partieel afgeleide geplot als functie van \(x\) en \(y\).
$$c(r)=\sqrt{ \frac{ 1-\frac{2m}{r} }{ {1+ \frac{2m}{r}\frac{x^2}{r^2} \left( \frac{1}{1- \frac{2m}{r}} \right) } }}$$
Dus uit mathpages begrijp ik dat substitutie \(r^2=x^2+y^2\), hierna partieel differentieren \(\partial / \partial y\) dit geeft de hoekverdeling \(d \Theta / dx\) waarbij de pieken optreden.
$$\partial c/ \partial y= d \Theta /dx$$
Integreren levert de totale licht deflectie.:
$$\Delta \Theta = \int \Theta dx$$

Grafiek
De coördinaten voor \(x\) en \(y\) zijn uitgedrukt in aantal radiussen zon \(R\). De middelste plot is de hoekverdeling met de twee pieken (alleen de helft geplot).

Observaties:

• De dubbele piek ontstaat op \(x\) coördinaat \(0.5\) halve radius \(R\) van de zon

• Op de lijn \(y=1\) kan de deflectiehoek bepaald worden. \(y=1\) komt overeen met \(R\) de radius van de zon.

• Voor \(y=1\) convergeert de afbuiging naar \(0.87"\) de verwachte afbuig hoek. Let op de totale afbuiging is het dubbele van deze hoek ik bekijk hier een halve zijde.

Verkregen inzicht:

• Door alles te plotten als functie van \(x\)en \(y\) krijg ik men veel feeling. Dergelijk plotje is voor mij niet zomaar ff "klicken und fertig". Ik maak ontelbare fouten(jes) zo maak ik tenminste de functie eigen.

• Mijns inziens is het totale onzin überhaubt coördinaten kleiner dan: \(x<1\) en \(y<1\) te bekijken voor een lichttraject. Men komt dan in de omgrensde vierkant van de zon met mogelijk oplossingen voor \(R\) in de zon.

• Indien men de details wil weten moet men ploeteren (dat vind ik leuk). Aan deze simpele functie kan mijn simpele ziel nog uren lang aan puzzelen. En dan langzaam het onderzoek bereik vergroten.

• Ik kan mij voorstellen dat anderen de grote lijnen willen weten, dat is voor mij minder leuk. Maar dan moet men details accepteren. Muntje in koffie apparaat tappen en drinken, niet teveel mekkeren als het niet smaakt dan: zelf koffie zetten!

• Zoals vroeger met de Lego kan ik uren zoeken naar dat ene blokje waarvan je weet dat er 2 zijn! En soms tot het drama komen dat het weg is in de stofzuiger! Met de Lego tal van ideetjes proberen om een detail uit te werken. Het kind in mij komt naar boven!

• Relatie met openings post nog zoekende, deze functie is ingewikkeld.

• Ben benieuwd en hoop of sommige mensen meer feitelijke diepte kunnen geven aan de hand bovenstaande analyse.

Python code:

Code: Selecteer alles

#Open pyplot in separate interactive window
from IPython import get_ipython
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'qt5')

#https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm
#https://www.mathpages.com/rr/s6-03/6-03.htm

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import rcParams

rcParams['axes.titlepad'] = 20 

widths = [5,5,5]
heights = [5,7]

fig= plt.figure(figsize=(15,12))

gs=fig.add_gridspec(2,3,width_ratios=widths, height_ratios=heights)

ax1=fig.add_subplot(gs[0,0])
ax2=fig.add_subplot(gs[0,1])
ax3=fig.add_subplot(gs[0,2])
ax4=fig.add_subplot(gs[1,0])
ax5=fig.add_subplot(gs[1,1])
ax6=fig.add_subplot(gs[1,2])

#Physical constants
M=1.989e30
G=6.67408e-11
c=3e8
R=696340000

#schwarzschild Radius
Rs=4*M*G/c**2

#Function c(r)
def cxy(x,y):
    
    nomerator=1-2*M*G/((c**2)*np.sqrt(x**2+y**2))
    denomerator= 1+    (2*M*G/(c**2))*1/np.sqrt(x**2+y**2)   *  x**2/(x**2+y**2)  * 1/ ( 1-(2*M*G/(c**2))/np.sqrt(x**2+y**2))
    cr=(nomerator/denomerator)
    
    return np.sqrt(cr)

size=2500

#Create 2D mesh and calculate c(r)
x=np.linspace(0.01,10,size)
x=R*x

y=np.linspace(1,6,size)
y=R*y

X,Y =np.meshgrid(x,y)
z=cxy(X,Y)

#Function c(r) as function of x and y
cf1=ax1.contourf(x/R,y/R,z, cmap='seismic',alpha=1)
fig.colorbar(cf1,ax=ax1)
ax1.set_title(r'$c(x^2+y^2)$',fontsize=20)
ax1.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
ax1.set_ylabel(r'$y$',fontsize=15)

