zwaartekrachtveld

[Xilvo]

Ik weet niet of het wel zo lastig is.
Je moet kijken waar je de massa zo effectief mogelijk kunt inzetten. Dus hoe groot is de zwaartekrachtcomponent in de x-richting vergeleken met de hoeveelheid massa op een x,y positie.
De eerste is (met d=afstand tot de oorsprong, waar P staat) is \(\frac{x}{d}\frac{1}{d^2}y\)
\(\frac{1}{d^2}\) is de grootte van de kracht per massa-eenheid, \(\frac{x}{d}\) is de component van de kracht in de x-richting, \(y\) is evenredig met de hoeveelheid massa in een ring met straal y.

De hoeveelheid massa in de ring is dan weer evenredig met y, daar moet je door delen, dan houd je over \(\frac{x}{d^3}\)
Een contour met constante \(\frac{x}{d^3}\) moet dan de begrenzing zijn van de tweedimensionale doorsnee.
Als ik me niet vergis geeft dat iets dat heel veel op een bol lijkt.

[wnvl1]

Dit is volgens mij de integraal die gemaximaliseerd moet worden.

$$2\pi G\rho \int_0^t \biggl(1-\frac{h+x}{\sqrt{R^2(x)+(h+x)^2}}\biggr)dx$$

Ik maak gebruik van formule (15) hier, voor de gravitatiekracht van een schijfje af te leiden.

h is dan de afstand van punt P uit het vraagstuk van ukster tot de oorsprong. t is de afstand van de oorsprong tot de top van de vervormde bol/kegel.

Randvoorwaarde is

$$\int_0^t \pi R^2(x)dx = V$$

Je kan het dan omzetten naar een Euler Lagrange probleem, denk ik.

[wnvl1]

Het komt dan neer op een optimalisatie van

$$\int_0^t 2\pi G\rho \biggl(1-\frac{h+x}{\sqrt{R^2(x)+(h+x)^2}}\biggr) + \lambda\pi R^2(x) dx - \lambda V$$

naar \(\lambda\) en \(R(x)\).

t is een variabel eindpunt, dus het is nog zaak om de juiste randvoorwaarden op te leggen.

Ik denk R(0)=0 en R(t)=0?

Op zich is de Euler Lagrange vergelijking nog relatief eenvoudig omdat er geen afhankelijkheid is van dR(x)/dx.

[ukster]

plaatje van Hans H spreekt mij direct aan
Xilvo: altijd weer een pragmatische kijk op de zaak
wnvl1: moet nog blijken of dit tot onderstaand resultaat leidt

Dit is het bruikbaar resultaat van mijn berekening:

[HansH]

ik denk dat ik in mijn plaatje de inhoud moet berekenen van de omwentelingsfiguur on de x as en die moet gelijk zijn aan de inhoud van de bol. dan levert dat de maximale zwaartekracht.

[wnvl1]

wnvl1: moet nog blijken of dit tot onderstaand resultaat leidt

Dat zou echt tot dezelfde oplossing moeten leiden. Of ik ze kan vinden is een andere vraag.
Het is een oefening op Euler Lagrange voor gevorderden gezien de integraal beperking en het variabel eindpunt.

[wnvl1]

Gezien er geen afhankelijkheid is van R', wordt de EL vergelijking gewoon

$$\frac{\partial}{\partial R} \left( 2\pi G\rho \biggl(1-\frac{h+x}{\sqrt{R^2(x)+(h+x)^2}}\biggr) + \lambda\pi R^2(x) \right)= 0 $$

$$ 2\pi G\rho \biggl(\frac{(h+x)R(x)}{\sqrt{(R^2(x)+(h+x)^2)^3}}\biggr) + 2\lambda\pi R(x) = 0 $$

Verbeter mij als ik verkeerd ben, want het is al lang geleden.

[HansH]

het voordeel van mijn ideetje is denk ik dat je daar al direct de vorm van de curve uit kunt halen op basis van de gedachte dat verschuiven van punten op de optimum curve geen effect meer mag hebben op de zwaartekracht.

