Gebruikersavatar
Xilvo
Moderator
Artikelen: 0
Berichten: 11.327
Lid geworden op: vr 30 mar 2018, 16:51

Re: Lagrangiaan

Professor Puntje schreef: di 04 feb 2025, 20:34 E is constant en valt bij het differentiëren weg, enkel de potentiële energie van de slinger blijft dan nog over. Ja - ik vertrouw het ook niet, maar ik zie geen fout.
\(E=T+V\), en dan blijft er na differentiëren naar plaats of snelheid wel iets over.
Natuurlijk is \(E\) zelf constant maar de Lagrangiaan leidt je af naar positie en naar snelheid, waarna je het laatste ook nog eens naar de tijd afleidt. Dat geeft niet nul, ondanks dat \(E\) constant is.
Gebruikersavatar
wnvl1
Artikelen: 0
Berichten: 3.318
Lid geworden op: di 20 jul 2021, 21:43

Re: Lagrangiaan

wnvl1 schreef: di 04 feb 2025, 20:13
Xilvo schreef: di 04 feb 2025, 19:52 Eens kijken, wat gebeurt er als ik \(L=0\) kies?

\(m=1\), die laat ik verder weg.

De hoek die de lijn van het middelpunt van de schijf naar de massa maakt is \(\phi=\omega t\)
\(x=a \cos \phi\)
\(y=a \sin \phi\)
\(\dot{x}=-a \dot{\phi} \sin \phi\)
\(\dot{y}=a \dot{\phi} \cos \phi\)

\(T=\frac{1}{2} a^2 \dot{\phi}^2\)
\(V=g y=g a \sin \phi \)
\(L=T-V\)

\(\frac{d}{dt}\frac{\delta L}{\delta \dot{\phi}}-\frac{\delta L}{\delta \phi} =0\)



Kortom, de methode leidt hier tot een onjuist resultaat, als ik geen vergissingen maakte.
Je maakt geen vergissing. Lagrange klopt niet meer.
Het moet zijn

\(\frac{d}{dt}\frac{\delta L}{\delta \dot{\phi}}-\frac{\delta L}{\delta \phi} = -ga \cos \phi\)
\(\frac{d a^2 \dot{\phi}}{dt}-g a \cos \phi =-ga \cos \phi\)
\(\frac{d a^2 \dot{\phi}}{dt}=0\)
Gebruikersavatar
Professor Puntje
Artikelen: 0
Berichten: 8.116
Lid geworden op: vr 23 okt 2015, 23:02

Re: Lagrangiaan

\( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial V_{slinger}}{\partial \dot{\theta}} \right) - \frac{\partial V_{slinger}}{\partial \theta} = 0 \)

\( \frac{\partial V_{slinger}}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial ( \mathrm{m} \mathrm{g} \mathrm{l} \cos\theta - \mathrm{m} \mathrm{g} \mathrm{a} \sin(\omega t) )}{\partial \dot{\theta}} \)

Is dat nul? Differentiëren naar \( \dot{\theta} \) vind ik nogal vreemd. Zijn \( \dot{\theta} \), \( \theta \) en t wel onafhankelijke variabelen?
Gebruikersavatar
Xilvo
Moderator
Artikelen: 0
Berichten: 11.327
Lid geworden op: vr 30 mar 2018, 16:51

Re: Lagrangiaan

wnvl1 schreef: di 04 feb 2025, 20:52
wnvl1 schreef: di 04 feb 2025, 20:13
Xilvo schreef: di 04 feb 2025, 19:52 Eens kijken, wat gebeurt er als ik \(L=0\) kies?

\(m=1\), die laat ik verder weg.