#Gradient for d/dy this is dTheta/dx
dcdy = np.gradient(z, axis=0)/(y[5]-y[4])
cf2=ax2.contourf(x/R,y/R,dcdy, cmap='seismic',alpha=1)
fig.colorbar(cf2,ax=ax2)
ax2.set_title(r'$\partial c / \partial y = d \Theta /dx$',fontsize=20)
ax2.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
ax2.set_ylabel(r'$y$',fontsize=15)

#Integrate Theta over z
intz=np.cumsum(dcdy,axis=1)*(x[5]-x[4])
cf3=ax3.contourf(x/R,y/R,np.degrees(intz)*3600, cmap='seismic',alpha=1)
fig.colorbar(cf3,ax=ax3)
ax3.set_title(r'$\int \Theta \ dx$',fontsize=20)
ax3.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
ax3.set_ylabel(r'$y$',fontsize=15)


#Function c(r) as function of x and y
for i in range(np.size(y)):
    
    if 5*(i/size)%1==0:
     
        cr=z[i]
        ax4.plot(x/R,cr,color="black", linewidth=0.5, label="x=" + str(x[i]))
        
        ax4.annotate("y=" + str(round(y[i]/R,2)), xy=( x[np.argmin(cr)]/R , np.min(cr)), xycoords='data', xytext=(-20 , -10), textcoords='offset points',rotation = 0,arrowprops=dict(arrowstyle='-',lw=0.2))
        
        ax4.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
        ax4.set_ylabel(r'$c(x^2+y^2)$',fontsize=15)
        
        ax4.ticklabel_format(axis='y', style='sci', scilimits=(0,0))

#Gradient for d/dy this is dTheta/dx        
for i in range(np.size(y)):
    
    if 5*(i/size)%1==0:
     
        dphidy=dcdy[i]
        ax5.plot(x/R,dphidy,color="black", linewidth=0.5, label="x=" + str(x[i]))

        ax5.annotate("y=" + str(round(y[i]/R,2)), xy=( x[0]/R , dphidy[0]), xycoords='data', xytext=(20 ,-10), textcoords='offset points',rotation = 0,arrowprops=dict(arrowstyle='-',lw=0.2))
        
        ax5.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
        ax5.set_ylabel(r'$d \Theta /dx$',fontsize=15)

#Integrate Theta over z       
for i in range(np.size(y)):
    
    if 5*(i/size)%1==0:
     
        phidx=np.degrees(intz[i])*3600
        ax6.plot(x/R,phidx,color="black", linewidth=0.5)
        
        ax6.annotate("y=" + str(round(y[i]/R,2)), xy=(  x[np.argmax(phidx)]/R , np.max(phidx)), xycoords='data', xytext=(0 ,-20), textcoords='offset points',rotation = 0,arrowprops=dict(arrowstyle='-',lw=0.2))
        
        ax6.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
        ax6.set_ylabel(r'$\int \Theta \ dx$  [arcsec.]',fontsize=15)     

theta=2*G*M/(R*c**2)
theta=np.degrees(theta)*3600
ax6.plot([x[0]/R,x[-1]/R],[theta,theta],color="red", linewidth=0.5, label=r"$\dfrac{2GM}{Rc^2}$")
ax6.legend(loc="lower right")

[OOOVincentOOO]

Volgens de methode van mathpages kan ik nu buighoek berekenen met een en met twee pieken middels aanpassen tensor \(g_{xx}\).

Mijn onderzoek gebiedje had ik iets uitgebreid. Mij viel op dat asymmetrie alleen kon ontstaan door de factor: \(x^2/r^2\) in \(c(r)\).

Deze term \(x^2/r^2\) in \(c(r)\) komt voor in the metric tensor:
$$g_{xx}=-1-\frac{x^2}{r^2} \left( \frac{2m}{r-2m} \right)$$
Nu heb ik het model laten lopen met en zonder: \(x^2/r^2\) om deze term heb ik een rechthoekje gezet.
$$c(r)=\sqrt{ \frac{ 1-\frac{2m}{r} }{ {1+ \frac{2m}{r} \boxed{\frac{x^2}{r^2}} \left( \frac{1}{1- \frac{2m}{r}} \right) } }}$$

Analyse:
De \(x\)-schaal heb ik nu van negatief naar positief laten lopen. Zo ziet men de verdeling beter. Net als voorgaande analyse is de \(x\) en \(y\) coördinaat uitgedrukt in stralen \(R\) zon.

Zonder \(x^2/r^2\), geen twee pieken:

Met \(x^2/r^2\), met twee pieken:

Conclusie.
Volgens mij heb ik geduid waar/wanneer de twee pieken ontstaan.

Dit verklaard waarom in de openings post verdelingen met twee pieken en enkele piek te herkennen zijn in de afgeleide. Beide functies zijn onderdeel van \(c(r)\) uit mathpages.

De natuurkundige discussie betreffende de tensor laat ik aan experts over. Op mathpages genoeg informatie gevonden. Maar ik heb geen praktische ervaring tensoren.