[ukster]

Wat dat betreft geeft chagpt toch wel een aardig opzetje!

Om het zwaartekrachtveld langs de x-as in een punt P te maximaliseren met een minimaal van een zuivere bol afwijkende vorm, moeten we de massa herverdelen op een manier die de kracht langs de x-as optimaliseert zonder grote veranderingen in de bolvorm aan te brengen.
Minimale afwijking van een bol:
1. Symmetrie van een bol:
Een perfecte bol veroorzaakt een symmetrisch zwaartekrachtveld, waarbij de componenten van de zwaartekracht in verschillende richtingen elkaar opheffen, behalve langs de symmetrieas (bijvoorbeeld de x-as).
2. Maximale kracht langs de x-as:
Om de kracht langs de x-as te maximaliseren, moet de massa worden verplaatst naar locaties die een grotere bijdrage leveren aan het veld in die richting.
3. Minimale afwijking:
Een minimale afwijking van de bolvorm die dit bereikt, is een afplatting van de bol langs de as die loodrecht staat op de x-as. Dit betekent dat de bol een licht ellipsoïde vorm krijgt, waarbij de massa dichter bij de x-as wordt geplaatst.
Deze vorm zorgt ervoor dat meer massa dichter bij de x-as komt te liggen, wat de component van de zwaartekracht langs deze as versterkt, terwijl de bolvorm grotendeels behouden blijft.
4. Resultaat:
De minimaal afwijkende vorm van de bol die de kracht langs de x-as maximaliseert, zou een licht afgeplatte ellipsoïde zijn. De afplatting zou het grootst zijn in de richtingen loodrecht op de x-as, wat de massa dichter bij de x-as concentreert en daardoor de zwaartekrachtcomponent in die richting versterkt.

Deze lichte afplatting is de kleinste aanpassing aan de bolvorm die nodig is om het zwaartekrachtveld langs de x-as te maximaliseren zonder de algemene symmetrie van de bol drastisch te veranderen.

[ukster]

maximale zwaartekracht

(118 KiB) 42 keer gedownload

[wnvl1]

Verderwerkend op de EL vergelijking uit mijn vorige post kom ik dan uit op iets van de vorm


$$R(x)=\sqrt{ \left( \frac{(h+x)G\rho}{-\lambda} \right)^{2/3}- (h+x)^2 }$$

met \( \lambda\) nog te bepalen uit de randvoorwaarden.

[Xilvo]

Vervolg op mijn eerder post:
\(\frac{x}{d^3}\) constant, met \(d=\sqrt{x^2+y^2}\)
dan \(\frac{d^6}{x^2}=c\)
Met c=1
\(x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6-x^2=0\)

Dat levert dit plaatje:

[HansH]

is wat ik eruit krijg met mathcad via numeriek oplossen van de integralen.

met bijbehorende code

Mathcad - zwaartekrachtpuzzel

(33.59 KiB) 32 keer gedownload

[HansH]

de formules voor x en y bepalen de vorm van de curve en die is het gevolg van de eis dat verplaatsen van punten langs die curve geen effect mag hebben op de zwaartekracht. enige vrijheidsgraad die dan nog overblijft is de factor k1 om tot hetzelfde volume te komen van de omwentelingsfiguur vergeleken met de originele bol. Dat gebeurt voor k1=0.8892

[HansH]

Vervolg op mijn eerder post:
\(\frac{x}{d^3}\) constant, met \(d=\sqrt{x^2+y^2}\)
dan \(\frac{d^6}{x^2}=c\)
Met c=1
\(x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6-x^2=0\)

Dat levert dit plaatje:
zwaartekracht.png

beide curves over elkaar geplot lijken zelfde vorm te hebben.
alleen kan ik de redenatie hoe je eraan komt niet helemaal volgen.

en wat is de verhouding met de afmetingen van de originele bol?