Vergrotingsformule

[jkien]

Er is een bekende formule om de vergroting van een loep te berekenen op basis van de brandpuntsafstand: N = k / f , waarbij de constante k gelijk is aan 25 cm, de standaard nabijheidsafstand van het oog. Bij andere lenzen en holle spiegels wordt soms ook een vergroting vermeld:

De fabrikant van "blips" macrolenzen, dat zijn kleine lenzen die met speciaal plakband over de cameralens van een smartphone worden geplakt, vermeldt de brandpuntsafstanden en vergrotingen: f = 0.3 cm, N = 33×;   f = 0.5 cm, N = 20×;   f = 1.0 cm, N = 10×;   f = 2.5 cm, N = 4×.  Dit past bij de formule N = k / f met k = 10 cm. Valt die waarde van k hier te verklaren?

De fabrikant van een hoofdbandloep met verwisselbare lenzen vermeldt de vergrotingen: f = 16 cm, N = 3.5×;   f = 22 cm, N = 2.5×;   f = 28 cm, N = 2.0×;   f = 34 cm, N = 1.6×.  Dit past bij de formule N = k / f met k = 55 cm. Valt die waarde van k hier te verklaren?

Ik heb twee scheerspiegels waarop de fabrikant een vergroting heeft vermeld: 3× en 10×. De brandpuntafstanden die ik bij die spiegels heb gemeten zijn resp. 54 cm en 17 cm.  Dit past bij de formule N = k / f met k = 160 cm. Valt die waarde van k hier te verklaren?

[Xilvo]

De fabrikant van "blips" macrolenzen, dat zijn kleine lenzen die met speciaal plakband over de camera van een smartphone worden geplakt, vermeldt de brandpuntsafstanden en vergrotingen: f = 0.3 cm, N = 33×;   f = 0.5 cm, N = 20×;   f = 1.0 cm, N = 10×;   f = 2.5 cm, N = 4×.  Dit past bij de formule N = k / f met k = 10 cm. Valt die waarde van k hier te verklaren?

Als het nabijheidspunt van de camera inderdaad 10 cm is, dan zou die 10 cm een goede waarde zijn.

Bij de camera kan ik een afwijkende waarde begrijpen. De hoofdbandloep en de scheerspiegel zijn voor ogen bedoeld. Ik heb geen idee waarom daar afwijkende waardes gebruikt worden.

[jkien]

Als het nabijheidspunt van de camera inderdaad 10 cm is, dan zou die 10 cm een goede waarde zijn.

De lensjes horen niet bij de telefoon, en vermoedelijk hebben smartphonecamera's niet in het algemeen een nabijheidspunt van 10 cm. Bij mijn smartphonecamera is het bijvoorbeeld circa 5 cm.

[Xilvo]

De lensjes horen niet bij de telefoon, en vermoedelijk hebben smartphonecamera's niet in het algemeen een nabijheidspunt van 10 cm.

Dat vermoed ik ook niet. Misschien dat de fabrikant er maar een slag naar slaat.
Worden zowel brandpuntsafstand als vergroting door de fabrikant opgegeven? Of heb je de brandpuntsafstand zelf gemeten?

[jkien]

Zowel de brandpuntsafstand als de vergroting is opgegeven door de fabrikant van de lensjes.


Fotografiedeskundigen die de vergrotingsfactor van een macrolens specificeren doen dat primair voor spiegelreflexcamera's, waarbij de macrolens de enige lens is. Dan wordt de vergrotingsfactor van de macrolens gedefinieerd als de lineaire vergroting. Deze is gelijk aan N = b/v . Hoe pakt dit uit voor de macro-voorzetlensjes voor smartphones?

Bij telefoons wordt de macro-voorzetlens voor de vaste lens van de telefoon gezet. Het voorwerp bevindt zich in het brandpunt van de voorzetlens, en het beeld bevindt zich in het brandpunt van de cameralens. De lineaire vergroting is dan N = b/v = f_cameralens / f_voorzetlens. Bij telefoons is f_cameralens ongeveer 0.4 cm, en deze formule past qua vorm bij N = k/f, maar voor het genoemde viertal macro-voorzetlensjes zou dan gelden k = 0.4 cm. Die k-waarde wijkt sterk af van de waarde k = 10 cm, dus het antwoord op de vraag hoe het uitpakt is dat de lineaire vergroting helemaal niet overeenkomt met de vergrotingswaarde die de fabrikant vermeldt.