Voor mijzelf is deze twee pieken geschiedenis voltooit. Leuke dingen geleerd en analyses uitgevoerd. Alleen jammer dat ik niet in staat was/ben het meer in samenwerking verband te doen.

Volgens mij stelde ik mij altijd open en flexibel op voor input en droeg ik informatie en observaties bij aan de tendens van de betreffende topic. Maar ja, ben blij een aanwijzing gevonden te hebben.

Code: Selecteer alles

#Open pyplot in separate interactive window
from IPython import get_ipython
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'qt5')

#https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm
#https://www.mathpages.com/rr/s6-03/6-03.htm

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import rcParams

rcParams['axes.titlepad'] = 20 

widths = [5,5,5]
heights = [5,7]

fig= plt.figure(figsize=(15,12))

gs=fig.add_gridspec(2,3,width_ratios=widths, height_ratios=heights)

ax1=fig.add_subplot(gs[0,0])
ax2=fig.add_subplot(gs[0,1])
ax3=fig.add_subplot(gs[0,2])
ax4=fig.add_subplot(gs[1,0])
ax5=fig.add_subplot(gs[1,1])
ax6=fig.add_subplot(gs[1,2])

#Physical constants
M=1.989e30
G=6.67408e-11
c=3e8
R=696340000

#schwarzschild Radius
Rs=4*M*G/c**2

#Function c(r)
def cxy(x,y):
    
    nomerator=1-2*M*G/((c**2)*np.sqrt(x**2+y**2))
    
    #with double peaks 
    denomerator= 1+    (2*M*G/(c**2))*1/np.sqrt(x**2+y**2)   *  x**2/(x**2+y**2)  * 1/ ( 1-(2*M*G/(c**2))/np.sqrt(x**2+y**2))
    
    #without double peaks.
    #denomerator= 1+    (2*M*G/(c**2))*1/np.sqrt(x**2+y**2)   *  1/ ( 1-(2*M*G/(c**2))/np.sqrt(x**2+y**2))
    
    cr=(nomerator/denomerator)
    
    return np.sqrt(cr)

size=2500

#Create 2D mesh and calculate c(r)
x=np.linspace(-10,10,size)
x=R*x

y=np.linspace(1,6,size)
y=R*y

X,Y =np.meshgrid(x,y)
z=cxy(X,Y)

#Function c(r) as function of x and y
cf1=ax1.contourf(x/R,y/R,z, cmap='seismic',alpha=1)
fig.colorbar(cf1,ax=ax1)
ax1.set_title(r'$c(x^2+y^2)$',fontsize=20)
ax1.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
ax1.set_ylabel(r'$y$',fontsize=15)

#Gradient for d/dy this is dTheta/dx
dcdy = np.gradient(z, axis=0)/(y[5]-y[4])
cf2=ax2.contourf(x/R,y/R,dcdy, cmap='seismic',alpha=1)
fig.colorbar(cf2,ax=ax2)
ax2.set_title(r'$\partial c / \partial y = d \Theta /dx$',fontsize=20)
ax2.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
ax2.set_ylabel(r'$y$',fontsize=15)

#Integrate Theta over z
intz=np.cumsum(dcdy,axis=1)*(x[5]-x[4])
cf3=ax3.contourf(x/R,y/R,np.degrees(intz)*3600, cmap='seismic',alpha=1)
fig.colorbar(cf3,ax=ax3)
ax3.set_title(r'$\int \Theta \ dx$',fontsize=20)
ax3.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
ax3.set_ylabel(r'$y$',fontsize=15)


#Function c(r) as function of x and y
for i in range(np.size(y)):
    
    if 5*(i/size)%1==0:
     
        cr=z[i]
        ax4.plot(x/R,cr,color="black", linewidth=0.5, label="x=" + str(x[i]))
        
        ax4.annotate("y=" + str(round(y[i]/R,2)), xy=( x[np.argmin(cr)]/R , np.min(cr)), xycoords='data', xytext=(-20 , -10), textcoords='offset points',rotation = 0,arrowprops=dict(arrowstyle='-',lw=0.2))
        
        ax4.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
        ax4.set_ylabel(r'$c(x^2+y^2)$',fontsize=15)
        
        ax4.ticklabel_format(axis='y', style='sci', scilimits=(0,0))

#Gradient for d/dy this is dTheta/dx        
for i in range(np.size(y)):
    
    if 5*(i/size)%1==0:
     
        dphidy=dcdy[i]
        ax5.plot(x/R,dphidy,color="black", linewidth=0.5, label="x=" + str(x[i]))

        ax5.annotate("y=" + str(round(y[i]/R,2)), xy=( x[np.argmax(dphidy)]/R , np.max(dphidy)), xycoords='data', xytext=(30 ,20), textcoords='offset points',rotation = 0,arrowprops=dict(arrowstyle='-',lw=0.2))
        
        ax5.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
        ax5.set_ylabel(r'$d \Theta /dx$',fontsize=15)

