Raadsel: voetbal

[Xilvo]

maar met luchtweerstand is het natuurlijk wel veel interessanter

Klopt, maar ook een stuk lastiger.
Om te beginnen krijg je dan geen vaste hoek, die is afhankelijk van de beginsnelheid, de grootte van de bal, de massa ervan en de luchtdruk en temperatuur.

[wnvl1]

opdat hij een zo lang mogelijk traject door vacuum zou afleggen. maar dan wordt het toch gewoon 45 graden of 56 als je hwet trajekt door de lucht rekent. maar in het openingsbericght staat geen info over al of niet luchtweerstand

Bij een raadsel, vraagstuk of examenvraag ga ik ervan uit dat als er niets gezegd wordt over de luchtweerstand, er geen luchtweerstand is. Ik ben niet geneigd om dat er expliciet bij te zetten. Net zoals ik er ook niet bijzet, dat de bal niet geladen is en dat er geen magnetisch veld is.

Ik heb sowieso toch geen numerieke waarde gegeven voor de luchtweerstand te verrekenen, dus hoe zou je dat dan doen?

[wnvl1]

maar met luchtweerstand is het natuurlijk wel veel interessanter

Klopt, maar ook een stuk lastiger.
Om te beginnen krijg je dan geen vaste hoek, die is afhankelijk van de beginsnelheid, de grootte van de bal, de massa ervan en de luchtdruk en temperatuur.

Ik deel niet de mening dat het dan een leuker raadsel wordt. Je kan dan niet veel meer analytisch doen, nu kan geraak je nog een heel eind op weg, enkel op het einde heb je numerieke technieken nodig.

[wnvl1]

Hier dan een herformulering van het raadsel:

De ideale hoek waaronder je tegen een bal moet trappen om opdat hij een zo lang mogelijke baan door de lucht zal afleggen alvorens op de grond te botsen.

Als je de initiële vraag letterlijk leest, dan komt het hierop neer, maar ik den dat het zo duidelijker is.

[HansH]

max trajectlengte.png

waar komt die formule vandaan? heeft dat iets met booglengte te maken? blijft altijd lastig om anderemans gedachtres en redenaties te raden.

[ukster]

paraboolbaan 545 keer bekeken

1 545 keer bekeken

2 545 keer bekeken

[wnvl1]

Dat was inderdaad de bedoelde uitwerking.

Als je met luchtweerstand gaat werken dan moet je dit systeem numeriek oplossen.

\( m \frac{du_x}{dt} = -bu_x^2 \)
\( m \frac{du_y}{dt} = -mg - bu_y^2 \)

en integreren om \( x(t) \) en \( y(t) \) te bekomen.

Daaruit kan je op gelijkaardige manier als ukster deed via

\[
L = \int_0^T v(t) \, dt = \int_0^T \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt
\]

met \( T \) de tijd van de vlucht, de lengte van het traject berekenen. Voor te optimaliseren ga je alle hoeken moeten uitproberen.

[Xilvo]

Hier is te zien hoe groot het effect van luchtweerstand is.
Bovenste grafieken: Geoptimaliseerd voor het traject in vacuüm. Onder: Voor het traject in lucht.
Links met een snelheid die in de buurt ligt van wat een voetballer in de praktijk kan halen (50 m/s), rechts met de snelheid uit het voorbeeld van ukster, hier eerder.
Alles numeriek geoptimaliseerd, wegens rekentijd niet heel nauwkeurig. Vandaar de kleine verschillen met de analytische oplossing voor vacuüm.

Zwart: Vacuüm, blauw: Lucht.

[boertje125]

Fout of raar is misschien wel wat kort door de bocht.
Eigenlijk is dit helemaal geen simpele vraag een bewegingswetenschapper zou die m.i. veel uitgebreider oppakken
en meer op de mogelijkheden van een voet betrekken dan op de theoretische kogelbaan.
Hoe heb je die gesteld en afgebakend?

Als je de vraag opvat als onder welke hoek kan ik een stilliggende bal het verste schieten
is 57 graden maar heel moeilijk haalbaar laat staan dat er de kracht achter zit van een trap met aanloop onder een hoek van een graad of 15.

ik zou zeggen stel de vraag nog eens maar dan met een bal vanuit een kanon
en kijk wat je dan krijgt

[wnvl1]

De oorspronkelijke vraag vind je hier.

https://www.physics.harvard.edu/files/prob71.pdf

en het antwoord staat hier

https://www.physics.harvard.edu/files/sol71.pdf

Ik heb het uiteraard een beetje geherformuleerd naar een verhaal met een voetbal zodat het niet te googlen was.

De vraag komt uit een 'problem of the week' archief van Harvard, dat inspirerend is om eens te doorlezen.

https://www.physics.harvard.edu/undergrad/problems

[wnvl1]

Als je de vraag opvat als onder welke hoek kan ik een stilliggende bal het verste schieten
is 57 graden maar heel moeilijk haalbaar laat staan dat er de kracht achter zit van een trap met aanloop onder een hoek van een graad of 15.

