afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie

[wnvl1]

Het zwarte gat / de zon creërt een statische ruimte tijd en er is sferische symmetrie. Hierdoor kan je in dit geval wel behoud van energie en impulsmoment toepassen (stelling van Noether). In het algemeen is er wel geen behoud van energie in de ART.

[flappelap]

Voor het berekenen van banen in de ART in de Schwarschildmetriek wordt klassiek vertrokken van behoud van energie en behoud van impuls. Licht heeft geen restmassa en dat verklaart dan een verschillende uitdrukking voor de energie en een verschillende uitdrukking voor de orbitalen / het traject. Ik verwijs bvb naar

https://www.if.ufrgs.br/oei/santiago/fi ... urseGR.pdf

of naar eender welk inleidend ART boek. De afbuiging van het licht zomaar optellen bij de baan van een planeet gaat strijdig met die behoudswetten, lijkt mij.

Bovenstaande is mij duidelijk, maar wat als je nu niet wil werken met die behoudswetten? Is er een link beschikbaar naar een werk waar zulke banen worden berekend worden niet gebruikmakend van symmetrie principes, maar waarin de baan numeriek stap voor stap wordt uitgerekend met voorbeelden?

Geen link, maar de geodetenvergelijking bevat de behoudswetten, net als de tweede wet van Newton. Dus je kunt een numeriek oplosschema loslaten op de geodetenvergelijking (een 2e orde diff.vgl.) gegeven de connectie coëfficiënten en begincondities.

[HansH]

ik had altijd begrepen dat c voor alle waarnemers altijd hetzelfde is en dat daardoor iets met de tijd moet gebeuren. maar blijkbaar geldt dat dan alleen voor de SRT. hoe kan het dan dat bij de ART at niet meer zo is?

[wnvl1]

Lokaal is de lichtsnelheid overal c. Maar voor deze berekening tot een goed einde te brengen ga je op een bepaalde manier je coördinaten globaal moeten neerleggen. De coördinaten snelheid van het licht gaat dan niet overal c zijn. Flappelap verwijst naar die coördinaten snelheid, jij denkt lokaal. Op een bepaald moment moet je wel de stap van iets lokaal naar iets globaal zetten anders dan ga je geen orbitalen kunnen uitrekenen.

[flappelap]

ik had altijd begrepen dat c voor alle waarnemers altijd hetzelfde is en dat daardoor iets met de tijd moet gebeuren. maar blijkbaar geldt dat dan alleen voor de SRT. hoe kan het dan dat bij de ART at niet meer zo is?

Dat geldt alleen voor inertiaalwaarnemers in een vlakke ruimtetijd. Al in de SRT is de lichtsnelheid niet voor iedereen gelijk: zie de Rindlerwaarnemers die met constante versnelling bewegen. Alleen lokaal is de lichtsnelheid c, want equivalentie: lokaal is de ruimtetijd vlak, en lokaal in dectijd beweegt een waarnemer met constante snelheid.

Licht volgt nulgeodeten. Oftewel: banen waarvoor ds=0. Dus bekijk radiele beweging in een Schwarzschild oplossing in de gebruikelijke coördinaten, zet ds op 0, en los dit op naar dr/dt. Dat is de coordinatensnelheid van de lichtstraal gemeten door een waarnemer. Bij de horizon wordt dr/dt nul, ver weg van de horizon wordt dr/dt gelijk aan c.

[flappelap]

Wat ik bij jou vaak merk is dat je iets toelicht vanuit de eindpositie van de kennis.

