differentiaal vergelijking

[aadkr]

[wnvl1]

Doe een substitutie \(z(x)=e^{-y(x)}\).
Daarna kan je het omvormen naar een Bernouilli differentiaal vergelijking.

[Bart23]

Doe een substitutie y= ln(z)

De DV wordt dan

\(\frac{dz}{dx}-z\cdot x=1\)

Je kan dan werken met integratiefactor

\( e^{-\frac{x^2}{2}}\)

Zo wordt de DV

\(z \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}=\int e^{-\frac{x^2}{2}} dx+c\)

Ik kom na een korte berekening op

\( y=\frac{x^2}{2}+\ln(\sqrt{\frac{\pi}{2}} erf(\frac{x}{\sqrt{2}})+c)\)

[aadkr]

beste Bart23 ik kan het niet volgen. Je stelt : y=Ln(z) maar wat is z? dy/dz=1/z . verder kom ik niet.

[Bart23]

We gaan over op een nieuwe veranderlijke z. Het verband tussen y en z is y=ln(z), of wat hetzelfde is:

\(z=e^y\)

Het verband tussen de afgeleiden vinden we met de kettingregel:

\(\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\cdot\frac{dz}{dx}=\frac{1}{z}\cdot\frac{dz}{dx}\)

De DV wordt

\(\frac{1}{z}\cdot\frac{dz}{dx}=x+\frac{1}{z}\)

Dan kan je beide leden vermenigvuldigen met z om tot de eerste DV uit mijn antwoord te komen.

[aadkr]

Geachte Bart23, tot zover begrijp ik het. Alvast hartelijk dank daarvoor . Aad

[Bart23]

\(\frac{dz}{dx}-z\cdot x=1\)

is een 'standaard' lineaire DV vd 1ste orde, zie bv:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Lineaire_ ... erste_orde

[aadkr]

ik begrijp het niet. Hoe weet je dat de integrerende factor =y=e tot de macht 1/2.x kwadraat.
inje bericht staat ""zo wordt de differentiaalvergelijking "wat er dan volgt begrijp ik niet.
Wilt U mij a.u.b. helpen?

[aadkr]

[Bart23]

De bedoeling is om de DV

\(\frac{dz}{dx}-z\cdot x=1\)

te vermenigvuldigen met een functie r(x) zodanig dat in het linkerlid iets komt te staan dat de vorm heeft van de afgeleide van een product, dus iets van de vorm f'g+fg'.
Vermenigvuldig alvast met de (nog onbekende) factor r(x):

\(\frac{dz}{dx}\cdot r(x)-z\cdot r(x)\cdot x =r(x)\)

Als nu r(x) zó is dat

\(-r(x)\cdot x= \frac{dr(x)}{dx}\)

dan wordt de vergelijking

\(\frac{dz}{dx}\cdot r(x)+z\cdot \frac{dr(x)}{dx} =r(x)\)

Het linkerlid heeft nu de vorm van een afgeleide van een product. We kunnen dus schrijven:

\(\frac{d}{dx}(z\cdot r(x)) =r(x)\)

Met dit laatste gaan we dadelijk verder, eerst zoeken we een r(x) die aan de gezochte voorwaarde voldoet.

\(-r(x)\cdot x= \frac{dr(x)}{dx}\Leftrightarrow \frac{dr(x)}{r(x)}=-xdx\Rightarrow \int\frac{dr(x)}{r(x)}=\int -xdx \Rightarrow\ln(r(x))=-\frac{x^2}{2}+k\)

Kies k=0 en herschrijf als

\(r(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}\)

Nu hebben we een goede r(x) gevonden, die kunnen we nu invullen:

\(\frac{d}{dx}(z\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}) =e^{-\frac{x^2}{2}}\)

Integreren:

\(\int d(z\cdot e^{-\frac{x^2}{2}}) =\int e^{-\frac{x^2}{2}}dx\)

Nu is die laatste integraal niet met elementaire functies uit te drukken. Daar wordt een nieuwe functie mee gedefinieerd, de zgn 'error functie'. Meer bepaald:

\(erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-z^2}dz\)

We kunnen dus schrijven

\(\int e^{-\frac{x^2}{2}}dx= \int e^{-(\frac{x}{\sqrt{2}})^2}dx=\sqrt{2}\int e^{-(\frac{x}{\sqrt{2}})^2}d(\frac{x}{\sqrt{2}})\)

\(=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int e^{-(\frac{x}{\sqrt{2}})^2}d(\frac{x}{\sqrt{2}})= \sqrt{\frac{\pi}{2}} erf(\frac{x}{\sqrt{2}})+c\)

Conclusie:

\(z\cdot e^{\frac{-x^2}{2}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}} erf(\frac{x}{\sqrt{2}})+c\Rightarrow z=e^{\frac{x^2}{2}}\cdot(\sqrt{\frac{\pi}{2}} erf(\frac{x}{\sqrt{2}})+c)\)

Nu nog de ln van beide leden nemen (en we hadden y=ln z)

\(y=\ln(e^{\frac{x^2}{2}}\cdot(\sqrt{\frac{\pi}{2}} erf(\frac{x}{\sqrt{2}})+c))\)

\(y=\ln(e^{\frac{x^2}{2}})+\ln(\sqrt{\frac{\pi}{2}} erf(\frac{x}{\sqrt{2}})+c)\)

\(y=\frac{x^2}{2}+\ln(\sqrt{\frac{\pi}{2}} erf(\frac{x}{\sqrt{2}})+c)\)

[aadkr]

Hartelijk dank voor alle moeite die U neemt.
Ik moet de tijd nemen om dit tot me door te laten dringen.
In ieder geval: nogmaals veel dank.
aad

[aadkr]

[Bart23]

\(\frac {1+y}{1-y}=\frac{1-y+2y}{1-y}=1-\frac{2}{1-y}\)

[aadkr]

moet dat antwoord niet zijn (1-y+2y)/(1-y)=1+2.y/(1-y)

[Bart23]

Klopt, typfoutje;-)