Er zal vermoedelijk een verschil zijn. Bij verspringen is vanuit de mechanica 45° optimaal. Op de website van de olympische spelen spreken ze over slechts 20°.

https://olympics.com/en/news/long-jump- ... techniques

The final two strides

These are the final two steps taken before an athlete goes airborne from the take-off board.

To achieve maximum horizontal distance, long jumpers generally try to leave the ground at an angle of 20 degrees or less and the final two strides are meant to prepare the body to achieve that without sacrificing too much forward velocity.

The penultimate stride is generally longer than the last and is dedicated towards lowering one’s centre of gravity to prepare the body for the maximum-possible upward thrust.

The final stride before take-off, meanwhile, is the shortest step as the body’s centre of gravity starts shifting upwards in preparation for the jump.

[wnvl1]

Op arxiv staat zelfs een paper over dit topic voor allerhande sporten.

https://arxiv.org/pdf/physics/0601148#: ... h%20angles.

[boertje125]

Dat bedoel ik dus
chatgpt vat de vraag mischien op alsof er daadwerkelijk iemand tegen die bal gaat trappen.
wat was het antwoord van chatgpt?

[wnvl1]

Onder welke hoek moet je tegen een bal trappen opdat hij een zo lang mogelijk traject door de lucht zou afleggen.

Antwoord chatgpt

Om een bal zo ver mogelijk te laten vliegen, moet je hem onder een specifieke hoek trappen, rekening houdend met factoren zoals zwaartekracht en luchtweerstand. In een ideaal scenario zonder luchtweerstand is de optimale hoek om een object zo ver mogelijk te laten vliegen **45 graden**.

Deze hoek wordt bepaald door de basiswetten van de projectielbeweging. Wanneer een object onder een hoek wordt gelanceerd, wordt de horizontale en verticale component van de snelheid verdeeld volgens de sinus- en cosinusfuncties van de hoek. Bij 45 graden is de verdeling tussen de horizontale en verticale snelheden optimaal om het projectiel de grootste afstand te laten afleggen.

### Verklaring:
1. **Horizontale afstand (draagwijdte)**: De horizontale afstand hangt af van de tijd die de bal in de lucht blijft en de horizontale snelheid. Hoe langer de bal in de lucht blijft, hoe verder hij kan reizen.
2. **Verticale component**: Deze bepaalt hoe lang de bal in de lucht blijft. Bij een hoek van 45 graden is de verticale snelheid groot genoeg om de bal een aanzienlijke tijd in de lucht te houden, terwijl de horizontale snelheid ook optimaal is om de afstand te maximaliseren.

In de praktijk, als luchtweerstand en andere krachten worden meegenomen, kan de optimale hoek iets afwijken van 45 graden. Bijvoorbeeld, bij sterke luchtweerstand is de optimale hoek vaak iets lager dan 45 graden, omdat de luchtweerstand de verticale component van de snelheid meer beïnvloedt dan de horizontale component.

Kortom, zonder luchtweerstand is de optimale hoek om de bal zo ver mogelijk te laten vliegen **45 graden**. Met luchtweerstand kan de ideale hoek iets lager zijn, afhankelijk van de omstandigheden.Om een bal zo ver mogelijk te laten vliegen, moet je hem onder een specifieke hoek trappen, rekening houdend met factoren zoals zwaartekracht en luchtweerstand. In een ideaal scenario zonder luchtweerstand is de optimale hoek om een object zo ver mogelijk te laten vliegen **45 graden**.

Deze hoek wordt bepaald door de basiswetten van de projectielbeweging. Wanneer een object onder een hoek wordt gelanceerd, wordt de horizontale en verticale component van de snelheid verdeeld volgens de sinus- en cosinusfuncties van de hoek. Bij 45 graden is de verdeling tussen de horizontale en verticale snelheden optimaal om het projectiel de grootste afstand te laten afleggen.

### Verklaring:
1. **Horizontale afstand (draagwijdte)**: De horizontale afstand hangt af van de tijd die de bal in de lucht blijft en de horizontale snelheid. Hoe langer de bal in de lucht blijft, hoe verder hij kan reizen.
2. **Verticale component**: Deze bepaalt hoe lang de bal in de lucht blijft. Bij een hoek van 45 graden is de verticale snelheid groot genoeg om de bal een aanzienlijke tijd in de lucht te houden, terwijl de horizontale snelheid ook optimaal is om de afstand te maximaliseren.

In de praktijk, als luchtweerstand en andere krachten worden meegenomen, kan de optimale hoek iets afwijken van 45 graden. Bijvoorbeeld, bij sterke luchtweerstand is de optimale hoek vaak iets lager dan 45 graden, omdat de luchtweerstand de verticale component van de snelheid meer beïnvloedt dan de horizontale component.