#Integrate Theta over z       
for i in range(np.size(y)):
    
    if 5*(i/size)%1==0:
     
        phidx=np.degrees(intz[i])*3600
        ax6.plot(x/R,phidx,color="black", linewidth=0.5)
        
        ax6.annotate("y=" + str(round(y[i]/R,2)), xy=(  x[np.argmax(phidx)]/R , np.max(phidx)), xycoords='data', xytext=(0 ,-20), textcoords='offset points',rotation = 0,arrowprops=dict(arrowstyle='-',lw=0.2))
        
        ax6.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
        ax6.set_ylabel(r'$\int \Theta \ dx$  [arcsec.]',fontsize=15)     

theta=4*G*M/(R*c**2)
theta=np.degrees(theta)*3600
ax6.plot([x[0]/R,x[-1]/R],[theta,theta],color="red", linewidth=0.5, label=r"$\dfrac{4GM}{Rc^2}$")
ax6.legend(loc="lower right")

[OOOVincentOOO]

Dan is er altijd twijfel, maar probeer objectief te blijven en alleen observaties (show me the data!):

Uitgangpunt de niet vereenvoudigdr vergelijking \(c(r)\) uit math pages (met en zonder: \(\frac{x^2}{r^2}\)):
$$c(r)=\sqrt{ \frac{ 1-\frac{2m}{r} }{ {1+ \frac{2m}{r} \boxed{\frac{x^2}{r^2}} \left( \frac{1}{1- \frac{2m}{r}} \right) } }}$$

• Klopt het?, Geen typefout?, Convergeert het?, De labels in grafiek staan niet mooi, De verhouding grafieken was lelijk ....

Daar deze methode numeriek is: het \(x\)-bereik heb ik vergroot: \(-30<x<30\) en bin size \(\Delta x\) verkleind voor controle of lichtbuiging voldoet aan: \(4GM/Rc^2=1.75 \ldots\).

Enkele piek, zonder \(x^2/r^2\):

Dubbele piek, met \(x^2/r^2\):

Observatie:

• Numeriek convergeren beide naar: \(4GM/Rc^2\).

Open punten:

• Controle of \(c(r)\) zonder \(x^2/r^2\) analytisch convergeert naar \(4GM/Rc^2\).

• De vereenvoudigingen van \(c(r)\) hebben \(x^2/r^2\) prominent aanwezig (zie openingspost). Kunnen deze ook zonder \(x^2/r^2\)?

• Er zijn altijd vragen en twijfels! Waarom heb ik deze hobby? Ben een beetje OCD!

[OOOVincentOOO]

Zoals bovenstaand gedemonstreerd kunnen twee pieken gegenereerd worden door aanpassing metric \(g_{xx}\): elimineren: \(x^2/r^2\) geeft een piek buigingshoek blijft gehandhaafd. Volgens mathpages: quasi-Minkowskian metriek (geeft twee pieken):
$$g_{xx}=-1-\frac{x^2}{r^2} \left( \frac{2m}{r-2m} \right) $$
Naar mijn inzicht kan \( x^2/r^2\) herschreven worden naar \(\cos^2(\Theta)\), misschien beter herkenbaar in deze vorm:
$$ g_{xx}= -1- \cos^2(\Theta) \left( \frac{2m}{r-2m} \right) $$
of (enkele piek):
$$g_{xx}=-1- \left( \frac{2m}{r-2m} \right) $$
Misschien dat anderen beter kunnen uitzoeken wat hier aan de hand is. Dit is niet mijn specialiteit en interesse gebied.

EDIT:
Volgens mij werkt het meest efficient: weinig discussie, aandragen data/feiten/referenties of simulaties.

Indien WF niet geïnteresseerd is stuur ik de vraag op een ander forum.

Volgens mij is het ""probleem" redelijk goed gedefinieerd.

[OOOVincentOOO]

Door aanpassing metriek kunnen de twee pieken tevoorschijn komen. De buigingshoek blijft gehandhaafd.

$$g_{xx}=-1-\frac{x^2}{r^2} \left( \frac{2m}{r-2m} \right) \Rightarrow g_{xx}=-1- \left( \frac{2m}{r-2m} \right)$$

Een van de open punten: treedt dit effect op bij de vereenvoudigingen van \(c(r)\), door vervanging: \(x^2/r^2=1\)?

Heb layout grafiekjes wat aangepast. En wat happy accidents eruit gehaald (de grafiek jongen moet iets, toch ?).