De hoek die de lijn van het middelpunt van de schijf naar de massa maakt is \(\phi=\omega t\)
\(x=a \cos \phi\)
\(y=a \sin \phi\)
\(\dot{x}=-a \dot{\phi} \sin \phi\)
\(\dot{y}=a \dot{\phi} \cos \phi\)

\(T=\frac{1}{2} a^2 \dot{\phi}^2\)
\(V=g y=g a \sin \phi \)
\(L=T-V\)

\(\frac{d}{dt}\frac{\delta L}{\delta \dot{\phi}}-\frac{\delta L}{\delta \phi} =0\)



Kortom, de methode leidt hier tot een onjuist resultaat, als ik geen vergissingen maakte.
Je maakt geen vergissing. Lagrange klopt niet meer.
Het moet zijn

\(\frac{d}{dt}\frac{\delta L}{\delta \dot{\phi}}-\frac{\delta L}{\delta \phi} = -ga \cos \phi\)
\(\frac{d a^2 \dot{\phi}}{dt}-g a \cos \phi =-ga \cos \phi\)
\(\frac{d a^2 \dot{\phi}}{dt}=0\)
Je laat mijn laatste formule weg. Dat stond er al:
\(\frac{d a^2 \dot{\phi}}{dt}-g a \cos \phi =0=a^2 \ddot{\phi}-ga \cos \phi=-ga \cos \phi\)
Gebruikersavatar
ukster
Artikelen: 0
Berichten: 5.029
Lid geworden op: za 28 nov 2015, 10:42

Re: Lagrangiaan

best wel een complexe beweging
Gebruikersavatar
wnvl1
Artikelen: 0
Berichten: 3.318
Lid geworden op: di 20 jul 2021, 21:43

Re: Lagrangiaan

Ik weet niet zo goed hoe ik dat moet interpreteren. Als je kijkt naar mijn gelijkheden, dan is er geen probleem.
Elke lijn bij mij is een vergelijking. Mijn laatste vergelijking correspondeert met de fysiche realiteit.

Jij stels dat \(0=-ga\cos \phi\) en dat is mis. Het is vermoedelijk gewoon een onduidelijkheid in de notatie.
Gebruikersavatar
Xilvo
Moderator
Artikelen: 0
Berichten: 11.327
Lid geworden op: vr 30 mar 2018, 16:51

Re: Lagrangiaan

wnvl1 schreef: di 04 feb 2025, 21:04 Ik weet niet zo goed hoe ik dat moet interpreteren. Als je kijkt naar mijn gelijkheden, dan is er geen probleem.
Elke lijn bij mij is een vergelijking. Mijn laatste vergelijking correspondeert met de fysiche realiteit.

Jij stels dat \(0=-ga\cos \phi\) en dat is mis. Het is vermoedelijk gewoon een onduidelijkheid in de notatie.
Volgens mij voeg jij de kracht door de schijf toe. Die liet ik juist weg om aan te tonen dat je dan een strijdigheid krijgt.
Gebruikersavatar
wnvl1
Artikelen: 0
Berichten: 3.318
Lid geworden op: di 20 jul 2021, 21:43

Re: Lagrangiaan

Dan bedoelen we hetzelfde. Blijft de vraag waarom voor het originele probleem Lagrange toch lijkt te werken.
Gebruikersavatar
Xilvo
Moderator
Artikelen: 0
Berichten: 11.327
Lid geworden op: vr 30 mar 2018, 16:51

Re: Lagrangiaan

wnvl1 schreef: di 04 feb 2025, 21:15 Dan bedoelen we hetzelfde. Blijft de vraag waarom voor het originele probleem Lagrange toch lijkt te werken.
Ik heb dat nog niet zorgvuldig bekeken. Is het wel zeker dat de oplossing helemaal goed is?

