Allerlei tensor-vragen

[Professor Puntje]

Terug naar de tensoren! Ik zit nog te tobben met "parallel transport". Meestal wordt dat uitgelegd aan de hand van een omhullende ruimte waarin de manifold dan is ingebed, maar dat omzeilt het fundamentele probleem dat de raakruimten aan punten van de manifold op zich losstaande ruimten zijn: je kunt een raakvector immers niet vanuit de ene raakruimte naar de andere bewegen. Waar wordt dat goed uitgelegd?

[wnvl1]

Heb je connecties, covariante afgeleiden en Christoffel symbolen al bestudeerd? Dat moet eerst op het programma staan voor je aan parallel transport begint, lijkt mij.

[Professor Puntje]

Oh? Gaat die covariante afgeleide dan zonder parallel transport?

[wnvl1]

Er is een verband, maa je moet dat absoluut in de omgekeerde volgorde studeren. Eerst covariante afgeleide, dan gaat alles veel beter te begrijpen zijn.

[Professor Puntje]

Welke volgorde stel je voor? Mijn einddoel is het wiskundig kunnen begrijpen van de Einstein veldvergelijking.

[flappelap]

Terug naar de tensoren! Ik zit nog te tobben met "parallel transport". Meestal wordt dat uitgelegd aan de hand van een omhullende ruimte waarin de manifold dan is ingebed, maar dat omzeilt het fundamentele probleem dat de raakruimten aan punten van de manifold op zich losstaande ruimten zijn: je kunt een raakvector immers niet vanuit de ene raakruimte naar de andere bewegen. Waar wordt dat goed uitgelegd?

Parallel transport wordt in mijn ervaring meestal intrinsiek gedefinieerd in tekstboeken, niet extrinsiek. Je kunt b.v. Carroll erop naslaan.

[flappelap]

Heb je connecties, covariante afgeleiden en Christoffel symbolen al bestudeerd? Dat moet eerst op het programma staan voor je aan parallel transport begint, lijkt mij.

Ik zou zeggen andersom. Parallel transport definieert een connectie, en daarmee de covariante afgeleide.

[Professor Puntje]

Parallel transport wordt in mijn ervaring meestal intrinsiek gedefinieerd in tekstboeken, niet extrinsiek. Je kunt b.v. Carroll erop naslaan.

Het ziet ernaar uit dat ik hoofdstuk 3 'Curvature' van Carroll: Spacetime and Geometry moet hebben. Ik ga het bestuderen.

[wnvl1]

Heb je connecties, covariante afgeleiden en Christoffel symbolen al bestudeerd? Dat moet eerst op het programma staan voor je aan parallel transport begint, lijkt mij.

Ik zou zeggen andersom. Parallel transport definieert een connectie, en daarmee de covariante afgeleide.

Ik snap wel wat je bedoelt. In veel boeken zoals Schwarz denk ik wordt wel parallel transport behandeld wanneer ze geodeten gaan behandelen. De covariante afgeleide wordt dan geïntroduceerd zonder directe link met parallel transport in eerste instantie. Ik vind dat niet slecht.

[wnvl1]

Parallel transport wordt in mijn ervaring meestal intrinsiek gedefinieerd in tekstboeken, niet extrinsiek. Je kunt b.v. Carroll erop naslaan.

Het ziet ernaar uit dat ik hoofdstuk 3 'Curvature' van Carroll: Spacetime and Geometry moet hebben. Ik ga het bestuderen.

Ik ben het ook altijd intrinsiek tegengekomen. Carroll is niet slecht, maar is echt niet de gemakkelijkste tekst voor mij. Kan frustrerend zijn om die te doorgronden. Als je doelstelling is om de Einsteinvergelijkingen te begrijpen, denk ik dat er gemakkelijkere opties zijn. Hij maakt uitbreidingen die relatief moeilijk en niet noodzakelijk zijn. Hij heeft wel een goede podcast en is een hele goede verteller.

[Professor Puntje]

Het is meer zo dat de motivatie vaak extrinsiek wordt gegeven waarbij dan onduidelijk blijft waarom dat intrinsiek ook werkt.

[flappelap]

Het is meer zo dat de motivatie vaak extrinsiek wordt gegeven waarbij dan onduidelijk blijft waarom dat intrinsiek ook werkt.

Ok. Ik ben dat zelf nog nooit tegengekomen, dus ik weet niet zo goed wat je bedoelt. Als je referenties geeft wordt het misschien duidelijk.

[Professor Puntje]

Mieren die "rechtuit" over een bol lopen, iemand die een wandelingetje maakt en daarbij een speer in "dezelfde richting" houdt, etc. Punt is dat dit allemaal in dezelfde ruimte gebeurt, terwijl de raakruimten aan punten van de manifold afzonderlijke objecten zijn.

[flappelap]

Mieren die "rechtuit" over een bol lopen, iemand die een wandelingetje maakt en daarbij een speer in "dezelfde richting" houdt, etc. Punt is dat dit allemaal in dezelfde ruimte gebeurt, terwijl de raakruimten aan punten van de manifold afzonderlijke objecten zijn.

Zo'n speer bevindt zich dan geïdealiseerd toch in de raakruimte op elk punt?

[Professor Puntje]

Welke speer in de raakruimte aan punt q beschouw je dan als dezelfde (parallel getransleerde) speer als in de raakruimte aan p, en waarom?