Met (twee pieken):
$$c(r)=\sqrt{ \frac{ 1-\frac{2m}{r} }{ {1+ \frac{2m}{r} \boxed{\frac{x^2}{r^2}} \left( \frac{1}{1- \frac{2m}{r}} \right) } }} \approx \left( 1-\frac{m}{r} \right) \left( 1- \boxed{\frac{x^2}{r^2} } \frac{m}{r} \right) \approx 1-\frac{m}{r} \left( 1+ \boxed{\frac{x^2}{r^2} } \right) \tag{a}$$

Zonder (een piek):
$$c(r)=\sqrt{ \frac{ 1-\frac{2m}{r} }{ {1+ \frac{2m}{r} \left( \frac{1}{1- \frac{2m}{r}} \right) } }} \approx \left( 1- \frac{m}{r} \right)^{2} \approx 2 \left( 1-\frac{m}{r} \right) \tag{b}$$

1) \(c(r)\) niet vereenvoudigd, linker term in (a) en (b):

Met, \(x^2/r^2\) (twee pieken):

Zonder, \(x^2/r^2\) (een piek):

2) \(c(r)\) middelste term in (a) en (b):

Met, \(x^2/r^2\) (twee pieken), geen grafiek geupload idem als 1).

Zonder, \(x^2/r^2\) (een piek):

3) \(c(r)\) meest rechtse term in (a) en (b):

Met, \(x^2/r^2\) (twee pieken), geen grafiek geupload idem als 1).

Zonder, \(x^2/r^2\) (een piek):

Observatie.

• Ook bij de vereenvoudigingen \(c(r)\) en aanpassen \(g_xx\) naar \(x^2/r^2=1\) blijft resultaat gehandhaafd, hoekbuiging \(1.75 \ldots... "\)

• Door toepassen vereenvoudiging krijgt men een piek in plaats van twee, ook bij vereenvoudigingen \(c(r)\).

Mijn inzicht.
Volgens mij is aangeduid waar de twee pieken ontstaan. Mensen met meer inzicht in de metriek (of hoe men dat ook noemt) zouden dan een natuurkundige verklaring kunnen vinden. Daar heb ik geen kennis van zonder mij belachelijk te maken. Dat doe ik al genoeg .

Indien men niet overtuigd is kan ik ook wensen draaien als een DJ! Vraag maar en kan (mits) realistisch, verzoek analyses doen. De huidige analyse is een aanpak wat ik prettig vind. Zo kan men zien hoe de diff. en int. verloopt over ∫θdx (horizontaal, rechtste contour plot) en dc/dy=dθ/dx (verticaal, contour plot midden).

Nu pauze en het aan de experts overlaten. Binnen mijn capaciteiten heb alle observaties en eigenschappen boven water gehaald.

Code: Selecteer alles

#Open pyplot in separate interactive window
from IPython import get_ipython
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'qt5')

#https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm
#https://www.mathpages.com/rr/s6-03/6-03.htm

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import rcParams

rcParams['axes.titlepad'] = 20 

widths = [5,5,5]
heights = [5,5]

fig= plt.figure(figsize=(30,10))

gs=fig.add_gridspec(2,3,width_ratios=widths, height_ratios=heights)

ax1=fig.add_subplot(gs[0,0])
ax2=fig.add_subplot(gs[0,1])
ax3=fig.add_subplot(gs[0,2])
ax4=fig.add_subplot(gs[1,0])
ax5=fig.add_subplot(gs[1,1])
ax6=fig.add_subplot(gs[1,2])

#Physical constants
M=1.989e30
G=6.67408e-11
c=3e8
R=696340000

#schwarzschild Radius
Rs=4*M*G/c**2

#Function c(r)
def cxy(x,y):
    
    nomerator=1-2*M*G/((c**2)*np.sqrt(x**2+y**2))
    
    #with double peaks 
    denomerator= 1+    (2*M*G/(c**2))*1/np.sqrt(x**2+y**2)   *  x**2/(x**2+y**2)  * 1/ ( 1-(2*M*G/(c**2))/np.sqrt(x**2+y**2))
    
    #without double peaks.
    #denomerator= 1+    (2*M*G/(c**2))*1/np.sqrt(x**2+y**2)   *  1/ ( 1-(2*M*G/(c**2))/np.sqrt(x**2+y**2))
    cr=np.sqrt(nomerator/denomerator)
    
    #approx 1
    #cr=(1-M*G/(c**2)*1/np.sqrt(x**2+y**2))     * (1-M*G/(c**2)*1/np.sqrt(x**2+y**2)* x**2/(x**2+y**2) )    
    #cr=(1-M*G/(c**2)*1/np.sqrt(x**2+y**2))**2  
    
    #Approx2
    #cr=2*(1-M*G/(c**2)*1/np.sqrt(x**2+y**2))  
    
    
    return cr

size=5000

#Create 2D mesh and calculate c(r)
x=np.linspace(-30,30,size)
x=R*x

y=np.linspace(1,6,size)
y=R*y

X,Y =np.meshgrid(x,y)
z=cxy(X,Y)

#Function c(r) as function of x and y
cf1=ax1.contourf(x/R,y/R,z,levels=15, cmap='seismic',alpha=1)
fig.colorbar(cf1,ax=ax1, location="bottom")
ax1.set_title(r'$c(\sqrt{x^2+y^2})$',fontsize=20)
ax1.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
ax1.set_ylabel(r'$y$',fontsize=15)