Ik ben juist van een extreem voorbeeld uitgegaan (ik dacht eerst aan een heel grote schijf met een klein slingertje, koos toen voor helemaal geen slinger meer). Bij extreme voorbeelden zie je vaak sneller wat de gevolgen zijn.
Gebruikersavatar
Professor Puntje
Artikelen: 0
Berichten: 8.116
Lid geworden op: vr 23 okt 2015, 23:02

Re: Lagrangiaan

Professor Puntje schreef: di 04 feb 2025, 20:54 \( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial V_{slinger}}{\partial \dot{\theta}} \right) - \frac{\partial V_{slinger}}{\partial \theta} = 0 \)

\( \frac{\partial V_{slinger}}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial ( \mathrm{m} \mathrm{g} \mathrm{l} \cos\theta - \mathrm{m} \mathrm{g} \mathrm{a} \sin(\omega t) )}{\partial \dot{\theta}} \)

Is dat nul? Differentiëren naar \( \dot{\theta} \) vind ik nogal vreemd. Zijn \( \dot{\theta} \), \( \theta \) en t wel onafhankelijke variabelen?
\( \frac{\partial V_{slinger}}{\partial \theta} = \frac{\partial ( \mathrm{m} \mathrm{g} \mathrm{l} \cos\theta - \mathrm{m} \mathrm{g} \mathrm{a} \sin(\omega t) )}{\partial \theta} \)

\( \frac{\partial V_{slinger}}{\partial \theta} = - \mathrm{m} \mathrm{g} \mathrm{l} \sin(\theta) \)

Dit leidt tot niets.
Gebruikersavatar
Xilvo
Moderator
Artikelen: 0
Berichten: 11.327
Lid geworden op: vr 30 mar 2018, 16:51

Re: Lagrangiaan

Professor Puntje schreef: di 04 feb 2025, 20:54 \( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial V_{slinger}}{\partial \dot{\theta}} \right) - \frac{\partial V_{slinger}}{\partial \theta} = 0 \)

\( \frac{\partial V_{slinger}}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial ( \mathrm{m} \mathrm{g} \mathrm{l} \cos\theta - \mathrm{m} \mathrm{g} \mathrm{a} \sin(\omega t) )}{\partial \dot{\theta}} \)

Is dat nul? Differentiëren naar \( \dot{\theta} \) vind ik nogal vreemd. Zijn \( \dot{\theta} \), \( \theta \) en t wel onafhankelijke variabelen?
De kinetische energie T ontbreekt. Je mag \( \dot{\theta} \) en \( \theta \) als onafhankelijk nemen.
Gebruikersavatar
Professor Puntje
Artikelen: 0
Berichten: 8.116
Lid geworden op: vr 23 okt 2015, 23:02

Re: Lagrangiaan

Professor Puntje schreef: di 04 feb 2025, 19:54 Voor systeem met vliegwiel:

\( \mathcal{L} = T - V \)

\( \mathcal{L} = (T_{schijf} + T_{slinger} ) - (V_{schijf} + V_{slinger} ) \)

\( \mathcal{L} = ((E_{totaal} - V_{schijf} - T_{slinger} - V_{slinger} ) + T_{slinger}) - (V_{schijf} + V_{slinger} ) \)

\( \mathcal{L} = E_{totaal} - 2 V_{schijf} - 2 V_{slinger} \)
Ik werk met de boven afgeleide lagrangiaan waarin de kinetische energie verwerkt zit.
Gebruikersavatar
Xilvo
Moderator
Artikelen: 0
Berichten: 11.327
Lid geworden op: vr 30 mar 2018, 16:51

Re: Lagrangiaan

Professor Puntje schreef: di 04 feb 2025, 21:28
Professor Puntje schreef: di 04 feb 2025, 19:54 Voor systeem met vliegwiel:

\( \mathcal{L} = T - V \)

\( \mathcal{L} = (T_{schijf} + T_{slinger} ) - (V_{schijf} + V_{slinger} ) \)

\( \mathcal{L} = ((E_{totaal} - V_{schijf} - T_{slinger} - V_{slinger} ) + T_{slinger}) - (V_{schijf} + V_{slinger} ) \)

\( \mathcal{L} = E_{totaal} - 2 V_{schijf} - 2 V_{slinger} \)
Ik werk met de boven afgeleide lagrangiaan waarin de kinetische energie verwerkt zit.
Je kunt de noodzakelijke afgeleiden niet bepalen als je \(E_{totaal}\) niet uitschrijft in z'n componenten.
Gebruikersavatar
Professor Puntje
Artikelen: 0
Berichten: 8.116
Lid geworden op: vr 23 okt 2015, 23:02