Op Physicsforums moet je bij een topic een niveau aangeven. Het probleem met dit topic is dat je een nogal getailleerde rekenkundige vraag stelt met geen kennis van de ART en verwacht dat mensen de tussenstappen invullen terwijl dat een half tekstboek behelst. Onder het motto "het kan geen toeval zijn". Als jij specifieke rekenkundige vragen over ART stelt en antwoord wil, moet je i.i.g. de basis ervan willen gaan begrijpen. Zo antwoord ik ook op vragen. Je opmerking "ik had begrepen" omtrent de lichtsnelheid spreekt dan ook boekdelen: elk boek over ART behandelt dit. Je bent dus berekeningen aan het doen die wrs. kant noch wal slaan en je kunt voorkomen door gewoon een tekstboek open te slaan.

Prima als andere mensen al die tussenstappen willen willen gaan invullen, maar ik vind dat heel vreemd. Het is alsof je rekenkundig wilt begrijpen waarom de gyromagnetische ratio van het elektron de helft van het klassieke antwoord is maar geen kwantumveldentheorie of groepentheorie leest maar verwacht dat mensen dat allemaal hier gaan uitleggen. Op een physicsforums.com was zo'n topic allang (terecht) gesloten, vermoed ik.

Maar goed, ik val in herhaling en had de intentie om een paar reacties terug al te stoppen, dus laat ik maar es de daad bij het woord voegen. Ik hoop i.i.g. dat je vindt wat je zoekt.

[wnvl1]

Geen link, maar de geodetenvergelijking bevat de behoudswetten, net als de tweede wet van Newton. Dus je kunt een numeriek oplosschema loslaten op de geodetenvergelijking (een 2e orde diff.vgl.) gegeven de connectie coëfficiënten en begincondities.

OK, dus

$$\frac{d^2 x^{\mu}}{ds^2} + \Gamma^{\mu}_{\rho\sigma} \frac{dx^{\rho}}{ds}\frac{dx^{\sigma}}{ds}=0$$

\(x^{\mu}(s_0)\) is dan begin tijdstip en beginpositie
\(\frac{dx^{\mu}(s_0)}{ds}\) is dan de begin coördinatensnelheid.

Het is dan een stelsel van 4 gekoppelde niet-lineaire differentaalvergelijkingen. De connecties zijn gekend.

Stel ik ga dit nu oplossen voor de baan van Mercurius. Hoe meet ik dan mijn begincoördinaten snelheid? Ik heb een snelheid nodig in de tijdsrichting en een snelheid in de ruimtelijke richting.

[wnvl1]

Idee is vermoedelijk dat ik de ruimtelijke coördinatensnelheid bepaal. De snelheid in de tijdsdimensie (equivalent aan de energie) kan ik dan halen uit het feit dat de norm van de 4-snelheid \(c^2\) moet zijn?

[flappelap]

Je kunt de ruimtelijke componenten van de geodetenvergelijking bepalen zoals je de baan van een planeet bij Newton bepaalt: je schrijft de tweede wet van Newton op, zet de zwaartekracht van de zon op de planeet gelijk aan de middelpuntzoekende kracht, en dan moet je middels een meting de positie en snelheid op t = 0 bepalen in inpluggen. Dat geeft je dan een ellipsbaan. De ruimtelijke coördinatensnelheid is natuurlijk niet een wiskundig gegeven; dat is informatie die je moet gebruiken om aan te tonen dat de planeet een ellipsbaan volgt. Je kunt natuurlijk ook achteruit werken: aannemen dat de baan een ellips met lange en korte as, en berekenen wat voor snelheid je nodig hebt om die baan te krijgen. Zie b.v.

https://www.physics.usu.edu/Wheeler/Gen ... desics.pdf

En inderdaad: de norm van de 4-snelheid is c^2, dus niet alle 4 componenten zijn onafhankelijk.