#Gradient for d/dy this is dTheta/dx
dcdy = np.gradient(z, axis=0)/(y[5]-y[4])
cf2=ax2.contourf(x/R,y/R,dcdy,levels=15, cmap='seismic',alpha=1)
fig.colorbar(cf2,ax=ax2, location="bottom")
ax2.set_title(r'$\partial c / \partial y = d \Theta /dx$',fontsize=20)
ax2.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
ax2.set_ylabel(r'$y$',fontsize=15)

#Integrate Theta over z
intz=np.cumsum(dcdy,axis=1)*(x[5]-x[4])
cf3=ax3.contourf(x/R,y/R,np.degrees(intz)*3600,levels=15, cmap='seismic',alpha=1)
fig.colorbar(cf3,ax=ax3, location="bottom")
ax3.set_title(r'$\int \Theta \ dx$',fontsize=20)
ax3.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
ax3.set_ylabel(r'$y$',fontsize=15)


#Function c(r) as function of x and y
for i in range(np.size(y)):
    
    if 5*(i/size)%1==0:
     
        cr=z[i]
        ax4.plot(x/R,cr,color="black", linewidth=0.5, label="x=" + str(x[i]))
        
        ax4.annotate("y=" + str(round(y[i]/R,2)), xy=( x[np.argmin(cr)]/R , np.min(cr)),ha='center', xycoords='data', xytext=(-100 , -5), textcoords='offset points',rotation = 0,arrowprops=dict(arrowstyle='-',lw=0.2))
        
        ax4.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
        ax4.set_ylabel(r'$c(\sqrt{x^2+y^2})$',fontsize=15)
        
        ax4.ticklabel_format(axis='y', style='sci', scilimits=(0,0))

#Gradient for d/dy this is dTheta/dx        
p=0
for i in range(np.size(y)):

    if 5*(i/size)%1==0:
     
        
        dphidy=dcdy[i]
        ax5.plot(x/R,dphidy,color="black", linewidth=0.5, label="x=" + str(x[i]))

        ax5.annotate("y=" + str(round(y[i]/R,2)), xy=( x[np.argmax(dphidy)]/R , np.max(dphidy)),ha='center', xycoords='data', xytext=(((-1)**p)*100 ,-5), textcoords='offset points',rotation = 0,arrowprops=dict(arrowstyle='-',lw=0.2))
        
        ax5.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
        ax5.set_ylabel(r'$d \Theta /dx$',fontsize=15)
        p+=1
        print(p)

#Integrate Theta over z       
for i in range(np.size(y)):
    
    if 5*(i/size)%1==0:
     
        phidx=np.degrees(intz[i])*3600
        ax6.plot(x/R,phidx,color="black", linewidth=0.5)
        
        ax6.annotate("y=" + str(round(y[i]/R,2)), xy=(  x[np.argmax(phidx)]/R , np.max(phidx)),ha='center', xycoords='data', xytext=(-50 ,-10), textcoords='offset points',rotation = 0,arrowprops=dict(arrowstyle='-',lw=0.2))
        
        ax6.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
        ax6.set_ylabel(r'$\int \Theta \ dx$  [arcsec.]',fontsize=15)     

theta=4*G*M/(R*c**2)
theta=np.degrees(theta)*3600
ax6.plot([x[0]/R,x[-1]/R],[theta,theta],color="red", linewidth=0.5, label=r"$\dfrac{4GM}{Rc^2}$")
ax6.legend(loc="lower right")

[OOOVincentOOO]

Ben ijskast aan het ontdooien en aan het schoonmaken. Dus tijd gehad te reflecteren.

Uit openings blijkt dat ook bij twee extreme pieken de juiste licht afbuiging gevonden kan worden. Hier een omschrijving van de twee extreme pieken.

Onderstaand benadering 3. Hier alleen: \(x^2/r^2\) bekeken
$$c(r) \approx \frac{2m}{r} \frac{x^2}{r^2} $$
Extreme twee pieken:

Hoe de metriek \(g_{xx}\) er dan uit ziet heb ik nog niet gecontroleerd. Dit is nog onbekend gebied waar ik nog aan het studeren ben en niets vanaf weet.

Observaties:

• Waargenomen afbuighoek licht ook hier is: \(1.75 \ldots "\)

Mijn wens:

• Hoopte dat iemand iets met de waarnemingen/observaties kan doen. Volgens mij heeft de analyse uit dit draadje de twee pieken uit mathpages voldoende omschreven en het probleem gedefinieerd. Mijn kennis omtrent verschillende metrieken of hoe ze ook heten is onbekend voor mij.

Ik weet dat mijn analyses door veel mensen als ongecompliceerd word gezien (daar heb ik op mijn werk ook last van). Maar het zou tof zijn als iemand eens een keer (degelijk) inhoudelijk wil reageren op basis van observaties.

Meestal krijg ik nooit reacties behalve soms kritiek dat ik dingen zeg of doe wat niets met het topic te maken hebben.