Re: Lagrangiaan

wnvl1 schreef: di 04 feb 2025, 00:52
\[
L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + m g l \cos\theta - m a l \omega \dot{\theta} \sin(\omega t - \theta) + \frac{1}{2} m a^2 \omega^2 - m g a \sin(\omega t)
\]
Eens zien wat er gebeurt als we daar \( \frac{1}{2} \mathrm{I} \omega^2 \) voor het vliegwiel aan toevoegen. Dan wordt het:

\[
L = \frac{1}{2} \mathrm{I} \omega^2 + \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + m g l \cos\theta - m a l \omega \dot{\theta} \sin(\omega t - \theta) + \frac{1}{2} m a^2 \omega^2 - m g a \sin(\omega t)
\]

Euler-Lagrange vergelijking:

\( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0 \)

Met:

\( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m l^2 \dot{\theta} - m a l \omega \sin(\omega t - \theta) \)

\( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) = m l^2 \ddot{\theta} - \{m a l \dot{\omega} \sin(\omega t - \theta) + m a l \omega \cos(\omega t - \theta) ( ( \dot{\omega} t + \omega) - \dot{\theta}) \} \)

\( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) = m l^2 \ddot{\theta} - m a l \dot{\omega} \sin(\omega t - \theta) - m a l \omega \cos(\omega t - \theta) ( ( \dot{\omega} t + \omega) - \dot{\theta}) \)

\( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) = m l^2 \ddot{\theta} - m a l \dot{\omega} \sin(\omega t - \theta) - m a l \omega \cos(\omega t - \theta) ( \dot{\omega} t + \omega) + m a l \omega \cos(\omega t - \theta) \dot{\theta} \)


\( \frac{\partial L}{\partial \theta} = - m g l \sin\theta + m a l \omega \dot{\theta} \cos(\omega t - \theta) \)


Dus wegens Euler-Lagrange:

\( ( m l^2 \ddot{\theta} - m a l \dot{\omega} \sin(\omega t - \theta) - m a l \omega \cos(\omega t - \theta) ( \dot{\omega} t + \omega) + m a l \omega \cos(\omega t - \theta) \dot{\theta} ) \,\, - \,\, ( - m g l \sin\theta + m a l \omega \dot{\theta} \cos(\omega t - \theta) ) = 0 \)

\( m l^2 \ddot{\theta} - m a l \dot{\omega} \sin(\omega t - \theta) - m a l \omega \cos(\omega t - \theta) ( \dot{\omega} t + \omega) + m a l \omega \cos(\omega t - \theta) \dot{\theta} + m g l \sin\theta - m a l \omega \dot{\theta} \cos(\omega t - \theta) = 0 \)

\( m l^2 \ddot{\theta} - m a l \dot{\omega} \sin(\omega t - \theta) - m a l \omega \cos(\omega t - \theta) ( \dot{\omega} t + \omega) + m g l \sin\theta = 0 \)


Voor een zeer zwaar vliegwiel wordt \( \dot{\omega} \) verwaarloosbaar, en geldt dus (totdat de zaak uiteindelijk toch op drift raakt) bij goede benadering:

\( m l^2 \ddot{\theta} - m a l \omega^2 \cos(\omega t - \theta) + m g l \sin\theta = 0 \)

\( \ddot{\theta} - \frac{a \omega^2}{l} \cos(\omega t - \theta) + \frac{g}{l} \sin\theta = 0 \)
Gebruikersavatar
Xilvo
Moderator
Artikelen: 0
Berichten: 11.327
Lid geworden op: vr 30 mar 2018, 16:51

Re: Lagrangiaan

Je vergeet dat hier dat naast \(\theta\) ook \(\omega t\) een positiecoördinaat is, en naast \(\dot{\theta}\) ook \(\omega\) een snelheidscoördinaat is.

Terug naar “Sciencetalk café”