[jkien]

Ik zag een macro voorzetlens met een vergroting van zogenaamd 100×, van het merk Apexel. Dat was aanleiding voor mij om de vergroting van macro voorzetlenzen voor telefoons weer nader te bekijken. De vorige keer leek me het bepalen van de lineaire vergroting onmogelijk omdat je niet in de telefoon kunt kijken om te meten hoe groot het beeld is. Maar bij nader inzien is van elke telefoon bekend hoe groot de sensor is, bij mijn telefoon is het pixel array 0.43 cm breed en 0.57 cm hoog. Je hoeft dus alleen een foto van een liniaal te maken, en te kijken welke liniaalbreedte geprojecteerd wordt op de sensorbreedte.(link) De lineaire vergroting is dan N = sensorbreedte / liniaalbreedte.

De vergroting N, die ik op die manier bepaald heb bij diverse macrolenzen, staat in de volgende figuur:

Liniaalfoto's en berekende vergroting van -   A t/m D: blips macrolenzen (brandpuntsafstanden resp. 0.3, 0.5, 1.0, 2.5 cm);   E: camera zonder voorzetlens gefocusseerd op kleinste voorwerpsafstand;   F: apexel "100×" lens;   G: goedkoop macrolensje, f = 2.0 cm;   H: twee macrolensjes van type G op elkaar.   De camera (zonder voorzetlens) was steeds handmatig gefocusseerd op voorwerpsafstand oneindig, behalve bij foto E, en er werd niet digitaal ingezoomd.

De lineaire vergroting van de zogenaamde 100× apexel lens is dus slechts 0.37×.

A en B zijn hier de enige lenzen met een lineaire vergroting van tenminste 1.0. Volgens taalpuristen zijn dat de ware macrolenzen; tegenover close-up lenzen die minder vergroten.

Het blijkt dat er een compleet wikipedia artikel is over dit soort voorzetlenzen, close-up lenzen of close-up filters.(link) Ook daar komt de formule voor de vergroting neer op N = b/v .

[CoenCo]

In alle gevallen lijkt de berekende afstand k mij redelijk overeen te komen met de gangbare afstand tussen oog/camera en het te observeren object.
Bij de scheerspiegel wel die 160cm even door 2 delen omdat het een reflectie is. Dat is dan een afstand van 80cm tussen hoofd en spiegel.

[HansH]

waarschijnlijk is de definitie van 'vergroting' door jou anders geinterpreteerd dan door de fabrikant.
ik denk dat de fabrikant bedoelt de vergroting tov de standaard telefoon. en dan kan de fabrikant ook nog een misleidende maat gebruiken om het beter te doen lijken dan het is nl door vergroting te definieren als oppervlaktemaat ipv lengte maat. dus dan is de werkelijke vergroting slechts de wortel daarvan. zo kan ik me nog herinneren dat ik als kind een projectie microscoop had gekregen die 10000 x vergrootte. Dat bleek echter maar 100 x te zijn omdat het oppervlak 10000 x vergroot werd.

[jkien]

Ik ben vooral benieuwd hoe fabrikanten hun vergroting precies berekenen, en wat de basis daarvoor is. Helaas is dat is niet of nauwelijks gedocumenteerd. Neem scheerspiegels. In natuurkundeboeken en in wikipedia is "de" vergroting van een holle spiegel de lineaire vergroting, \(N_{lin} = \frac{-b}{v}\). Er geldt \(\frac{1}{f} = \frac{1}{v}+\frac{1}{b}\), zodat \(N_{lin} = \frac{1}{1-\frac{v}{f}}\). Voor scheerspiegels vond iemand op Physics Stackexchange alleen een formule op de website van een spiegelfabrikant.(Baci, 2) Volgens Baci is de vergroting van scheerspiegels gelijk aan \(N_{lin}\) met een standaard voorwerpsafstand v = 24 cm, alsof iedereen elke scheerspiegel op 24 cm voor zijn gezicht zou houden, onafhankelijk van de brandpuntsafstand. Baci geeft vier rekenvoorbeelden: f=35cm N=3×, f=30cm N=5×, f=28cm N=7×, f=26.8cm N=10×. Maar de Baci-formule klopt niet met de vergroting die met een etiket vermeld staat op de twee scheerspiegels die ik zelf in huis heb: f=17cm N=3×, en f=54cm N=10×. Blijkbaar gebruiken fabrikanten verschillende formules. Bovendien vind ik die lineaire vergroting een slechte representatie van de subjectieve vergroting als je in een holle spiegel naar je virtuele spiegelbeeld kijkt.

