tuander schreef: ↑di 13 aug 2024, 16:29
In de tweede plaats: bij minkowski-diagram, (x,t)-diagram, is het een afspraak (conventie), om de lichtsnelheid in te tekenen als een lijn onder 45 graden. Dat is hetzelfde als dat je de lichtsnelheid c=1 kiest. Dus het is niet zomaar een triviaal idee waar we het over hebben.
"Dat is hetzelfde als dat je de lichtsnelheid c=1 kiest"... als je als eenheid voor de ruimte "lichtseconden" kiest en als tijdseenheid seconden. Hetzelfde ruimtetijddiagram kun je krijgen door c = 42 te kiezen, als je voor de tijd seconden en voor de ruimte als eenheid "Hitchhike" kiest waarbij een Hitchhike 1/42 lichtseconde is.
Met je eenheden verandert ook de betekenis van "kleine v". Dat is ook de reden waarom de uitspraak "voor kleine snelheden" an sich betekenisloos is. Daarom zeggen we ook dat we v/c<<1 nemen. In de praktijk betekent dat dat je c willekeurig groot neemt, hoewel dat voor sommigen wat onwennig kan voelen omdat de lichtsnelheid natuurlijk een constante is.
Als we c = 1 nemen in de Lorentz transformaties, krijgen we
\(t' = \gamma (t-vx), \ \ \ \ x'=\gamma(x-vt) \)
Jouw voorgestelde limiet bestaat er nu uit dat v << 1. Ontwikkelen we beide transformaties in een Taylorreeks, dan krijgen we
\(t'= (1+\frac{1}{2}v^2 + ...) (t-vx), \ \ \ \ \ x' = (1+\frac{1}{2}v^2 + ...) (x - vt)\)
Schrijven we dit uit in machten van v, dan krijgen we
\(t'= t - vx + \frac{1}{2}v^2 t - \frac{1}{2}v^3 x + ..., \ \ \ \ x' = x - vt + \frac{1}{2}v^2 x - \frac{1}{2}v^3 t + ... \)
Beide transformaties zijn gerelateerd via
\( t \leftrightarrow x\), want t en x komen immers volledig symmetrisch in de Lorentz transformaties voor! Een logisch gevolg daarvan is dat op eerste orde in de snelheid v we inderdaad krijgen
\(t'= t - vx \ \ \ \ x' = x - vt \)
Als we de lichtsnelheid c terugstoppen, dan worden bovenstaande formules
\(t' = t -\frac{vx}{c^2} + \frac{v^2 t}{2c^2} - \frac{v^3x}{2c^4}, \ \ \ x' = x - vt + \frac{v^2 x}{2c^2} - \frac{v^3t}{2c^4} \)
Als je nu alle termen van orde v/c en hoger verwaarloost, krijg je wél de Galilei-boost:
\(t' = t + ..., \ \ \ x' = x - vt + ... \)
Wat is nu de "goede" afleiding? Wel, het probleem met c=1 kiezen, is dat je door deze keuze van eenheden informatie overboord gooit wanneer je hogere machten van c in je reeks krijgt. Ga maar na: termen zoals
\(\frac{v}{c}\) en
\(\frac{v}{c^{80}}\) hebben numeriek natuurlijk hele andere waarden, maar als je c = 1 kiest dan zullen beide termen in je machtreeks eerste orde in v zijn. Je versluiert daarmee dat wanneer je daadwerkelijke waarden voor deze termen invult, de eerste term bizar veel groter zal zijn dan de tweede term. Als je nu een machtreeks gaat ontwikkelen en "n-e orde in v/c" gaat verwarren met "n-e orde in v", dan krijg je natuurlijk ook verschillende resultaten. En laat de transformatie voor t' nu als tweede term een orde
\(c^{-2}\) hebben.
Kortom: als je limieten neemt, kun je het beste eenheidsloze verhoudingen beschouwen in je expansie, omdat je eindantwoord anders van je keuze van eenheden zal afhangen. Daar is wiskundig niks mis mee, maar natuurkundig wel.