[HansH]

Je kunt de ruimtelijke componenten van de geodetenvergelijking bepalen zoals je de baan van een planeet bij Newton bepaalt: je schrijft de tweede wet van Newton op, zet de zwaartekracht van de zon op de planeet gelijk aan de middelpuntzoekende kracht, en dan moet je middels een meting de positie en snelheid op t = 0 bepalen in inpluggen. Dat geeft je dan een ellipsbaan.

dat is wat ik doe in de mathcad sheet in de eerdere post. ook de zon heeft daar een beginsnelheid om te zorgen da ook die de baan volgt (draait tgv mercurius een baantje van een paar km)
als ik weet welke vergelijkingen ik moet gebruiken voor her relativistische deel kan ik die er wel bijzetten om te zien of we dan de precessie kunnen berekenen.

[HansH]

of je kunt mijn code vertalen naar een ander pakket. (of vanaf scratch natuurlijk, maar dat lijkt me zonde van de tijd)

[wnvl1]

Om berekeningen te maken in ART is het interessant om te werken met de einsteinpy library in python.

https://docs.einsteinpy.org/en/stable/index.html

Hiermee is het kinderspel om geodeten uit te rekenen in bvb een Schwarschild ruimte.

[wnvl1]

De berekening van de orbitalen in Schwarschild metriek is duidelijk nu. Volgende probleem dat ik zie is lastiger.

De Schwarschild metriek wordt beschreven door

$$ds^2= - \left (1 - \frac {2M} {r} \right )dt^2 + \frac {1} {1 - 2M/r} dr^2 + r^2(d \theta^2 + sin^2\theta d \phi^2)$$

De Minkowski metriek in sferische coördinaten door

$$ds^2=-c^2dt^2+dr^2+r^2\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2\right).$$

Asymptotisch als r naar oneindig gaat vallen beide metrieken samen. Dat is mooi en de vorm van beide metrieken suggereert bovendien een mapping \(r_S \to r_M, \theta_S \to \theta_M, \phi_S \to \phi_M\).
S verwijst naar de variabele in de Schwarschild metriek en M naar de vartiabele in de Minkowski metriek.

Voor de r waarden tussen 0 en oneindig is het echter niet zo voor de hand liggen om de r van Schwarschild op de r van Minkowski te mappen. Dat kan op oneindig veel manieren. Je kan voor de kleine r waarden wat meer uitrekken of inkrimpen, etc. Dat is even arbitrair als de mapping van een wereldbol op een platte landkaart.

Daarop verder bouwend. Als ik nu de baan van Mercurius wil gaan berekenen, dan moet ik voor de intitiële condities de afstand meten van Mercurius tot de zon en de initiële snelheid. Stel ik meet met mijn meter 1 miljoen km. Die afstand die ik meet, is dan de uitkomst van deze lijnintegraal

$$\sqrt{\int_0^{r_{Mercurius}} \frac {1} {1 - 2M/r} dr^2}$$

De afstand die ik uitkom is dus niet zomaar r. Gezien de grote waarde van die M in de noemer, speelt het zich misschien allemaal ver af achter de komma. Maar het maakt de oefening van iedereen die ART op Newton wil mappen iets heel arbitrair en iets waarbij verschillende uitkomsten mogelijk zijn. Aan de andere kant plakt er in ons dagdagelijkse leven wel een specifiek getal op de periheliumprecessie van Mercurius. Ergens is er dus een tegenspraak die ik niet vat.

[wnvl1]

Wat de hoeken betreft corresponderen de metrieken natuurlijk 1 op 1. Daar is dan misschien geen ruimte voor arbitraire keuzes. Maar het probleem blijft bestaan in de radiale richting.

[flappelap]

Nee, de dr in Schwarzschilds oplossing is niet de ruimtelijke afstand tussen twee gelijktijdige gebeurtenissen (dt=0), net als dt niet de eigentijd is tussen twee gebeurtenissen op dezelfde plek (dr=dOmega=0). Die afstanden bepaal je met de metrische componenten.

Ik snap niet zo goed waarom je de Minkowski- en Schwarzschild radiële coördinaten "op elkaar wilt mappen". De r in een newtonse uitdrukking heeft een andere betekenis dan een r in, zeg, de Schwarzschild oplossing.