Kortom, zonder luchtweerstand is de optimale hoek om de bal zo ver mogelijk te laten vliegen **45 graden**. Met luchtweerstand kan de ideale hoek iets lager zijn, afhankelijk van de omstandigheden.

geef de wiskundige uitwerking

Antwoord chatgpt

Laten we de wiskundige uitwerking stap voor stap doorlopen om te bepalen waarom de optimale hoek voor het maximale traject zonder luchtweerstand 45 graden is.

### 1. Basisvergelijkingen van projectielbeweging

We beschouwen een bal die met een beginsnelheid \( v_0 \) onder een hoek \( \theta \) ten opzichte van de horizontale as wordt weggeschoten. De beweging van de bal kan worden ontleed in twee componenten:
- De **horizontale component** van de snelheid: \( v_{0x} = v_0 \cos(\theta) \)
- De **verticale component** van de snelheid: \( v_{0y} = v_0 \sin(\theta) \)

### 2. Horizontale beweging

De horizontale snelheid blijft constant, omdat we veronderstellen dat er geen luchtweerstand is. De horizontale verplaatsing \( x(t) \) op tijdstip \( t \) is daarom:
\[
x(t) = v_{0x} \cdot t = v_0 \cos(\theta) \cdot t
\]

### 3. Verticale beweging

De verticale beweging wordt beïnvloed door de zwaartekracht. De verticale verplaatsing \( y(t) \) wordt gegeven door de volgende vergelijking:
\[
y(t) = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2
\]
waarbij \( g \) de gravitatieversnelling is (ongeveer 9,81 m/s² op aarde).

### 4. Tijd in de lucht (vluchtduur)

De bal zal in de lucht blijven totdat hij weer de grond raakt. We vinden de tijd dat de bal de grond raakt door de verticale verplaatsing gelijk te stellen aan 0 (dat wil zeggen \( y(t) = 0 \)):
\[
0 = v_0 \sin(\theta) \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2
\]
Factoriseer \( t \) uit:
\[
t \left( v_0 \sin(\theta) - \frac{1}{2} g \cdot t \right) = 0
\]
Dit geeft ons twee oplossingen:
1. \( t = 0 \) (het startpunt)
2. \( t = \frac{2 v_0 \sin(\theta)}{g} \) (het moment waarop de bal weer de grond raakt)

De totale tijd dat de bal in de lucht is, is dus:
\[
t_{\text{vlucht}} = \frac{2 v_0 \sin(\theta)}{g}
\]

### 5. Horizontale afstand (draagwijdte)

De totale horizontale afstand \( R \) (ook wel draagwijdte genoemd) wordt gegeven door de horizontale snelheid vermenigvuldigd met de totale tijd dat de bal in de lucht is:
\[
R = v_{0x} \cdot t_{\text{vlucht}} = v_0 \cos(\theta) \cdot \frac{2 v_0 \sin(\theta)}{g}
\]
Dit vereenvoudigt tot:
\[
R = \frac{2 v_0^2 \sin(\theta) \cos(\theta)}{g}
\]
We kunnen dit verder vereenvoudigen met behulp van de dubbele hoekidentiteit voor sinus:
\[
\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)
\]
Dit geeft ons:
\[
R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}
\]

### 6. Maximale draagwijdte

Om de hoek te vinden die de maximale draagwijdte \( R \) geeft, moeten we \( R \) maximaliseren met betrekking tot \( \theta \). Dit betekent dat we de waarde van \( \theta \) moeten vinden waarvoor \( \sin(2\theta) \) maximaal is.

De functie \( \sin(2\theta) \) bereikt zijn maximum wanneer \( 2\theta = 90^\circ \), oftewel \( \theta = 45^\circ \).

### 7. Conclusie

De maximale horizontale afstand wordt bereikt wanneer de lanceerhoek \( \theta = 45^\circ \) is. Dit is de optimale hoek om een bal zo ver mogelijk te laten vliegen, zolang er geen luchtweerstand in het spel is.

### Samenvatting van de resultaten:
- Optimale hoek zonder luchtweerstand: **45 graden**.
- Maximale draagwijdte:
\[
R_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{g}
\]

Op zich antwoordt ze perfect en bovendien heel mooi geformuleerd. Ze interpreteert het echter als de horizontale reikwijdte die geoptimaliseerd moet worden en niet als de lengte van het traject door de lucht.
Niet verwonderlijk natuurlijk want het is deze uitwerking die in de meeste schoolboeken analytische mechanica letterlijk zo staat.

[Xilvo]

Nog eens geprobeerd, nu met de vraag iets anders geformuleerd: "Onder welke hoek moet je tegen een bal trappen opdat de baanlengte zo lang mogelijk is?"

Baanlengte is zeker niet horizontale afstand. Maar hij komt weer met 45°.