[Gast]

Maar volgens mij klopt dit niet helemaal.

Ik heb me echter niet zo bezig gehouden met de details en m.i. wat verwarrende wiskunde van die mathpages (en ben ik ook niet van plan).

Maar moet er niet geintegreerd worden .. voor dezelfde plot/grafiek iig?

Hopelijk kan iemand anders, die zich hier wel mee bezig gehouden heeft, je beter .. helpen.

[OOOVincentOOO]

Maar moet er niet geintegreerd worden .. voor dezelfde plot/grafiek iig

Zou je kunnen uitleggen wat je bedoeld? Wat is onduidelijk? De rechter grafiek is de integraal van de afbuighoekverandering.

[Gast]

Ook als ik het zo lees gebruik je enkel de gxx component en niet de gtt (zoals het daar genoemd wordt)?.

In simpele taal staat gtt voor gravitationele tijd dilatatie en gxx voor de ruimtelijke kromming.

In dat geval zou je misschien wel twee pieken krijgen (mijn god, twee jaar later inmiddels), maar nooit een totale afbuiging van 1,75 boogsec.

Maar goed, zoals ik zei ik hoop voor je dat iemand die zich verdiept heeft/meegedaan heeft in "jullie" gereken even zou willen reageren.

Voor mijzelf zie ik geen enkele reden om daaraan te beginnen.

[OOOVincentOOO]

Dankjewel voor de reply. Sorry dat ik bot ben, maar je maakt ernstige beschuldigingen (zo komt het voor mij over ). Als ik ergens onduidelijk ben simpel een vraag stellen kan helpen.

Nee, ik gebruik precies de informatie vanuit mathpages. Kun je dan aangeven waar ik fout zou kunnen zijn? Dit is onduidelijk je zegt: "zoals het daar genoemd wordt"?
Heb ik ergens een typefout boogsec? Ik kan nergens vinden waar en ben 15 minuten alles aan het controleren? Het symbool \("\) is toch arc seconde, of ben ik verkeerd? In grafiek type ik \(arcsec.\) ook aan het controleren op wiki 5 minuten.
Waarom de de deflektie van licht om de (onze) zon niet \(1.75.." \) (arc seconde)? Ben zeker 10 minuten aan het dubbel controleren op internet!
In grafiek ook theoretische deflectie: \(4MG/Rc^2 \) dat is toch ook \(1.75"\)?

Het enigste wat ik varieer is \(g_{xx}\) door de component: \(x^2/ r^2\) wel/niet te gebruiken onstaan wel/geen twee pieken. De hoekverandering beide nog steeds \(1.75\) arcseconden..
==========================================
Korte samenvatting methode (uit mathpages):

In both derivations we have dτ = 0, and we take dy = dz = 0 (to the first approximation) along the path, so the speed of light is:
$$c(r)=\frac{dx}{dt}=\sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{xx}}}$$
Waarbij via equivalence principle:
$$\frac{d \tau}{dt}=\sqrt{g_{tt}}$$
$$g_{tt}=1-\frac{2m}{r}$$
Via varying spatial coefficients (merk op: \(x^2/r^2=\cos^2(\Theta)\) volgens mijn inzicht):
$$g_{xx}=-1-\boxed{\frac{x^2}{r^2}} \left( \frac{2m}{r-2m} \right)$$
Hieruit volgt (de linker grafiek):
$$c(r)=\sqrt{ \frac{ 1-\frac{2m}{r} }{ {1+ \frac{2m}{r} \boxed{\frac{x^2}{r^2}} \left( \frac{1}{1- \frac{2m}{r}} \right) } }} \approx \left( 1-\frac{m}{r} \right) \left( 1- \boxed{\frac{x^2}{r^2} } \frac{m}{r} \right) \approx 1-\frac{m}{r} \left( 1+ \boxed{\frac{x^2}{r^2} } \right) \tag{a}$$

Dan is de hoekverandering (dat is de verdeling waarbij de twee pieken ontstaan de middelste grafiek) via \(r=\sqrt{x^2+y^2}\):
$$\frac{\partial c}{\partial y}=\frac{d \Theta}{dx}$$
De totale hoek verandering is dan (de rechtse grafiek):
$$ \Delta \Theta=\int \Theta dx$$
==========================================
Dus door de term: \(x^2/r^2\) wel/niet mee te nemen in \(g_{xx}\) ontstaan wel/geen twee pieken. Dat zijn die blokjes wat ik in formule \((a)\) heb omgeven door een vierkantje.

Met \(x^2/r^2\) krijg je twee pieken:

Zonder \(x^2/r^2\) krijg je een piek:

Dus ik doe niets veranderen aan de methode, ik analyseer puur de mathpages. Ik doe een wiskundige analyse waar de twee pieken ontstaan. Zie voorgaande berichten. In alle gevallen wanneer \(x^2/r^2\) niet word meegenomen krijg je een piek. De hoek verandering is precies gelijk met en zonder: \(x^2/r^2\), \(1.75.." \) (arc seconde).

