wnvl1 schreef: ↑di 04 feb 2025, 00:52
\[
L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + m g l \cos\theta - m a l \omega \dot{\theta} \sin(\omega t - \theta) + \frac{1}{2} m a^2 \omega^2 - m g a \sin(\omega t)
\]
Eens zien wat er gebeurt als we daar
\( \frac{1}{2} \mathrm{I} \omega^2 \) voor het vliegwiel aan toevoegen. Dan wordt het:
\[
L = \frac{1}{2} \mathrm{I} \omega^2 + \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + m g l \cos\theta - m a l \omega \dot{\theta} \sin(\omega t - \theta) + \frac{1}{2} m a^2 \omega^2 - m g a \sin(\omega t)
\]
Euler-Lagrange vergelijking:
\( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0 \)
Met:
\( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m l^2 \dot{\theta} - m a l \omega \sin(\omega t - \theta) \)
\( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) = m l^2 \ddot{\theta} - \{m a l \dot{\omega} \sin(\omega t - \theta) + m a l \omega \cos(\omega t - \theta) ( ( \dot{\omega} t + \omega) - \dot{\theta}) \} \)
\( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) = m l^2 \ddot{\theta} - m a l \dot{\omega} \sin(\omega t - \theta) - m a l \omega \cos(\omega t - \theta) ( ( \dot{\omega} t + \omega) - \dot{\theta}) \)
\( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) = m l^2 \ddot{\theta} - m a l \dot{\omega} \sin(\omega t - \theta) - m a l \omega \cos(\omega t - \theta) ( \dot{\omega} t + \omega) + m a l \omega \cos(\omega t - \theta) \dot{\theta} \)
\( \frac{\partial L}{\partial \theta} = - m g l \sin\theta + m a l \omega \dot{\theta} \cos(\omega t - \theta) \)
Dus wegens Euler-Lagrange:
\( ( m l^2 \ddot{\theta} - m a l \dot{\omega} \sin(\omega t - \theta) - m a l \omega \cos(\omega t - \theta) ( \dot{\omega} t + \omega) + m a l \omega \cos(\omega t - \theta) \dot{\theta} ) \,\, - \,\, ( - m g l \sin\theta + m a l \omega \dot{\theta} \cos(\omega t - \theta) ) = 0 \)
\( m l^2 \ddot{\theta} - m a l \dot{\omega} \sin(\omega t - \theta) - m a l \omega \cos(\omega t - \theta) ( \dot{\omega} t + \omega) + m a l \omega \cos(\omega t - \theta) \dot{\theta} + m g l \sin\theta - m a l \omega \dot{\theta} \cos(\omega t - \theta) = 0 \)
\( m l^2 \ddot{\theta} - m a l \dot{\omega} \sin(\omega t - \theta) - m a l \omega \cos(\omega t - \theta) ( \dot{\omega} t + \omega) + m g l \sin\theta = 0 \)
Voor een zeer zwaar vliegwiel wordt
\( \dot{\omega} \) verwaarloosbaar, en geldt dus (totdat de zaak uiteindelijk toch op drift raakt) bij goede benadering:
\( m l^2 \ddot{\theta} - m a l \omega^2 \cos(\omega t - \theta) + m g l \sin\theta = 0 \)
\( \ddot{\theta} - \frac{a \omega^2}{l} \cos(\omega t - \theta) + \frac{g}{l} \sin\theta = 0 \)