minimale snelheid

[ukster]

P en Q zijn twee punten op afstand d van elkaar op hoogte h en k boven een horizontaal vlak. Wat is de minimale snelheid v waarmee een deeltje vanuit het horizontale vlak moet worden afgeschoten om door P en Q te gaan?
(geen luchtweerstand)

[wnvl1]

Ik vermoed dat met d de horizontale afstand bedoeld wordt?

[wnvl1]

Zo ja, dan is het probleem dat in sympy het stelsel niet opgelost raakt.

Code: Selecteer alles

from sympy import *

x_0, v_0, theta_0, h, d, k, t_P, t_Q, g = symbols('x_0, v_0, theta_0, h, d, k, t_P, t_Q, g') 
eq1 = Eq(x_0 + v_0*cos(theta_0)*t_P, 0)
eq2 = Eq(g*t_P**2/2 + v_0*sin(theta_0)*t_P, h)
eq3 = Eq(x_0 + v_0*cos(theta_0)*t_Q, d)
eq4 = Eq(g*t_Q**2/2 + v_0*sin(theta_0)*t_Q, k)

solve([eq1, eq2, eq3, eq4], [theta_0, v_0, t_P, t_Q], dict=True)

In een volgende stap zou ik dan v_0 kunnen afleiden naar x_0 en het nulpunt zoeken.
In principe zou dat moeten gaan, maar helaas dus niet met sympy.

[Xilvo]

Het zou me niet verbazen als het hoogste punt (P of Q) ook het hoogste punt van de baan is. Dan kun je makkelijk een parabool tekenen en de snelheid bepalen.
Onduidelijk is inderdaad of met d de echte afstand tussen de punten bedoeld is (zo zou ik het lezen) of de afstand in horizontale richting.

[wnvl1]

Eens in chatGPT gestoken. Perfecte oplossing op het eerste gezicht. Op het einde blijft ze ook wat vaag en verwijst ze naar een numerieke methode.


Om een deeltje af te schieten vanuit een horizontaal vlak zodanig dat het door de punten \( P \) en \( Q \) gaat, moeten we de principes van de projectielbeweging gebruiken. Hier zijn de stappen die we volgen om de minimale snelheid \( v \) te bepalen.

### Gegeven
- Punt \( P \) heeft coördinaten \( (x_1, h) \)
- Punt \( Q \) heeft coördinaten \( (x_2, k) \)
- De afstand tussen \( P \) en \( Q \) is \( d = |x_2 - x_1| \)
- Beide punten liggen op een horizontaal vlak.

### Doel
We willen de minimale snelheid \( v \) bepalen waarmee een deeltje moet worden afgeschoten om door beide punten \( P \) en \( Q \) te gaan.

### Projectielbeweging
Een deeltje dat onder een hoek \( \theta \) met snelheid \( v \) wordt afgeschoten heeft de volgende bewegingsvergelijkingen:
\[
x(t) = v \cos(\theta) t
\]
\[
y(t) = v \sin(\theta) t - \frac{1}{2} g t^2
\]

Voor het deeltje om door \( P(x_1, h) \) en \( Q(x_2, k) \) te gaan, moeten we voldoen aan de volgende voorwaarden op tijdstippen \( t_1 \) en \( t_2 \):

\[
x_1 = v \cos(\theta) t_1
\]
\[
h = v \sin(\theta) t_1 - \frac{1}{2} g t_1^2
\]

\[
x_2 = v \cos(\theta) t_2
\]
\[
k = v \sin(\theta) t_2 - \frac{1}{2} g t_2^2
\]