Je brengt mij nu wel aan het twijfelen over de hoek deflectie die is toch \(1.75.." \) (arc seconde) bij onze zon???? [physics.stackexchange]. Nog maar een keer checken dit is maar een bron.

[Gast]

Oh. Dat is een stuk duidelijker (voor mij).
En ja de deflectie is juist (1,75").

Ik betwijfel alleen of het gelijk aan 1 stellen van de term x^2/r^2 DE oorzaak voor de twee maxima in dat grafiekje.

Maar zoals gezegd ik hoop dat iemand die hier tot in de puntjes mee bezig is geweest je het beter vertellen.

En je bent niet bot hoor

[OOOVincentOOO]

Dankjewel voor de reply. Volgens mij ben ik redelijk overtuigd dat de pieken ontstaan met en zonder: \(x^2/r^2\) in \(g_{xx}\). Dan moet iemand mij een tegenvoorbeeld of fout aantonen in het model.

Ik ben aan het verder studeren in mathpages 6-06 [Mathpages]. Hier word \(g_{xx}\) nader verklaard.

Volgens mathpages quasi-Minkowskian:
Schwarzschild metric can be expressed as a sum of the Minkowski metric plus some small quantities as shown below:
$$(d \tau)^2=(d t)^2-(d x)^2-(d y)^2-(d z)^2 \\
-\left(\frac{2m}{r} \right) (d t)^2 -\frac{1}{r^2} \left( \frac{2m/r}{1-2m/r} \right) \left[ x^2(d x)^2+y^2(d y)^2+z^2(d z)^2 \right] \\

-\frac{2}{r^2}\left( \frac{2m/r}{1-2m/r} \right) \left( xy dxdy +xzdxdz+yzdyd z \right)
\tag{1} $$
Via de matrix:
$$g=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \boxed{ -1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} - \frac{2m}{r} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \boxed{\kappa x^2} & \kappa xy & \kappa xz \\ 0 & \kappa yx & \kappa y^2 & \kappa yz \\ 0 & \kappa zx & \kappa zy & \kappa z^2 \end{bmatrix} $$
$$\kappa=\frac{1}{r^2 \left(1- \frac{2m}{r} \right)}$$
Mijn interpretatie \(g_{xx}\) zijn de componenten met het vierkantjes bovenstaande matrix. Maar dit zou een natuurkundige maar moeten bevestigen of ontkennen:
$$g_{xx}=-1-\boxed{\frac{x^2}{r^2}} \left( \frac{2m}{r-2m} \right)$$
De term \(x^2\) is afkomstig van (zie mathpages: \(rdr\) in kwadraat):
$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\dr=(xdx+ydy+zdz)/r $$
Mijn interpretatie en korte verklaring:
De volledige Schwarzschild metriek is:
$$c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\boxed{-r^{2}d\theta ^{2}}- r^{2} \boxed{\sin ^{2}\theta} \,d\varphi ^{2}$$
Via "moderne" bepaling deflectie hoek worden de termen met de boxen/vierkantjes niet meegenomen zie Wiki passage onderstaand.

Bij math pages word deze term juist wel meegenomen:
$$r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\\
y=r\sin(\Theta)\sin(\phi)$$
Geeft (zie mathpages):
$$-\frac{1}{r^2} \left( \frac{2m}{r-2m}( xdx+ydy+zdz )^2 \right)$$
Geeft uitgewerkt \((1)\) met de \(x^2\).

Bij mathpages (twee pieken) word WEL gebruik gemaakt van van deze termen, terwijl mijn bekende andere methoden maken GEEN gebruik van deze term.

We may simplify the problem by using symmetry to eliminate one variable from consideration. Since the Schwarzschild metric is symmetrical about \(\theta =\frac {\pi }{2}\), any geodesic that begins moving in that plane will remain in that plane indefinitely (the plane is totally geodesic). Therefore, we orient the coordinate system so that the orbit of the particle lies in that plane, and fix the \(\theta\) coordinate to be \(\frac {\pi }{2}\) so that the metric (of this plane) simplifies to: $$c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}-r^{2}d\varphi ^{2}$$
Wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzsc ... _particles

Mijn conclusie:
Het meenemen van de extra termen bij Mathpages introduceerd dan: \(x^2/r^2\) (zoals ik begrijp). En deze veroorzaakt nu juist de twee pieken. Dit is nu juist een term dat naar mijn inzicht bedoeld niet symmetrische situaties.

Echter de hoekbuiging is symmetrisch. Het meenemen van deze \(x^2/r^2\) veroorzaakt dan naar mijn inzicht een vals niet symmetrisch beeld.

Ik denk dat een natuurkundige dit beter kan verklaren. Hopende dat een meer ervaren persoon dit beter kan verwoorden en op juist taalgebruik kan verwoorden.

(typo's in Latex mogelijk dit is een hele berg)