[jkien]

Nog eens nagedacht over hoe de vergroting van de scheerspiegel volgens mij gedefinieerd had moeten zijn, om enigzins overeen te komen met de subjectieve vergroting. Omdat het beeld virtueel is gaat het om de hoekvergroting, die niet alleen afhangt van f, maar ook van v. Stel je kijkt via de scheerspiegel naar een haartje op je gezicht. De hoekvergroting is de hoek waaronder je het haartje in de scheerspiegel ziet, gedeeld door de hoek waaronder je hem zou zien op nabijheidsafstand (als je bijvoorbeeld een vlakke spiegel op de helft van die afstand voor je gezicht zou houden). Het is vergelijkbaar met de hoekvergroting van een loep.

Symbolen: v voorwerpsafstand = afstand tussen gezicht en spiegel, b beeldafstand, afstand tussen spiegel en beeld, s standaard nabijheidsafstand = 25 cm.


Er geldt: \(\frac{1}{f} = \frac{1}{v}+\frac{1}{b}\) en \(N_{lin} = \frac{-b}{v}\). De beeldafstand b is negatief omdat het beeld virtueel is, en de vergroting is positief omdat het beeld rechtop staat. De afstand tussen gezicht en beeld is v-b. Dan is de hoekvergroting \(N_{hoek} = N_{lin} \, \frac{s}{v-b}= \frac{-b\, s}{v (v-b)}\). De grafiek van de hoekvergroting als functie van de afstand tussen gezicht en spiegel is als volgt:

Lijn AA': hoekvergroting voor f = 54 cm, BB': idem voor f = 17 cm. Bij A en B focusseert de ooglens op het standaard nabijheidspunt (25 cm), bij A' en B' op oneindig. Dunne lijn p: afstand tussen gezicht en beeld, dat is v-b, voor f = 54 cm, q: idem voor f = 17 cm. De twee blauwe stippen horen bij focusseren op 50 cm, wat voor het oog minder vermoeiend is dan focusseren op nabijheidsafstand.

Uit de grafiek blijkt dat de hoekvergrotingen van de punten A en B veel kleiner zijn dan de vergrotingen die de fabrikant op de spiegels vermeldt, 10× en 3×.

[HansH]

je berekent de vergroting tov het punt waar de spiegel zit, maar wat je denk ik moet doen is kijken naar wat het oog ziet bij een normale spiegel (het beeld van je gezicht ligt dan even ver achter de spiegel dan je er zelf voor staat) en dat beeld moet je dan vergelijken met het beeld wat je ziet in de holle spiegel. die verhouding geeft dan de effectieve vergroting die de holle spiegel veroorzaakt lijkt mij. dus er komt nog een stap bij in jouw redenatie lijkt mij.

[jkien]

Die stap zit al in de beschrijving en in de berekening:

De hoekvergroting is de hoek waaronder je het haartje in de scheerspiegel ziet, gedeeld door de hoek waaronder je hem zou zien op nabijheidsafstand (als je bijvoorbeeld een vlakke spiegel op de helft van die afstand voor je gezicht zou houden).

.. Dan is de hoekvergroting \(N_{hoek} = N_{lin} \, \frac{s}{v-b} \)

[HansH]

ik zie dat je al s gebruikt als standaard afstand voor berekening effectieve vergroting, dus wat ik hierboven zeg zou er dan al in zitten. heb je al eens met die scheerspiegel de echte vergroting gemeten zoals je bv kunt doen door er een foto van te maken ipv je oog gebruiken? dan kun je de vergroting op beide foto' s simpel opmeten om je theorie te testen.

[jkien]

Ik heb de hoekvergroting gemeten op basis van foto's, en dat met kruisjes in de grafiek gezet. De overeenkomst tussen foto's en theorie is goed.

[HansH]

Ik heb de hoekvergroting gemeten op basis van foto's, en dat met kruisjes in de grafiek gezet. De overeenkomst tussen foto's en theorie is goed.

Dat is mooi dat je theorie gechecked hebt met metingen. Is de conclusie nu dat het onduidelijk is waarom de vergroting vanuit de fabrikant zo is gedefinieerd?