### Oplossing
1. Los de eerste vergelijking op voor \( t_1 \):
\[
t_1 = \frac{x_1}{v \cos(\theta)}
\]

2. Los de tweede vergelijking op voor \( t_2 \):
\[
t_2 = \frac{x_2}{v \cos(\theta)}
\]

3. Vervang \( t_1 \) en \( t_2 \) in de respectievelijke hoogtevergelijkingen:
\[
h = v \sin(\theta) \left( \frac{x_1}{v \cos(\theta)} \right) - \frac{1}{2} g \left( \frac{x_1}{v \cos(\theta)} \right)^2
\]
\[
k = v \sin(\theta) \left( \frac{x_2}{v \cos(\theta)} \right) - \frac{1}{2} g \left( \frac{x_2}{v \cos(\theta)} \right)^2
\]

4. Simplificeer de vergelijkingen:
\[
h = x_1 \tan(\theta) - \frac{1}{2} g \left( \frac{x_1^2}{v^2 \cos^2(\theta)} \right)
\]
\[
k = x_2 \tan(\theta) - \frac{1}{2} g \left( \frac{x_2^2}{v^2 \cos^2(\theta)} \right)
\]

5. Schrijf beide vergelijkingen in termen van \( \tan(\theta) \) en \( \cos(\theta) \):
\[
h = x_1 \tan(\theta) - \frac{g x_1^2}{2 v^2 \cos^2(\theta)}
\]
\[
k = x_2 \tan(\theta) - \frac{g x_2^2}{2 v^2 \cos^2(\theta)}
\]

### Bereken de minimale snelheid
De bovenstaande vergelijkingen moeten worden opgelost voor \( \theta \) en \( v \). De snelheid \( v \) is minimaal als \( \theta \) zodanig gekozen wordt dat beide punten worden geraakt met de kleinste waarde van \( v \). Dit vereist het oplossen van een systeem van niet-lineaire vergelijkingen. Om het probleem eenvoudiger te maken, kan men gebruik maken van een methodische aanpak of numerieke optimalisatie.

Omdat dit een analytisch complex probleem is, wordt in de praktijk vaak gebruik gemaakt van numerieke methoden om de exacte waarde van \( v \) en \( \theta \) te bepalen. De belangrijkste stap is het opzetten van de bovenstaande vergelijkingen en vervolgens het toepassen van geschikte numerieke technieken om \( v \) te minimaliseren.

[Xilvo]

Ik ben geen voorstander van het gebruik van ChatGPT (of welke andere AI dan ook) bij dit soort puzzeltjes.
Dan kunnen we net zo goed AI puzzeltjes laten verzinnen die andere AI dan weer oplost.
De lol is, m.i., het zelf proberen op te lossen.

Hetzelfde geldt, wat mij betreft, voor het beantwoorden van vragen op fora als dit.

[wnvl1]

Akkoord. In principe zijn de antwoorden die ik hier zet altijd zelf geformuleerd. Ik was nieuwsgierig naar je stelling:

'Het zou me niet verbazen als het hoogste punt (P of Q) ook het hoogste punt van de baan is.'

Ik had niets gevonden op google. Daarom daarna eens de vraag voorgelegd aan chatGPT. Ik vind het indrukwekkend hoe snel de kwaliteit van de antwoorden van chatGPT geëvolueerd is de laatste maanden. Deze vraag is er wel eentje die redelijk rechtoe rechtaan is voor AI, maar toch is het knap.

Bij het andere raadsel van vandaag "rechtop" gaat AI trouwens wel helemaal de mist in. Ze gaat een hoekversnelling berekenen wat niet relevant is.

Het is voor een stuk ook aan bedenkers van raadsels de vraagstelling zo te maken dat ze niet direct oplosbaar zijn met AI en google. Dat kan een stimulans zijn voor originele en moeilijkere vragen.

[Xilvo]

Ik was nieuwsgierig naar je stelling:

'Het zou me niet verbazen als het hoogste punt (P of Q) ook het hoogste punt van de baan is.'

Het is dan ook geen stelling, maar een vermoeden
En ik kan er helemaal naast zitten.

Misschien dat ik er morgen wat meer tijd voor heb. Ik denk dat het niet moeilijk is met wat gekozen waardes die snelheid te bepalen, uitgaande van mijn "stelling", om dan wat variaties aan te brengen. Als die variaties resulteren in een hogere snelheid, dan wordt mijn idee al wat plausibeler. Maar ook dat is nog geen bewijs, uiteraard.

[wnvl1]

Als test heb ik eens gezocht naar optimale waarden voor d=20m, h=10m en k=20m.
Valversnelling g=10m/s².

Ik kom op een optimale waarde als gelanceerd wordt vanop een afstand van 5.2m.
De curve van het projectiel suggereert dat het vermoeden van Xilvo niet zou kloppen.
Het oplossen van het stelsel, is echter niet altijd helemaal stabiel. Zie logging in onderstaande code. Alles onder voorbehoud dus.
Ik ben vertrokken vanuit de vergelijkingen uit stap 5 van chatGPT.

Code: Selecteer alles

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve

x1 = 0

def equations(vars):
    global x1
    h = 10
    d = 20
    k = 20
    g = 10
    theta, v = vars
    eq1 = x1*tan(theta) - g*x1**2/(2*v**2*(cos(theta))**2 ) - h
    eq2 = (x1+d)*tan(theta) - g*(x1+d)**2/(2*v**2*(cos(theta))**2 ) - k
    return [eq1, eq2]


for x1 in np.arange(1, 10, 0.1):
    print("x1 = " + str(x1))
    initial_guess = [1, 20]
    solution = fsolve(equations, initial_guess)
    print("Solution:", solution)

x1=5.2
sol = fsolve(equations, initial_guess)
theta_0=sol[0]
v_0=sol[1]

x_projectiel=[]
y_projectiel=[]
for t in np.arange(0, 4, 0.1):
    g=10
    x=v_0*cos(theta_0)*t
    y=-g*t**2/2 + v_0*sin(theta_0)*t
    x_projectiel.append(x)
    y_projectiel.append(y)

h=10
k=20
d=20

print(x_projectiel)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x_projectiel, y_projectiel)
plt.plot(x1, h, marker="o", markersize=20, markeredgecolor="red", markerfacecolor="green")
plt.plot(x1+d, k, marker="o", markersize=20, markeredgecolor="red", markerfacecolor="green")
plt.show()

[RedCat]

Is dit niet de algemene versie van dit probleem: viewtopic.php?t=214277 ?

[wnvl1]

Dat is inderdaad hetzelfde raadsel.

[wnvl1]

Bij nader inzien betreffende het vermoeden van xilvo. Als de punten P en Q in de limiet ver uit elkaar liggen en heel weinig in hoogte verschillen, dan kan je aanvoelen dat het vermoeden niet kan kloppen, want dan zou je met een heeeel hoge snelheid moeten lanceren om zowel door P en Q te gaan wat zeker niet optimaal zal zijn. Het gaat dan optimaler zijn als de maximum hoogte tussen P en Q ligt en hoger is dan P en Q.

[Xilvo]

Bij nader inzien betreffende het vermoeden van xilvo. Als de punten P en Q in de limiet ver uit elkaar liggen en heel weinig in hoogte verschillen, dan kan je aanvoelen dat het vermoeden niet kan kloppen, want dan zou je met een heeeel hoge snelheid moeten lanceren om zowel door P en Q te gaan wat zeker niet optimaal zal zijn. Het gaat dan optimaler zijn als de maximum hoogte tussen P en Q ligt en hoger is dan P en Q.

Lijkt me geen speld tussen te krijgen. Vermoeden kan de prullenbak in.

[ukster]

Deze uitwerking wil ik jullie niet onthouden

minimale snelheid v 10277 keer bekeken

1 10277 keer bekeken

2 10277 keer bekeken

3 10277 keer bekeken

[wnvl1]

Truuk is dus in te zien dat minimale v betekent dat u minimaal moet zijn en dat vereenvoudigt de berekening.